以問題串為燈照亮一次函數(shù)的復(fù)習(xí)方向

福建省漳州第一中學(xué) 顏月紅

在初中研究一次函數(shù)的過程中不停地滲透著數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，所研究的內(nèi)容和方式對后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)都起到鋪墊和類比的作用，因此，學(xué)生對一次函數(shù)知識的認(rèn)識及掌握情況在整個初中階段的學(xué)習(xí)中顯得尤其重要。在中考總復(fù)習(xí)過程中，教師采用問題串的形式組織教學(xué)，通過富有層次性的問題串，幫助學(xué)生理清知識點之間的關(guān)系，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生完成一次函數(shù)的中考復(fù)習(xí)過程。

模塊一：基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)

例1：請寫出一個過點（1，2）的一次函數(shù)的表達(dá)式。

問題串：（1）你求出的表達(dá)式是唯一的嗎？

（2）請說說你是怎樣求的，條件是什么？為什么可以是那樣的條件？

【設(shè)計意圖】因為正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，值的確定只需一個點，所以大部分學(xué)生寫出了y=2x 這個表達(dá)式。老師可以再追問兩個問題來引發(fā)學(xué)生思考，一次函數(shù)y=kx+b 的表達(dá)式的確定需要兩個條件，在已知的一個條件下，學(xué)生至少還有3 種添加條件的方式，可以是一個點，可以是k 的值，也可以是b 的值。通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維碰撞，不僅能回顧一次函數(shù)表達(dá)式的確定條件以及待定系數(shù)法的應(yīng)用，而且還能開拓學(xué)生的思維，活躍課堂氣氛。

（3）請寫出一個與直線y=2x 平行的直線的表達(dá)式，你能寫出幾種？理由是什么？

（4）請寫出一個與直線y=2x 相交的直線的表達(dá)式，說說你是如何求解的，理由是什么？并求出兩直線的交點坐標(biāo)。

（5）在（4）的條件下，記l1：y1=2x，所求直線記為l2：y2=kx+b，求出當(dāng)x 為何值時，y1≤y2？

【設(shè)計意圖】該問題串的設(shè)置讓學(xué)生明晰了從數(shù)與形兩個角度來判定直線位置關(guān)系的方法，同時也復(fù)習(xí)了如何求兩直線的交點坐標(biāo)。讓學(xué)生比較兩直線對應(yīng)的函數(shù)值大小，是綜合考查函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系。

例2：請畫出函數(shù)y=-2x+3 的圖像，你是怎么畫的？

問題串：（1）如何大致判斷你所畫的圖像是正確的？

（2）若該圖像上有兩點，坐標(biāo)分別是（-1，y1）和（3，y2），請比較y1與y2的大小，并用兩種方法說明。

（3）若該圖像上有兩點，坐標(biāo)是（x1，y1）和（x2，y2），當(dāng)x1＜x2時，比較y1與y2的大小。上述兩種方法是否可用，為什么？

（4）對于y=kx+b，若x1＜x2時，y1＞y2，求k 的值。

（5）對于一次函數(shù)y=（a-4）x+b，y 隨x 的增大而增大，求a的取值范圍。

【設(shè)計意圖】通過幾個問題串的設(shè)計來復(fù)習(xí)一次函數(shù)的增減性，特別是一次函數(shù)增減性的圖形語言、文字語言和符號語言的表述以及相關(guān)運用。

模塊二：一次函數(shù)的運用

例3：(2019 聊城)某快遞公司每天上午9 ：00－10：00 為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件，該時段內(nèi)乙兩倉庫的快件數(shù)量y(件)與時間x(分)之間的函數(shù)圖像如右圖所示，那么當(dāng)兩倉庫快遞件數(shù)相同時，此刻的時間為( )

A. 9：15 B. 9：20 C. 9：25 D. 9：30

問題串：（1）請說明圖中橫軸、縱軸及點A、B、C、D 表示的意義。

（2）說明甲圖像上升，乙圖像下降的理由？想想如何求甲、乙的表達(dá)式？

（3）“兩倉庫快遞件數(shù)相同”是指什么相同？在圖像上如何體現(xiàn)？

（4）結(jié)合本題說說解決圖像問題，關(guān)鍵點是什么？

【設(shè)計意圖】本例問題串設(shè)置是引導(dǎo)學(xué)生從圖像的角度認(rèn)識一次函數(shù)，進(jìn)一步鞏固學(xué)生利用一次函數(shù)圖像解決實際問題的基本技能以及如何根據(jù)題意將文字語言轉(zhuǎn)化到圖像中，讓學(xué)生明白解決該類型題的關(guān)鍵是要看懂圖像中點的意義。

例4：（2015 年十堰市中考數(shù)學(xué)節(jié)選）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，種植草莓不超過20 畝時，所得利潤y（元）與種植面積m（畝）滿足關(guān)系式y(tǒng)=1500 m，當(dāng)超過20 畝時，y=1380m+2400。而當(dāng)種植櫻桃的面積不超過15 畝時，每畝可獲利潤為1800 元，超過15 畝時，每畝利潤z（元）與種植面積x（畝）之間的函數(shù)關(guān)系式如下表。（為所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)中的一種）請寫出z 與x 之間的關(guān)系式。

x（畝）20 25 30 35 z（元）1700 1600 1500 1400

問題串：（1）你認(rèn)為z 與x 之間滿足的函數(shù)關(guān)系是什么？你是怎么判斷的？

（2）請你根據(jù)表格說明，x 每變化1 個單位，z 的變化情況是什么樣的？

（3）對于任意一次函數(shù)y=kx+b，x 每變化1 個單位，y 的變化情況是什么樣的？

【設(shè)計意圖】解決本例的關(guān)鍵是求出z 與x 的關(guān)系式，而用表格的方式來描述一次函數(shù)的模型是學(xué)生比較薄弱的，因此，本問題串的設(shè)置是引導(dǎo)學(xué)生從表格里點的坐標(biāo)之間的變化關(guān)系分析一次函數(shù)的本質(zhì)屬性，鞏固學(xué)生根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷函數(shù)模型的方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)建模能力。因此，本題的重點放在z 與x 的關(guān)系上。

綜上，以問題串為燈，步步引導(dǎo)學(xué)生完成一次函數(shù)的中考復(fù)習(xí)，開啟復(fù)習(xí)課的奇妙之旅。