一道競賽題的巧解及推廣

鐘錦浩

(廣東省中山市濠頭中學(xué)高二(9)班, 528437)

由于復(fù)數(shù)具有代數(shù)、幾何形式等多種表示方法，故根據(jù)問題特征借助復(fù)數(shù)求解,能使得解題過程簡捷、高效.本文借助復(fù)數(shù)進(jìn)行賦值對一道二項(xiàng)式競賽試題的系數(shù)和問題進(jìn)行解析,并對該題的結(jié)論作出推廣,得到若干有關(guān)組合數(shù)的結(jié)論,希望給大家?guī)韱⒌?

一、賽題呈現(xiàn)

試題(2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北省預(yù)賽題)設(shè)(1+x)2017=a0x2017+a1x2016+a2x2015+…+a2016x+a2017,則a1+a5+a9+…+a2017的值為______.

解分別取x=1,x=-1,得(a0+a2+a4+…+a2016)+(a1+a3+a5+…+a2017)=22017,(a0+a2+a4+…+a2016)-(a1+a3+a5+…+a2017)=0,兩式相減,得

a1+a3+a5+…+a2017=22016.

①

再取x=i,得(a1+a5+…+a2017)-(a3+a7+…+a2015)+[(a0+a4+…+a2016)-(a2+a6+…+a2014)]i=21008(1+i),于是有

(a1+a5+…+a2017)-(a3+a7+…+a2015)=21008.

②

結(jié)合① 、② 兩式,可得a1+a5+a9+…+a2017=22015+21007.

評注賦值法是解決二項(xiàng)式中系數(shù)和的常用方法.首先令x=1,x=-1，可以得到間隔項(xiàng)的系數(shù)和；在此基礎(chǔ)上再令x=i進(jìn)行求解,體現(xiàn)了虛數(shù)單位i在求和中的妙用,極大地提高了解題效率.

解答完此賽題,我們進(jìn)一步分析其他項(xiàng)的系數(shù)和規(guī)律.

變式設(shè)(1+x)2017=a0x2017+a1x2016+a2x2015+…+a2016x+a2017,求a0+a4+a8+…+a2016的值.

解同上,分別取x=1,x=-1并相加,得

a0+a2+a4+…+a2016=22016.

③

再取x=i,得(a1+a5+…+a2017)-(a3+a7+…+a2015)+[(a0+a4+…+a2016)-(a2+a6+…+a2014)]i=21008(1+i),于是有

(a0+a4+…+a2016)-(a2+a6+…+a2014)=21008,

④

由③ 、④ 兩式,可得a0+a4+a8+…+a2016=22015+21007.

同理可求得a2+a6+a10+…+a2014=22015-21007;a3+a7+a11+…+a2015=22015-21007.

二、推廣結(jié)論

以上結(jié)果的特征啟示我們,這個(gè)結(jié)論能否推廣到一般情形呢?答案是肯定的.

A0+A1+A2+A3=24n+1,

⑤

A0-A1+A2-A3=0,

⑥

-A0i+A1+A2i-A3=-i(1+i)4n+1,

⑦

A0i+A1-A2i-A3=i(1-i)4n+1,

⑧

類比結(jié)論1,很容易得到以下結(jié)論(此處證明不一一贅述).

通過以上實(shí)例, 我們可以看出, 巧借復(fù)數(shù)解二項(xiàng)式的系數(shù)問題使得運(yùn)算過程簡捷方便,結(jié)論準(zhǔn)確可靠;若不借助復(fù)數(shù),問題將難以得到高效地解決.同學(xué)們在平時(shí)做題時(shí)應(yīng)多加留意, 多加運(yùn)用.下面再給一道類似習(xí)題,供有興趣的同學(xué)練習(xí).

練習(xí)題若(1+x+x2)1000=a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,則a0+a3+a6+…+a1998的值為______.

(參考答案:3999)