巧構(gòu)圖形 妙解試題

鄭 良 鄒 峰

(安徽省合肥市第四中學(xué),230000) (湖北省武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院商學(xué)院,430074)

本文以競(jìng)賽、自主招生中的部分試題為例,由代數(shù)表示聯(lián)想到其幾何意義,通過(guò)構(gòu)造圖形,使復(fù)雜問(wèn)題得到直觀、生動(dòng)的解決.

一、構(gòu)造線段,利用兩點(diǎn)之間線段距離最短

評(píng)注由表達(dá)式的幾何意義聯(lián)想余弦定理,構(gòu)建三角形模型,使問(wèn)題順利獲解.

評(píng)注本題將例1中的c換成b,b換成x,同時(shí)將x的范圍從正數(shù)擴(kuò)充到全體實(shí)數(shù)(非正數(shù)顯然不滿足題意),改變的是形式,不變的是本質(zhì).值得注意的是,條件中的x并非點(diǎn)C的橫坐標(biāo),而是有向線段OC的數(shù)量.

證明依題意,b+c>a,c+a>b,a+b>c,作以b+c為邊長(zhǎng)的正方形A1A2A3A4,在邊上分別取點(diǎn)B1,B2,B3,B4如圖4,使A2B1=A3B2=A3B3=A4B4=a,則有B1B3=b+c,A2B2=b+c-a.

二、構(gòu)造線段,利用兩邊之差小于第三邊

三、構(gòu)造向量,利用等和線

評(píng)注解法1由圓的參數(shù)方程將11λ+9μ表示為θ的函數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;解法2基于共線向量定理改換基底,利用幾何意義直奔目標(biāo).

例7(2020年浙江省初賽題)設(shè)平面上三個(gè)單位向量a,b,c不共線,滿足a+b+c=0,若0≤t≤1,則|-2a+tb+(1-t)c|的取值范圍為_(kāi)_____.

評(píng)注先用向量的三點(diǎn)共線定理確定點(diǎn)D的軌跡,再結(jié)合向量的減法將求解目標(biāo)的幾何意義直觀呈現(xiàn),結(jié)果水落石出.

四、構(gòu)造圓,利用兩點(diǎn)間距離

五、構(gòu)造三角形,利用三角函數(shù)關(guān)系

例9(2019年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求值:

(1)4sin 40°-tan 40°;

(2)4sin 20°+tan 20°.

評(píng)注本題兩問(wèn)直接用化弦法求值也不困難,而用構(gòu)造圖形求值拓寬了我們的解題思路,能深化對(duì)問(wèn)題的認(rèn)知,有利于培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性與靈活性.