如何構(gòu)造三角形中位線

三角形的中位線定理，是一個很有價值的定理，解題時若遇到中點，它是必須被聯(lián)想到的定理之一.但是，在題目中往往只知道一個中點，而另一個中點未知，需要同學(xué)們根據(jù)題目的特點去尋找.下面，就向大家介紹幾種構(gòu)造中位線的方法，供參考.

一、連接兩點構(gòu)造中位線

例1 如圖1.已知△ABC.分別以AB，AC為邊向外作兩個等邊三角形ABM和ACN.D，E，F(xiàn)分別是MB.BC，CN的中點，連接DE、EF。求證：DE=EF

證明：連接CM，BN，如圖2.

△ABM和△ACN是等邊三角形，易證△MAC≌△BAN（邊角邊）.

∴MC=BN.

∵D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點，

∴DE=1/2MC，EF=1/2BN，從而DE=EF.

二、用“角平分線+垂直”構(gòu)造中位線

例2 已知M為△ABC的邊BC的中點.AB=12，AC=18.BD⊥AD于D，連接MD.

（1）如圖3，若AD為∠BAC的平分線，求MD的長：

（2）如圖4，若AD為△ABC的外角的平分線，求MD的長，

解：（）如圖5.延長BD交AC于E.

∵AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD，

∴BD=DE，AE=AB=12.

∴CE=AC-AE=18-12=6.

又∵M為BC的中點，

∴MD是△BCE的中位線，MD=3.

（2）延長BD，CA交于E，如圖6.仿（1），CE=AC+AE=AC+AB=30，

∴MD=CE2=15.

三、倍長法構(gòu)造中位線

例3 如圖7.在△ABC中，∠ABC=90° ，BA=BC.△BEF為等腰直角三角形，

如何構(gòu)造三角形中位線

吉林省長春市解放大路學(xué)校

王翰琛

三角形的中位線定理，是一個很有價值的定理，解題時若遇到中點，它是必須被聯(lián)想到的定理之一.但是，在題目中往往只知道一個中點，而另一個中點未知，需要同學(xué)們根據(jù)題目的特點去尋找.下面，就向大家介紹幾種構(gòu)造中位線的方法，供參考.

一、連接兩點構(gòu)造中位線

例1 如圖1.已知△ABC.分別以AB，AC為邊向外作兩個等邊三角形ABM和ACN.D，E，F(xiàn)分別是MB.BC，CN的中點，連接DE、EF。求證：DE=EF

證明：連接CM，BN，如圖2.

△ABM和△ACN是等邊三角形，易證△MAC≌△BAN（邊角邊）.

∴MC=BN.

∵D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點，

∴DE=1/2MC，EF=1/2BN，從而DE=EF.

二、用“角平分線+垂直”構(gòu)造中位線

例2 已知M為△ABC的邊BC的中點.AB=12，AC=18.BD⊥AD于D，連接MD.

（1）如圖3，若AD為∠BAC的平分線，求MD的長：

（2）如圖4，若AD為△ABC的外角的平分線，求MD的長，

解：（）如圖5.延長BD交AC于E.

∵AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD，

∴BD=DE，AE=AB=12.

∴CE=AC-AE=18-12=6.

又∵M為BC的中點，

∴MD是△BCE的中位線，MD=3.

（2）延長BD，CA交于E，如圖6.仿（1），CE=AC+AE=AC+AB=30，

∴MD=CE2=15.

三、倍長法構(gòu)造中位線

例3 如圖7.在△ABC中，∠ABC=90° ，BA=BC.△BEF為等腰直角三角形，