運用“一點三方程”求解曲線的切線問題

吳志峰

(福建省廈門外國語學校石獅分校，362700)

一、問題的提出

最近,筆者在教學過程中遇到如下數(shù)學問題.

引例已知直線y=ax+b(b>0)與曲線y=x3有且只有兩個公共點A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)a

所以2x1+x2=0,選B.

反思本題學生的解答不夠理想,要么是題意理解不夠深刻,沒有看出是切線問題;要么是面對含參數(shù)的切線問題解題思路不明,無法制定明確、有效的解題方案.事實上,對于涉及直線與曲線相切的問題,筆者認為處理的關(guān)鍵是抓住“一點三方程”,即抓住切點及以下三個方程:切點在曲線上,切點坐標滿足曲線方程;切點在切線上,切點坐標滿足切線方程;曲線在切點處的導數(shù)等于切線方程的斜率.本文從以下幾方面介紹一點三方程法解決涉及曲線切線的有關(guān)問題,通過明確示范,進一步提高學生的數(shù)學運算素養(yǎng)．

二、直線與二次曲線相切的問題

直線與二次曲線相切,通常只需將直線與二次曲線方程聯(lián)立,通過一元二次方程有唯一解,由判別式為零來獲得切點等信息,從而求出切線方程.

由對數(shù)均值不等式知上式顯然成立.

綜上，x1x2>e2成立.

評注在解含有參數(shù)的極值點偏移問題時,常常利用題目已給的式子進行加、減兩類運算,然后構(gòu)造出(指數(shù))對數(shù)均值不等式進行證明.

例5已知函數(shù)f(x)=x-aex(a為常數(shù))有兩個不同的零點x1，x2，請證明:x1+x2>2.

證明借助a作為媒介,構(gòu)造指數(shù)均值不等式.

由指數(shù)均值不等式(結(jié)論2)知上式顯然成立，因此x1+x2>2成立.

例1直線y=x+m與拋物線y=x2相切,則切線方程為______.

三、直線與非二次曲線相切的問題

對于非二次曲線的切線問題,聯(lián)立方程組所得一元方程往往不是一元二次方程,此時判別式法就不再適用了,相應問題一般可利用導數(shù)的幾何意義來進行處理.

1. 已知切點或切線方程的情形

例2求曲線f(x)=x3+2x-1在x=1處的切線方程.

解依題意,由f(1)=2,可知切點為A(1,2).又f′(x)=3x2+2,由導數(shù)的幾何意義,可知切線斜率為k=f′(1)=5.于是,所求切線方程為y-2=5(x-1),即y=5x-3.

評注若將本題中的切線方程y=5x-3與曲線方程y=x3+2x-1聯(lián)立,整理可得x3-3x+2=0,即(x-1)2(x+2)=0,解得x=-2或x=1.由此可見，直線與曲線相切時不一定只有一個交點.因此,對于非二次曲線無法用判別式法來求切點.

2.切點或切線方程皆未知的情形

如同引例,此類情形問題的綜合度較高,常規(guī)解題思路是利用導數(shù)的幾何意義,先假設切點,根據(jù)切點的坐標滿足曲線的方程、切點在切線上,以及切線的斜率等于曲線所對函數(shù)的導數(shù)在切點處的值來進行求解.有時要注意“在”跟“過”這兩個字眼的區(qū)別:對“在某點處的切線”,此點是切點;對“過某點的切線”,此點未必是切點(但也可能包括前一種情形).

(1) 無參數(shù)情形

例3已知函數(shù)f(x)=xlnx+2,若直線l過點Q(0,1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為______.

解點Q顯然不是切點,設切點P(x0,y0),則

y0=x0lnx0+2.

①

又f′(x)=lnx+1,由kPQ=f′(x0),得

②

聯(lián)立① 與②,解得x0=1.從而切點P(1,2),切線斜率f′(x0)=1,可得切線l的方程為y=x+1.

例4已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1,若直線l過點Q(2,3),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為______.

解計算知點Q在已知曲線上.

若點Q是切點,由f′(x)=3x2-3,易得直線l的方程為y=9x-15.

綜上,l的方程為y=9x-15或y=3.

評注由例2知直線與曲線相切時,直線與曲線不一定只有一個交點.因此,對于直線過某點與曲線相切的問題,在切點不明確時,必須對該點進行分類討論.

(2) 含參數(shù)情形

例5若直線y=x+a是曲線y=xlnx+1的切線,則實數(shù)a的值為______.

解設直線l與f(x),g(x)圖象的切點分別為P(x0,y0),Q(x1,y1),則y0=x0+ex0,f′(x)=1+ex.

若x1=1同理可得出矛盾,從而x0≠1,x1≠1.

③

④

x0=a-x1.

⑤

四、 綜合問題舉例