初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)之“預(yù)設(shè)”與“生成”的策略

江蘇省江陰市夏港中學(xué) 姚菁菁

問題和解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心臟。解題過程是充分應(yīng)用所學(xué)知識分析問題并尋找答案的過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用技能的重要手段。在對初中生數(shù)學(xué)解題進(jìn)行探究中發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生只會埋頭解題而不會反思，解題過程中不會主動發(fā)問，主體意識仍未覺醒。從教師方面看，解題中采用的“題型+模仿+練習(xí)”的模式，多以教師講為主。要提高初中生的數(shù)學(xué)解題能力，不僅要提前做好預(yù)設(shè)，還要關(guān)注學(xué)生在解題過程中的表現(xiàn)，形成師生互動，促進(jìn)解題教學(xué)的動態(tài)生成。

一、預(yù)設(shè)一般方法，夯實(shí)基礎(chǔ)知識

課堂的預(yù)設(shè)和生成猶如孿生兄弟，如果沒有預(yù)設(shè)，生成也就成了空談。在解題教學(xué)中，更多的是要讓學(xué)生掌握解題的一般方法，即要讓學(xué)生從掌握知識過渡到應(yīng)用知識，形成“再創(chuàng)造”。為此，在預(yù)設(shè)中，教師要緊密結(jié)合教材，通過典型例題的預(yù)設(shè)來促進(jìn)學(xué)生對解題方法的掌握，否則，單純地通過講題并讓學(xué)生做題，效果并不是很理想。

以“證明兩個三角形全等”的解題為例，要證明兩個三角形全等，學(xué)生已經(jīng)掌握了SAS、ASA、AAS 等判定定理，在解題教學(xué)中就需要通過具體問題來引導(dǎo)學(xué)生思考應(yīng)該采用哪一種方法。故預(yù)設(shè)例題為：如圖1，點(diǎn)B 在AE 上，∠CAB=∠DAB,要使△ABC ≌△ABD,可補(bǔ)充的一個條件是什么？

通過題干，引導(dǎo)學(xué)生分析，已知∠CAB=∠DAB，即有一個角相等，AB=AB，即AB 為公共邊，若要用“SAS”來判定，需要補(bǔ)充什么條件？（AD=AC）若用“ASA”來判定，需要補(bǔ)充什么條件？（∠CBA=∠DBA）若用“AAS”判定，需要補(bǔ)充什么條件？（∠C=∠D）除此之外，還可以補(bǔ)充什么條件，用什么判定定理來證明？如此，通過一個簡單的例題，讓學(xué)生對證明兩個三角形全等的判定定理進(jìn)行鞏固，結(jié)合例題思考題干中所具備的條件，需要補(bǔ)充的條件。

解題教學(xué)所要做的不是帶領(lǐng)學(xué)生把書本中的知識完完全全地記下來，而是要讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)題干去分析，在分析過程中應(yīng)用所學(xué)知識去探究解題的一般方法。預(yù)設(shè)一般方法，就是通過典型例題，讓學(xué)生舉一反三，幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識，為拓展應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。當(dāng)然，在解題過程中，教師要和學(xué)生積極互動，以問題啟發(fā)學(xué)生思考，這樣才能讓課堂不斷生成，讓學(xué)生融入解題過程中。

二、預(yù)設(shè)知識陷阱，完善知識結(jié)構(gòu)

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生并不太善于糾錯。數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。在學(xué)生解題過程中，因?qū)W生的思維能力、知識結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)環(huán)境等多方面因素的影響，他們總會碰到各種各樣的問題，出現(xiàn)諸多錯誤。預(yù)設(shè)知識陷阱，就是要讓學(xué)生學(xué)會糾錯，能自己去發(fā)現(xiàn)錯誤，分析產(chǎn)生錯誤的原因，以此來幫助學(xué)生完善知識結(jié)構(gòu)，提升解題技能。

例如，如圖2，∠CAB=∠DBA,∠C=∠D，E 為AC 和BD 的交點(diǎn)，△ADB 與△BCA 全等嗎？說明理由。

三角形全等判定中沒有“AAA”的判定定理，兩個三角形若三個角都相等，也不能判斷兩個三角形全等，但在解題中，很多學(xué)生就會用“AAA”來判定兩個三角形全等。為此，預(yù)設(shè)該題，目的就是要讓學(xué)生能發(fā)現(xiàn)這種錯誤并尋找解決方法。在課堂中，一些學(xué)生就采用了這樣的證明方法：因?yàn)椤螩AB= ∠DBA, ∠C= ∠D，所以∠CBA= ∠DBA，所以△ADB ≌△BCA(AAA)。

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)這種錯誤時，可及時追問：“我們學(xué)過的判定兩個三角形全等的方法有哪些？”“‘AAA’可以證明兩個三角形全等嗎？若不能，此題應(yīng)該如何證明？”通過問題引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)知識，針對題干思考證明方法，找到AB 為公共邊，用“AAS”來證明。

在幾何解題中，很多學(xué)生會出現(xiàn)根據(jù)圖形就主觀判斷角或邊相等，或在原有定理、公式基礎(chǔ)上加入或減少條件的辦法進(jìn)行證明，從而導(dǎo)致錯誤出現(xiàn)。預(yù)設(shè)知識錯誤陷阱，就是要讓學(xué)生在錯誤中對所學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行回顧，完善認(rèn)知。

三、預(yù)設(shè)解題反思，促進(jìn)主動生成

在對初中生進(jìn)行調(diào)查時發(fā)現(xiàn)，大多學(xué)生并不會在解題后進(jìn)行反思。應(yīng)該說，反思是數(shù)學(xué)思維的核心和動力，是解決問題的抓手，是提升學(xué)生解題思維能力的源泉，是促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵所在。要讓學(xué)生能根據(jù)題干尋找解題方法，在解題教學(xué)中，要注重通過一題多解來幫助學(xué)生拓展思維，引導(dǎo)學(xué)生反思。

首先，要注重應(yīng)用錯題來引導(dǎo)學(xué)生反思。以“平方根和算術(shù)平方根”的概念鞏固為例，練習(xí)中展示問題：下列說法正確的是（ ）。A. -8 是(-8)2的算術(shù)平方根本；B. 25 的平方根是±5；C. 4 是-16 的算術(shù)平方根；D. 1 的平方根是它本身。在解答中，學(xué)生的答案較多，此時就可引導(dǎo)學(xué)生分析。A答案中，算術(shù)平方根不可能為負(fù)數(shù)，故A必錯；B 答案中考查的是平方根的概念，可以為正數(shù)，也為負(fù)數(shù)，故B 正確；C 答案中，-16 是沒有平方根的，自然也就沒有算術(shù)平方根了，故而錯誤；D 答案只考慮了一種情況，正數(shù)的平方根有兩個，故而錯誤。引導(dǎo)學(xué)生分析選擇錯誤的原因，幫助學(xué)生鞏固“平方根和算術(shù)平方根”的概念，加強(qiáng)反思。

其次，注重采用一題多解來引導(dǎo)學(xué)生反思。例如，如圖3，已知D、E 在BC 上，AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE。

大多數(shù)學(xué)生是根據(jù)△ABC 和△ADE 是等腰三角形，利用“等腰三角形底邊上的三線合一”來求證BH=CH。解題后，引導(dǎo)學(xué)生反思用其他方法如何證明。經(jīng)過討論，得到要證明線段相等，可考慮證明三角形全等，從而從證明“△ABD ≌△ACE”或“△ABE ≌△ACD”展開探索，而有的學(xué)生則考慮用等腰三角形是軸對稱圖形的性質(zhì)來證明。如此，通過反思，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考解題方法，學(xué)生的思維得到培養(yǎng)，掌握了多種求證方法。

四、關(guān)注學(xué)生主體，合理演繹生成

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，學(xué)生并不是作為被動的接受對象在接受知識，相反，他們是學(xué)習(xí)的主體，要讓數(shù)學(xué)課堂在預(yù)設(shè)和生成中更加精彩，必須關(guān)注學(xué)生的主體性，通過多種方式讓學(xué)生參與到解題過程中。

首先，要讓學(xué)生敢說。在解題中，無論學(xué)生得到的答案正確與否，都要引導(dǎo)學(xué)生說理由，通過說讓學(xué)生總結(jié)自己是如何解題的，產(chǎn)生錯誤的原因是什么。很多教師在課堂中不太愿意讓學(xué)生說，認(rèn)為這樣耽誤課堂時間，其實(shí)不然，讓學(xué)生參與表達(dá)，將講題過程表達(dá)出來，可更好地幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，也利于其他學(xué)生從中吸取經(jīng)驗(yàn)。

其次，要注重應(yīng)用問題來驅(qū)動學(xué)生參與互動，促進(jìn)課堂的生成。如：已知x2=1，那么 的值是多少？在解答中問：“由x2=1 可以推出什么？為什么？”通過該問題復(fù)習(xí)所學(xué)知識，再追問：“一切實(shí)數(shù)都有立方根，-1 有沒有立方根？”通過問題引導(dǎo)學(xué)生正確求解。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)解題過程中，問題并不是越多越好，而是要根據(jù)實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題干展開討論和思考，從而找到正確的解題方法。

最后，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會歸納和總結(jié)，如：三角形全等的證明都有哪些方法？應(yīng)該滿足哪些條件？解題后要引導(dǎo)學(xué)生對證明三角形全等的方法進(jìn)行歸納。又如，幾何證明中添加輔助線的方法，針對哪種圖形，一般可以添加哪些輔助線。諸如此類，通過一段時間的積累，學(xué)生掌握了多種解題方法，在解題中靈活應(yīng)用，其應(yīng)用能力自然得到提升。

沒有預(yù)設(shè)，解題教學(xué)難以順利開展；沒有生成，整個課堂變得毫無生氣。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要緊扣教材和學(xué)生實(shí)際，做好充分預(yù)設(shè)，關(guān)注學(xué)生在解題過程中的思維培養(yǎng)，及時針對學(xué)生的探究給予引導(dǎo)、點(diǎn)撥，促進(jìn)課堂向著生成方向發(fā)展。如此，學(xué)生在解題過程中，思維能力得到了培養(yǎng)，掌握了方法，形成了技能，才能獲得更好的發(fā)展。