偏導(dǎo)數(shù)“以學(xué)定教”模式的思考

邱 云 蘭

(廣州工商學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部， 廣州 510850)

一、問(wèn)題提出

在求偏導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，把握教綱，要根據(jù)題型類(lèi)型特征選擇有效的求解方法。求偏導(dǎo)數(shù)的有些內(nèi)容比較繁難，算量大、情景新、交匯強(qiáng)。因此，在課堂教學(xué)中了解學(xué)情，“以學(xué)定教”，掌握偏導(dǎo)數(shù)的定義、定理、公式的表述形式及其應(yīng)用。梳理其知識(shí)體系[1]；根據(jù)教學(xué)大綱，選擇難易度適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容。

清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系白峰彬認(rèn)為，基礎(chǔ)課像打樁子，要想讓基礎(chǔ)有用，基礎(chǔ)課就要有一定的難度，后續(xù)課程就像給這些樁子建立聯(lián)系。關(guān)鍵是分析“難之所在”和“難”的原因。對(duì)抽象之處，形象描述，創(chuàng)設(shè)思維切入點(diǎn)和思維的最近發(fā)展區(qū)。對(duì)繁瑣之處的預(yù)設(shè)，要條分綏析，對(duì)枯燥之處要補(bǔ)充素材配點(diǎn)“小插曲”，引起學(xué)生興趣和注意[2]。注重教學(xué)內(nèi)容、教法的選擇，真正為學(xué)生解決數(shù)學(xué)中遇到的實(shí)際問(wèn)題，給予學(xué)生在成長(zhǎng)中的動(dòng)機(jī)、行為、情感、態(tài)度、價(jià)值觀等方面的激勵(lì)和幫助。

二、偏導(dǎo)數(shù)“以學(xué)定教”模式的路徑選擇

偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算或證明的思路選擇，一般可以選擇：定義法、公式法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、全微分法等。根據(jù)題型特征選擇方法,關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用概念、公式，靈活選擇解題方法。

1.用偏導(dǎo)數(shù)的定義公式求解或證明有關(guān)問(wèn)題

對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，連續(xù)未必可導(dǎo)，可導(dǎo)未必連續(xù)；但是，對(duì)多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，偏導(dǎo)未必連續(xù)，不連續(xù)未必不偏導(dǎo)，這兩個(gè)結(jié)論看似矛盾，其實(shí)是一致的，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)只要對(duì)相應(yīng)的一元函數(shù)(不是多元函數(shù)本身！)滿(mǎn)足“連續(xù)未必偏導(dǎo)，偏導(dǎo)未必連續(xù)”的結(jié)論。

例如 設(shè)z=f(x,y)在(x0,y0)處可偏導(dǎo)，則一元函數(shù)φ(x)=(x,y0)在x0處連續(xù)；而若φ(x)=(x,y0)在x0處連續(xù)，z =f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x未必可偏導(dǎo)。關(guān)鍵是應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的定義：如果f(x,y)在區(qū)間D內(nèi)每一點(diǎn)(x，y)處對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么z=f(x,y)在D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)

證明 由導(dǎo)函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義，得

fx(x,b)

由于y與Δx無(wú)關(guān)，所以上面兩個(gè)極限相等，即

怎樣讓學(xué)生的思維真正活動(dòng)起來(lái)，這個(gè)動(dòng)力就是“問(wèn)題”，有思維價(jià)值的問(wèn)題可以把學(xué)生帶入“憤悱”的境地。在課堂教學(xué)中注重高層次與低層次的提問(wèn)。提問(wèn)是為了激發(fā)學(xué)生的興趣，多角度的理解所學(xué)內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生在動(dòng)口中學(xué)會(huì)提問(wèn)，在動(dòng)手中體驗(yàn)解題的經(jīng)驗(yàn)，在動(dòng)腦中鍛煉和提升邏輯思維能力。

=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]

應(yīng)用公式求解時(shí)，要厘清公式成立和適用范圍，即掌握多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合情形的有關(guān)定理，根據(jù)學(xué)情，盡可能把每一步的求解過(guò)程講懂，把思路講清，把課講懂是教學(xué)對(duì)教師的基本要求。

2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、全微分法求偏導(dǎo)數(shù)

有些隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或高階偏導(dǎo)數(shù)的求解，要緊扣定義、定理、公式的提問(wèn)。例如，求高階偏導(dǎo)數(shù)，從低到高分步計(jì)算寫(xiě)出將要用到的各階偏導(dǎo)數(shù)，切忌從高到低一步寫(xiě)出結(jié)果。哈爾莫斯說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是解題”，解題是教學(xué)的主體，也是落實(shí)人才培養(yǎng)的具體要求和落實(shí)教學(xué)過(guò)程中教師承擔(dān)的道德教育的重任，不能忽視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)課堂可以分為概念科、原理課、解題課[3]。

解

偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是一種實(shí)踐能力，要靠長(zhǎng)期訓(xùn)練和積累，才能有效確保計(jì)算的準(zhǔn)確性和快捷性[4]。在用全微分的方法時(shí)，把所有變量視為自變量，對(duì)方程兩邊求微分，再把所要求的隱函數(shù)的微分當(dāng)作未知量，從方程或方程組中求解。

解 方程兩邊求微分，得

dx+2dy+3dz=-e-(x+2y+3z)(dx+2dy+3dz),

三、結(jié)語(yǔ)

馬克思說(shuō)：“一種科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才能達(dá)到了真正的完善的進(jìn)步。”培根認(rèn)為：數(shù)學(xué)是“通向科學(xué)大門(mén)的鑰匙”，現(xiàn)今人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的語(yǔ)言和工具。今天雖然強(qiáng)調(diào)登塔爾所主張的“再創(chuàng)造”的過(guò)程，但這決不意味著學(xué)生遇到困惑時(shí)老師袖手旁觀，任憑學(xué)生自己去苦苦掙扎，而放棄自己才智和德行，為學(xué)生譯疑解惑，洞察疑難困惑之所在，準(zhǔn)確把握解決疑難困惑之關(guān)鍵。

求偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)的根本目的，就在于引領(lǐng)學(xué)生掌握具有普遍意義和廣泛遷移價(jià)值的策略性知識(shí)數(shù)學(xué)思想方法。概念是判斷的工具，它能使我們形成類(lèi)化的能力，使我們的知識(shí)標(biāo)準(zhǔn)化，并促進(jìn)對(duì)未知事物的認(rèn)識(shí)。強(qiáng)化偏導(dǎo)數(shù)的概念、公式的理解，理解是學(xué)好偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵和核心，沒(méi)有對(duì)偏導(dǎo)知識(shí)的理解就沒(méi)有求偏導(dǎo)數(shù)的技能的掌握，也沒(méi)有數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，更沒(méi)有大家熱議的學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成[5]。對(duì)于不同的內(nèi)容不同的解題方法使用的條件、適用的范圍都需要周密的分析并引起高度重視。重視問(wèn)題的表征、言語(yǔ)和方法，充分挖掘、適時(shí)滲透學(xué)生問(wèn)題和學(xué)科內(nèi)容本身蘊(yùn)含的元素。有效互動(dòng)探索解題思路、解題方法和解題路徑[6]。