在游戲中經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程
——以“點(diǎn)與數(shù)”的教學(xué)為例

朱燕鋒，宋怡楠

(杭州市蕭山區(qū)萬(wàn)向小學(xué)，浙江杭州，311215)

游戲除了娛樂(lè)還有什么功能？人在玩游戲時(shí)會(huì)沉浸其中，反復(fù)嘗試著各種失敗與成功，經(jīng)歷富有探索性的愉快過(guò)程。在數(shù)學(xué)游戲過(guò)程中，兒童可以更深刻地理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，感悟數(shù)學(xué)的思想方法，在獲得靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性、發(fā)散性思維的過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)游戲化學(xué)習(xí)就是把游戲思維和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)合起來(lái)，在學(xué)中玩、玩中學(xué)，讓游戲?qū)儆趦和?，讓?shù)學(xué)幫助兒童成長(zhǎng)。

進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲化學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于根據(jù)內(nèi)容設(shè)計(jì)合適的數(shù)學(xué)游戲，從教學(xué)內(nèi)容中提取可以發(fā)展的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而在內(nèi)容、目標(biāo)與游戲之間建立聯(lián)系。筆者在教學(xué)“點(diǎn)與數(shù)”時(shí)，為了讓學(xué)生理解二進(jìn)制與十進(jìn)制的位值原理，選取棋子與方格作為游戲道具，制訂了一定的規(guī)則，讓學(xué)生在游戲體驗(yàn)中經(jīng)歷二進(jìn)制建模的過(guò)程，在愉快的氛圍中掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法，鍛煉思維的靈活性。

一、在觀察發(fā)現(xiàn)中尋找數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)游戲根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同大致可以分成五種類型：熟悉操練型、觀察發(fā)現(xiàn)型、策略感悟型、經(jīng)驗(yàn)積累型、智能發(fā)展型。觀察發(fā)現(xiàn)型的數(shù)學(xué)游戲指向數(shù)學(xué)規(guī)律的探究和發(fā)現(xiàn)，通過(guò)游戲感悟數(shù)學(xué)現(xiàn)象蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理。在“點(diǎn)與數(shù)”的教學(xué)中，筆者首先以棋子移動(dòng)為點(diǎn)，不同方格為值，利用游戲讓學(xué)生通過(guò)觀察、比較、分析、推理的方式尋找長(zhǎng)方形方格中點(diǎn)與數(shù)之間的規(guī)律，建構(gòu)模型，并嘗試運(yùn)用模型去表示任意自然數(shù)。

(一)讀圖觀察，尋找擺數(shù)規(guī)則

觀察是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，簡(jiǎn)單的方格擺數(shù)游戲吸引了學(xué)生的注意力，給學(xué)生提供了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生的眼、耳、口、手等多種感官系統(tǒng)參與其中，在讀圖觀察中經(jīng)歷規(guī)則解讀和規(guī)律探究的過(guò)程。

1.激趣導(dǎo)入，揭示課題

教師直奔主題，揭示課題“點(diǎn)和數(shù)”游戲，明確游戲規(guī)則：第一，每個(gè)方格里只放一顆棋子；第二，不同位置的棋子表示不同的數(shù)。教師在學(xué)生讀懂游戲規(guī)則后，明確指出游戲玩法就是用棋子在方格圖上擺出不同的數(shù)。

2.讀圖觀察，探討規(guī)律

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“要培養(yǎng)學(xué)生直接從圖中搜集、分析和處理信息的能力?！币虼?，教師在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度觀察畫面，從中選擇有用的數(shù)學(xué)信息，找出規(guī)律，解決問(wèn)題。

圖1 擺數(shù)圖

教師出示擺數(shù)圖(圖1)，提問(wèn)：“會(huì)玩這個(gè)游戲嗎？我們一起來(lái)看看游戲擺數(shù)規(guī)律，你看懂了嗎？”根據(jù)學(xué)生的回答，教師明確：把右邊的數(shù)叫作前，左邊的數(shù)叫作后，后一格的數(shù)=前一格的數(shù)×2。

師：能用算式表示上面的數(shù)嗎？

生：1，1×2，2×2，4×2。

師：還能用其他方式表示這些數(shù)嗎？

生：20，21，22，23。

師：用次方表示的，真厲害！如果把這個(gè)棋子放到第五格，表示幾？你會(huì)怎么表示？

生：2×2×2×2。

師：我們還可以寫成“24”，讀作2的4次方。

數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)表述，讀圖之后對(duì)點(diǎn)的擺數(shù)規(guī)律的描述，開(kāi)啟了數(shù)學(xué)模型的探究。這時(shí)教師就要把這顆棋子放到第七格，引導(dǎo)學(xué)生觀察它表示幾，能否用算式表示。有部分學(xué)生說(shuō)是32，因?yàn)榈谄吒癖硎?個(gè)2相乘。教師依次數(shù)出第七格的位置，追問(wèn)：“第七格到底是幾個(gè)2相乘？”學(xué)生恍然大悟，第七個(gè)格子的點(diǎn)表示64，因?yàn)槭?個(gè)2相乘。

(二)深究規(guī)律，初見(jiàn)模型

模型建立始于規(guī)律的探究過(guò)程，是在尋找更多規(guī)律中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、尋找策略、形成解釋、獲得結(jié)論，親歷模型的形成過(guò)程。

1.再探規(guī)律，明晰方格數(shù)值

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律并適時(shí)形成結(jié)構(gòu)模型。學(xué)生在進(jìn)一步探究中就會(huì)發(fā)現(xiàn)方格上的數(shù)等于2的格數(shù)減一次方。

師：99格上的數(shù)算式如何列？

生：98個(gè)2相乘。

師：200格上的數(shù)算式如何列？

生：199個(gè)2相乘。

師：第n格呢？

生：2n-1。

在教學(xué)中，教師不是盲目地帶領(lǐng)學(xué)生去學(xué)習(xí)二進(jìn)制，而是著重用位值的思想去玩這個(gè)游戲。對(duì)于能用這樣簡(jiǎn)潔的方式表達(dá)這條規(guī)律、形成格子的數(shù)值理解的學(xué)生，教師要加以表?yè)P(yáng)。

2.對(duì)比發(fā)現(xiàn)，解讀數(shù)值表示

學(xué)生讀圖觀察，一個(gè)點(diǎn)的大小已經(jīng)和對(duì)應(yīng)方格上的數(shù)值建立聯(lián)系，那么如何用更多的點(diǎn)來(lái)表示更多的數(shù)呢？這就需要學(xué)生進(jìn)一步探尋、解讀數(shù)值的含義。

教師出示圖2并問(wèn)學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了什么。

圖2 更多不同的數(shù)的擺數(shù)圖

生：都是加起來(lái)的(多個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是所在點(diǎn)位置數(shù)的和)。

師：你能用算式來(lái)表示嗎？

生：1+2=3，1+2+4=7。

教師明確可以組合不同位置的棋子表示更多不同的數(shù)，并進(jìn)一步讓學(xué)生辨析剛才用一顆棋子表示了8，那么8可不可以用多顆棋子表示？

生：8只有這一種擺法，因?yàn)橛疫吶齻€(gè)格子最大只有7。

從一點(diǎn)到多點(diǎn)，利用點(diǎn)子與格子的位置關(guān)系建立大小關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)規(guī)律和思想。教師在教學(xué)中要著重引導(dǎo)學(xué)生理解位值的思想，讓學(xué)生在對(duì)比中明白不同位置的方格代表不同的數(shù)，同一位置的方格代表相同的數(shù)，尤其是在出現(xiàn)進(jìn)位時(shí)，如何順利找到進(jìn)位后的數(shù)所在的格。

二、在經(jīng)驗(yàn)積累中分析數(shù)學(xué)模型

活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累對(duì)于分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)尤為重要。學(xué)生在游戲活動(dòng)過(guò)程中所獲得的直接或間接的體驗(yàn)，是要靠學(xué)生經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐、 獨(dú)立思考、同伴互助、合作交流感悟出來(lái)的。學(xué)生在積極參與各種活動(dòng)的過(guò)程中，完成了知識(shí)的學(xué)習(xí)和構(gòu)建，真正地了解了獲取知識(shí)的價(jià)值和意義。在教學(xué)中，筆者讓學(xué)生在方格上用棋子擺各種數(shù)，找出方格背后二進(jìn)制數(shù)的數(shù)值規(guī)律，如圖3。

圖3 “點(diǎn)和數(shù)”游戲現(xiàn)象和本質(zhì)

(一)操作體驗(yàn)，交流策略

教師向?qū)W生講明操作要求后，學(xué)生拿出信封中的棋子，在操作單上擺出自己喜歡的數(shù)。學(xué)生在操作體驗(yàn)后介紹自己的擺數(shù)方法。

教師投屏展示學(xué)生擺的數(shù)，與學(xué)生一起交流、分享，在擺數(shù)的時(shí)候標(biāo)出每一格，幫助學(xué)生快速找到棋子表示的數(shù)。同時(shí)，教師還要求學(xué)生利用算式表示自己擺數(shù)的想法。

(二)分享經(jīng)驗(yàn)，揭示本質(zhì)

把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，就能夠建立抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形之間的聯(lián)系。教師心中想一個(gè)數(shù)，如25，問(wèn)學(xué)生會(huì)怎么擺，擺在哪里，用到幾顆棋子。

生：因?yàn)?5是奇數(shù)，所以要選1。

師：通過(guò)分析奇偶性你找到了1，16和8你是怎么找到的？

生：16+8=24。

師：哦，找到了這兩個(gè)格子。那你們想16這個(gè)格子為什么要用到？說(shuō)說(shuō)你的理由。

生：16前面的格子全部加起來(lái)最大只有15，比16小1。16+8+1=25。

師：25太簡(jiǎn)單了哦，來(lái)個(gè)難的，252，想一想會(huì)在哪幾格？會(huì)用到哪幾顆棋子？

師：我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)小細(xì)節(jié)，你們都沒(méi)有看到呀！

生：我多畫了一個(gè)格子。

數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己發(fā)現(xiàn)的?！痹跀[數(shù)活動(dòng)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)7格不夠。“不夠是什么意思”的分析是學(xué)生對(duì)不同格子表示不同的位值的模型理解。在模型構(gòu)建中，教師引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法和角度來(lái)思考和解決問(wèn)題。一開(kāi)始，學(xué)生在格子上從右往左依次擺數(shù)，得出1+2+4+8+16+32+64+…，利用不斷逼近的方法排除4來(lái)尋找252。也有學(xué)生用到十進(jìn)制數(shù)中的湊整方法，先找到與252最接近的位值是256，右邊7個(gè)格子的點(diǎn)數(shù)之和就是256-1=255，利用255-2-1=252。當(dāng)然，也有學(xué)生先找128，再利用倒著算的方法得出128+64+32+…，從而不斷尋找接近目標(biāo)數(shù)的格子。教師在這個(gè)過(guò)程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，有效構(gòu)建二進(jìn)制位值的數(shù)學(xué)模型。

(三)再次活動(dòng)，應(yīng)用模型

擺數(shù)活動(dòng)一：對(duì)于252想到了這么多方法，那么155你能不能想到好方法？比一比誰(shuí)快。

方法交流：因?yàn)?55-128=27，27-16=11，11-8=3，3-2=1，1-1=0，所以155=128+16+8+2+1。

擺數(shù)活動(dòng)二：現(xiàn)在不比方法，比速度，比誰(shuí)用最快的速度擺出125。

方法交流：因?yàn)?28-1=127，127-2=125，125可以表示擺滿右邊6格減去第2格即可。

數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展是一個(gè)應(yīng)用的過(guò)程。模型思想注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問(wèn)題。學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中感悟數(shù)的大小關(guān)系，在靈活適切的教學(xué)活動(dòng)中提升思維能力。學(xué)生在擺數(shù)中邊擺邊說(shuō)自己的想法，在數(shù)的組成中通過(guò)有序思考，對(duì)二進(jìn)制數(shù)位值的表示能力有了更大的提升，策略意識(shí)也逐步顯現(xiàn)。

三、在智能發(fā)展中實(shí)現(xiàn)模型遷移

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維。學(xué)生在游戲的過(guò)程中因思維的發(fā)展而獲得智能的進(jìn)階，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)游戲教學(xué)的目標(biāo)與追求。在學(xué)生對(duì)游戲中的規(guī)律和位值有了初步理解，并建構(gòu)了模型之后，教師有必要進(jìn)一步深化教學(xué)方式，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用，舉一反三，實(shí)現(xiàn)模型遷移。

如圖4，教師出示另一種擺數(shù)圖，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，四人小組在合作討論擺數(shù)規(guī)律的基礎(chǔ)上，再在操作紙上擺出自己心中的數(shù)，并進(jìn)行交流。

圖4 另一種擺數(shù)圖

師：誰(shuí)能上來(lái)擺一擺？猜一猜你擺的數(shù)表示幾。(一學(xué)生上臺(tái)，在最左邊擺滿4個(gè)棋子)

生：他擺的數(shù)是96。因?yàn)閺挠彝蟮谝涣忻扛癖硎?，第2列每格表示2，第三列每格表示6，第四列每格表示24，4格就是96。

師：這個(gè)擺數(shù)圖和剛才的擺數(shù)規(guī)律不同，兩者又有什么相同的地方？

生：從這兩種擺數(shù)圖中我們都可以表示出自己想要的數(shù)，而且每個(gè)數(shù)的表示方法只有一種，不會(huì)重復(fù)。

數(shù)學(xué)模型的解釋和應(yīng)用，不是將模型看作確定的算法或思維程序進(jìn)行機(jī)械的記憶、復(fù)述與應(yīng)用，而是將數(shù)學(xué)模型作為學(xué)生向更高層次跳躍的平臺(tái)，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維提供了更大的可能。在幾顆棋子、幾行格子變化的擺數(shù)挑戰(zhàn)中，學(xué)生的觀察能力、遷移能力、邏輯思維能力等空間智能都得到了充分的提升。看似簡(jiǎn)單的游戲操作，卻蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思考，最重要的是能讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)游戲充分體驗(yàn)學(xué)習(xí)與生活。這不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且有助于學(xué)生對(duì)進(jìn)制的理解，使學(xué)生在內(nèi)心建立認(rèn)知模型并發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

學(xué)生認(rèn)識(shí)事物要經(jīng)歷由易到難、由直觀到抽象、由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。數(shù)學(xué)游戲課就是引導(dǎo)學(xué)生從易到難、由淺入深的切入口，必須有趣、鮮活。基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的“點(diǎn)與數(shù)”教學(xué)，讓學(xué)生在操作體驗(yàn)中經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建構(gòu)，把握數(shù)學(xué)所學(xué)知識(shí)的過(guò)程。我們期待學(xué)生用眼睛觀察、用耳朵聆聽(tīng)、動(dòng)手操作、動(dòng)腦筋思考，多感官協(xié)調(diào)學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)游戲中了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，愛(ài)上數(shù)學(xué)。