折疊問題的解答策略

作者簡(jiǎn)介

陳美浩，國家二級(jí)奧林匹克教練員，曾獲得河南省信息技術(shù)與融合優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)、新鄉(xiāng)市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，并獲得新鄉(xiāng)市“教學(xué)標(biāo)兵…‘中招功勛教師”稱號(hào)，撰寫的論文多次獲得河南省優(yōu)秀教育教學(xué)研究成果一等獎(jiǎng).

近年來，折疊類問題往往融合一系列的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想和函數(shù)思想等，具有一定的難度彳艮多同學(xué)對(duì)這類問題感到無從下手.下面以一道折疊類問題為例進(jìn)行探究分析.

例1 如圖1，在矩形ABCD中，AB=5.BC=4，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊得到△ABE若點(diǎn)B'恰好落在射線CD上，則BE的長為_____.

分析：對(duì)于折疊類問題，可以根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和題意，畫出基本圖形，也可以動(dòng)手實(shí)踐操作.本題可以得出AB=AB'，所以可以得到點(diǎn)B在以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑的一段圓弧上，若點(diǎn)B'恰除好落在射線C上，則圓弧與射線CD的交點(diǎn)就是B（如圖2）.

情形一：當(dāng)點(diǎn)B落在線段CD上時(shí)，圓弧與線段CD的交點(diǎn)為B，連接AB，作出圖形（如圖3）.

情形二：當(dāng)點(diǎn)B落在線段CD的延長線上時(shí)，圓弧與線段CD的延長線的交點(diǎn)為B'，連接AB，作出圖形（如圖4）.

思路1：根據(jù)題意，結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)，利用勾股定理求出DB的長，進(jìn)而求出CB，的長.設(shè)BE的長為x，用含x的代數(shù)式表示出CE的長，然后在Rt△CEB中，利用勾股定理列方程進(jìn)行求解.

解法1：（1）當(dāng)點(diǎn)B落在線段CD上時(shí).如圖3，在矩形ABCD中，∠D=∠B=∠C：90°.

思路2：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到∠AB'E=∠B=90°.出現(xiàn)多個(gè)直角三角形，所以可以考慮利用相似三角形的性質(zhì)求解.

（2）當(dāng)點(diǎn)B落在線段CD的延長線上時(shí)，用（1）中的方法可得到BE的長是10.

思路3：在以平行四邊形為背景的折疊問題中，折疊后往往出現(xiàn)角平分線.結(jié)合平行線.容易構(gòu)造或得到等腰三角形，進(jìn)而得到線段之間的關(guān)系，

解法3：（1）當(dāng)點(diǎn)B落在線段CD上時(shí)，如圖6.延長DC、AE交于點(diǎn)F在矩形ABCD中，AB//CD，BC=AD=4，∠D=90°.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠B'A E= ∠BAE，AB=AB'=5.

（2）當(dāng)點(diǎn)B落在線段CD的延長線上時(shí)，如圖7.用上述方法易得到BE的長是10.