正方形中的蝴蝶三角形

左效平

正方形是一種重要的特殊平行四邊形，也是許多考題的載體之一.而正方形中的一個(gè)重要圖形——蝴蝶三角形，也日益成為各級(jí)考試考查的內(nèi)容.下面，就結(jié)合2019年的中考題介紹正方形中的蝴蝶三角形，并梳理其應(yīng)用.

一、初識(shí)正方形中的蝴蝶三角形

如圖1.在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=CF連接AE，BF，兩線交于點(diǎn)G.△ABE和△BCF構(gòu)成的圖形就是正方形ABCD中的蝴蝶三角形.蝴蝶三角形具有如下性質(zhì)（證明從略）：

（1）蝴蝶三角形是全等三角形，即△ABE≌△BCF;

（2）斜邊AE，BF的關(guān)系是AE=BF且AE⊥BF;

（3）三角形ABG的面積等于四邊形GECF的面積：

（4）四邊形ABFD的面積等于四邊形AECD的面積.

二、蝴蝶三角形的應(yīng)用

1.尋找等角的個(gè)數(shù)

例1（2019年·河池）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=CF則圖中與∠AEB相等的角的個(gè)數(shù)是（

）.

A.1 B.2C.3D.4

分析：△ABE和△BCF是正方形ABCD中的蝴蝶三角形，因此△ABE≌△BCF，所以∠AEB=∠BFC.根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到AB//DC，AD//BC，繼而又得到∠ABF=∠BFC，∠AEB=∠EAD.這樣，就把與∠AEB相等的角都找出來(lái)了，選C.

點(diǎn)評(píng)：確定等角的常用方法要熟記：（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等;（2）兩直線平行，同位角相等;（3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;（4）等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等;（5）與同一個(gè)角互余（互補(bǔ)）的角相等.

2.探求線段的長(zhǎng)度

側(cè)2（2019年·孝感）如圖3.正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點(diǎn)G.若BC=4，DE=AF=1，則GF的長(zhǎng)為（

）.

A.13/5 B.12/5 c.19/5 D. 16/5

解：根據(jù)勾股定理，得BE=CF=5.根據(jù)蝴蝶三角形的性質(zhì)，得BE⊥CF，所以CG·BE=