基于Kriging與FPA的薄壁件夾具布局設計

李 誠，王仲奇，童 話，田少崗

（1. 西安愛生技術集團公司，西安 710065；2. 西北工業(yè)大學機電學院，西安 710072）

由于具有重量輕、強度高等優(yōu)勢，薄壁件廣泛應用于航空、航天等工業(yè)領域。然而典型薄壁結構件多為大尺寸、弱剛性件，在僅受重力的情況下就會產(chǎn)生不可忽視的變形。零件裝配過程需使用夾具進行定位以保持穩(wěn)定性與位置確定性，而對于薄壁件而言，還需通過定位夾緊來限制變形。飛機裝配過程中造成產(chǎn)品裝配變形的因素繁多，其中裝夾就是一個很重要的因素，對于薄壁件影響更甚，由于裝夾所造成的裝配變形約占20%～60%。合理的夾具布局設計是減少薄壁件裝夾變形重要手段。對于薄壁件的夾具設計，Cai 等[1]提出了“N-2-1”定位原理，并證明相較于“3-2-1”原理，該定位原理更適用于薄壁件夾具設計。然而，應用“N-2-1”定位原理進行薄壁件夾具設計的關鍵是如何確定最優(yōu)夾具定位布局使得薄壁件在定位過程中變形最小。

針對上述問題，國內外學者進行了大量的研究。Lai 等[2]為了有效控制夾具定位點布局對薄壁件裝配變形的影響，結合有限元分析（FEA)構建了基于遺傳算法(GA)的全局優(yōu)化方法確定薄壁件最優(yōu)夾具布局。Ahmad 等[3]以工件表面上節(jié)點法向變形總和最小為優(yōu)化目標，并結合遺傳算法和有限元分析對定位點的位置進行了優(yōu)化。Tatsumi 等[4]提出一種基于GA 的優(yōu)化方法搜索最優(yōu)的定位點布局使得工件加工過程中變形最小。Dou 等[5]將GA、改進型GA、粒子群算法(PSO)、改進型PSO 在夾具定位布局優(yōu)化中進行了應用和對比，并證明改進型PSO 的收斂速度與穩(wěn)定性最佳。Liu 等[6]結合FEA 和PSO 對夾具定位布局進行了優(yōu)化從而使薄壁件的彈性變形最小。同樣借助有限元，Prabhaharan 等[7]利用蟻群算法(Ant Colony Algorithm， ACA)對夾具定位點布局進行了優(yōu)化從而減小薄壁件的尺寸與形狀變形誤差，Yang 等[8]利用布谷鳥搜索算法對夾具定位布局進行了優(yōu)化。王仲奇等[9]利用花授粉算法(FPA)確立了最優(yōu)的定位點數(shù)目與位置，并證明了FPA 的收斂速度與穩(wěn)定性均優(yōu)于比GA。

但是對薄壁件定位布局進行直接優(yōu)化時有限元仿真計算成本過大。鑒于此，為了提高夾具設計的效率，Vasundara 等[10]構建了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡來近似定位布局與工件最大彈性變形之間的函數(shù)關系，進而預測零件銑削最大彈性變形最小時的薄板件夾具布局情況。為了最小化工件最大變形，曲興田等[11]通過改進的拉丁超立方采樣法獲取焊點在可行域內的布局樣本，根據(jù)所建立的裝配偏差模型計算樣本響應，構建焊點間距與裝配偏差間的支持向量機(SVR)預測模型。Sundararaman等[12]則將響應面法與序列逼近優(yōu)化算法相結合來確定最小化零件變形的銑削夾具定位布局。Lu 等[13]首先建立了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡定位點布局預測模型，然后基于“4-2-1”定位準則，利用GA 對第4 個定位點位置進行了優(yōu)化。Wang 等[14]針對薄壁件的裝配變形與裝夾布局之間不存在直接的顯示關系，通過均勻采樣和有限元分析獲取樣本，在此基礎上建立了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡裝夾變形預測模型，并證明了其擬合精度優(yōu)于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡。

為了有效解決曲面薄壁件夾具優(yōu)化設計問題，減小薄壁件由于裝夾不合理引起的裝配變形，同時避免有限元分析結合智能算法直接優(yōu)化造成的計算成本過高的問題，本文提出一種基于Kriging 與FPA 的薄壁件夾具優(yōu)化設計方法。同時為了更好地衡量曲面薄壁件所有方向上的變形，而不僅僅是法向上，采用應變能來衡量曲面薄壁件變形程度。該方法以夾具定位點布局為設計變量，以曲面薄壁件自重作用下的應變能為優(yōu)化目標，應用拉丁超立方采樣(LHS)和FEA 生成訓練樣本和測試樣本，基于訓練樣本構建薄壁件應變能的Kriging 代理模型，建立夾具定位點布局與應變能之間的非線性映射關系，應用FPA 對所建立的代理模型進行全局尋優(yōu)，搜索薄壁件夾具定位布局最優(yōu)解。最后，以飛機蒙皮自重條件下“4-2-1”定位布局優(yōu)化設計作為實例，驗證了本文所提方法的有效性，以期對曲面薄壁件夾具定位布局優(yōu)化設計進行理論指導。

1 定位布局優(yōu)化模型

“N-2-1”定位原理是指對于弱剛性薄壁件，其主定位面上的定位點數(shù)量需大于 3 個，但N 的值并非越大越好，具體數(shù)值取決于薄壁件的輪廓尺寸和產(chǎn)品的具體裝配精度要求，由于定位件制造偏差及定位偏差的影響，取滿足裝配精度要求的盡可能小的“N”值。而第2、第3 定位基準面上，依次需要 2 個和 1 個定位點?！癗-2-1”定位原理下的薄壁件夾具布局優(yōu)化即對“N”的數(shù)量與位置進行尋優(yōu)，最小化由于裝夾產(chǎn)生的彈性變形。由變形體的功能原理與已有研究[15]可知，薄壁件定位過程中，重力或其他載荷所做的功等于所存儲的應變能,且與彈性變形之間呈正相關關系，即當薄壁件的彈性變形Δd 最小時，其所存儲的應變能也最小。此外，對于曲面薄壁件而言，其裝配變形在各個方向各不相同，并非集中在某一個方向，因此相較于現(xiàn)有研究中大多將法向變形作為優(yōu)化目標，應變能更適用于衡量曲面薄壁件整體變形程度。

對定位布局的優(yōu)化，其目標是薄壁件在重力或外載荷作用下，尋找各種可行的定位布局中使得整個薄壁件的整體應變能最小的定位布局。設計變量為夾具定位布局X=[x1， x2， …， xj， …， xN]，其可行域集合為Ω，目標函數(shù)為不同布局下的應變能U，則定位布局優(yōu)化的數(shù)學模型可表述為：

式中，xi和xj分別是第i 和第j 個定位點的位置；i, j = 1,…, N；N 為定位點數(shù)目。K 為零件有限元模型中單元的個數(shù)。U（X）為某種定位布局下薄壁件的整體應變能，ui（X）為第i 個單元的應變能。約束條件為N個定位點中任意一個定位點必須都位于薄壁件表面的有效定位區(qū)域內；其次不同定位點之間不能重合。

2 Kriging 與花授粉算法

2.1 Kriging

Kriging 是最先由南非地質學家Krige 在1951年提出的一種基于隨機過程的統(tǒng)計預測法[16]。Kriging 模型具有在設計樣本點上精確插值和預測的優(yōu)點，擬合強非線性問題效果較好。標準的kriging 模型一般包括一個回歸部分和一個隨機函數(shù)[17]。假設X ∈Rd表示d 維輸入向量表示輸出響應，則kriging 模型可表示為：

F（β， X）為線性回歸部分，β 為相應的回歸系數(shù)；z（X）為隨機分布的函數(shù)，表示一個均值為0，滿足正態(tài)分布N（0，σ2）的隨機過程，其協(xié)方差為Xi，Xj是兩個輸入設計變量，本文選取常數(shù)回歸項和如下形式的高斯相關函數(shù)：

式中，d 表示設計變量的維數(shù)；θk為第k 個變量的相關性系數(shù)。

2.2 花授粉算法

花授粉算法(FPA)是劍橋大學學者 Yang[18]提出的一種群智能優(yōu)化算法。該算法模擬花朵異花和自花傳粉的演化過程來求解優(yōu)化問題。其基本準則如下：異花授粉是傳播花粉的昆蟲等通過萊維飛行進行的全局授粉；自花授粉指的是花朵局部之間的授粉過程；轉換概率P 決定著自花授粉與異花授粉間的動態(tài)轉換。即：

式中，L 為一個遵守萊維飛行的步長矢量，Sbest為當前最優(yōu)解，rand 為一個[0，1]之間的隨機值，ε 為一個[0，1]之間服從均勻分布的實數(shù)，j 和k 為所有花粉配子中隨機選擇的互不相同的一組解。

3 定位布局優(yōu)化策略

在建立定位布局與應變能間的Kriging 模型的基礎上，采用花授粉算法與Kriging 模型相結合的方法，在MATLAB 環(huán)境中以花授粉算法為優(yōu)化主程序，利用Kriging 模型計算不同定位布局下的應變能，通過FPA對所建立的Kriging 模型優(yōu)化求解獲取應變能最小的最優(yōu)解，其過程如下。

步驟1：獲取樣本。以定位點布局為設計變量，以該布局下薄壁件在自重作用下產(chǎn)生的應變能為目標函數(shù)，通過拉丁超立方采樣（LHS）獲取定位布局的訓練樣本和測試樣本，在ABAQUS 環(huán)境中通過有限元計算對應的目標函數(shù)。

步驟2：建立Kriging 模型與RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡對比模型。通過試算訓練樣本數(shù)量，以隨機采樣獲得的定位布局為輸入，以相應布局下有限元計算的應變能為輸出，構建滿足精度要求的薄壁件應變能的Kriging 代理模型，實現(xiàn)夾具定位點布局與應變能之間的非線性映射。

步驟3：計算適應度。隨機產(chǎn)生初始定位布局，并將待優(yōu)化定位點位置作為Kriging 模型的輸入變量，獲取相應的應變能作為優(yōu)化算法的適應度值。

步驟4：迭代尋優(yōu)。評價初始位置的適應度值，尋找最優(yōu)解，并通過花授粉算法全局或局部更新定位點位置，重復步驟3 產(chǎn)生新的解。如果新布局下的應變能小于當前值，則適應度更好，該布局進入下一代，否則當前布局進入下一代，如此迭代尋優(yōu)得到應變能最小的全局最優(yōu)布局，并對最優(yōu)定位布局進行有限元驗證。

基于Kriging 與FPA 的薄壁件夾具定位布局優(yōu)化策略流程如圖1 所示。

4 實例分析

本文以鋁合金薄壁件定位布局優(yōu)化設計作為應用實例，在“N-2-1”定位原理的基礎上，建立薄壁件自重作用下應變能的Kriging 定位點布局預測模型，應用FPA 實現(xiàn)薄壁件定位點布局優(yōu)化，搜索薄壁件夾具定位布局最優(yōu)解，驗證本文所提方法的有效性。鋁合金機身蒙皮X×Y 向長度為200mm×500mm，厚度為2mm，具體材料屬性密度為2.8×103kg/m3，楊氏模量為7.12×1010Pa，泊松比為0.33，在蒙皮的兩條邊上分別劃分了500 個和200 個網(wǎng)格。為便于分析，根據(jù)零件規(guī)格及一般裝配精度要求將第1 基準面上的定位點數(shù)目設定為4，則蒙皮 “4-2-1”定位有限元模型如圖2 所示，其中第一基準面的4 個定位點為L1、L2、L3和L4，用于限制各點法向方向的位移，其中L1、L2、L3位置固定，其坐標依次為（134，334）、（66，334）、（66，166），L4為待優(yōu)化點，位置為（x，y）。第2 基準面的2 個定位點為L5和L6，位置為（0，400）、（0，100），用于限制X 向位移；第3基準面的1 個定位點為L7，位置為（100，0），用于限制Y向位移。

采用拉丁超立方采樣生成定位點布局樣本點，然后利用商用有限元軟件ABAQUS 計算不同定位布局下薄板實例受自重作用的應變能，從而生成訓練樣本和測試樣本。

通過拉丁超立方采用與有限元分析獲取不同布局下的應變能作為訓練樣本和模型精度測試樣本，經(jīng)過多次試算，當訓練樣本數(shù)量為50 時，所建立薄壁件應變能Kriging 預測模型滿足測試精度要求，Kriging 預測模型精度測試樣本見表1，訓練樣本見表2。Kriging 模型預測值與10 組有限元計算值間的對比結果如圖3 所示，相對誤差值為2.58%；預測模型中高斯相關參數(shù)分別為θ11=2.06，θ12=3.49。薄壁件應變能Kriging 預測模型的響應曲面如圖4 所示。

同時，為了進一步評估Kriging 模型用于預測不同定位布局下薄壁件應變能的精度，使用同樣的樣本數(shù)據(jù)代，轉換概率P 為0.25。圖7 為鋁合金蒙皮定位布局優(yōu)化曲線。

由圖7 可知，通過FPA 對建立的定位布局與應變能間的Kriging 模型進行尋優(yōu)，在50 代迭代優(yōu)化時獲得了最優(yōu)解，待優(yōu)化定位點（OL）的最優(yōu)位置為（90，215），此時對應的應變能為2.303mJ。將此最優(yōu)解代入有限元中進行驗證，得到此最優(yōu)布局下的應變能為2.412mJ，誤差為4.73%，通過FPA 優(yōu)化Kriging 模型得到的最優(yōu)解有效。

5 結論

圖1 基于Kriging和FPA的定位布局優(yōu)化策略流程圖Fig.1 Process of fixture locating layout optimization based on Kriging and FPA

圖2 蒙皮“4-2-1”定位有限元模型Fig.2 Finite element model of skin locating under “4-2-1”locating principle

表1 測試樣本數(shù)據(jù)集Table 1 Testing data set

為了實現(xiàn)曲面薄壁件夾具定位布局優(yōu)化，并減少有限元計算成本，本文以夾具定位布局為設計變量，以薄壁件彈性變形所存儲的應變能為優(yōu)化目標，提出了一種將Kriging 代理模型與FPA 相結合的薄壁件夾具布局集建立RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡進行精度對比分析。預測模型中高斯相關參數(shù)分別為θ11=2.06，θ12=3.49，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡預測值與有限元計算值的對比結果如圖5 所示，相對誤差值為5.17%；RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡的響應曲面如圖6 所示。

通過與RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡的對比，可發(fā)現(xiàn)在相同的訓練樣本和測試樣本下，Kriging 代理模型的預測精度更高。在建立薄壁件應變能Kriging 預測模型的基礎上，借助MATLAB 平臺，應用FPA 搜索薄壁件定位布局最優(yōu)解，其中FPA 初始種群N 為20 個，最大迭代次數(shù)200優(yōu)化設計方法。主要結論包括：

表2 訓練樣本數(shù)據(jù)集Table 2 Training data set

圖3 Kriging預測模型的預測輸出數(shù)據(jù)Fig.3 Predicted output data of the Kriging prediction model

圖4 Kriging預測模型的響應曲面Fig.4 Response surface of Kriging prediction model

圖5 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出數(shù)據(jù)Fig.5 Predicted output data of RBFNN

圖6 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的響應曲面Fig.6 Response surface of RBFNN

圖7 定位布局優(yōu)化曲線Fig.7 Optimization curve of fixture locating layout

（1）在少量有限元計算的基礎上，建立了自重條件下夾具定位布局方案與薄壁件應變能之間的Kriging 預測模型，通過避免大量的有限元分析計算提高了夾具定位布局優(yōu)化設計效率。

（2）結合Kriging 代理模型和花授粉算法，求解了自重作用下以應變能最小為目標的薄壁件夾具布局優(yōu)化設計問題，優(yōu)化結果可靠，優(yōu)化方法有效。為后續(xù)切削、裝配和測量等復雜制造過程的薄壁件夾具定位布局設計工作提供參考。