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    幾個特殊廣義積分的計算

    2020-10-28 02:00:26叢愛玲韓朝陽
    牡丹江教育學院學報 2020年9期
    關鍵詞:無界計算題收斂性

    叢愛玲 韓朝陽

    (1牡丹江市教育教學研究院, 黑龍江 牡丹江 157000;2哈爾濱理工大學理學院, 哈爾濱 150080)

    對于一些積分計算題我們很難采用常規(guī)方法得出原函數,甚至根本不能用初等函數來進行表示,利用幾個特殊廣義積分的計算結果作為結論處理這些計算題,很容易處理復雜的積分計算。

    1 Euler積分

    解:這是一個無界的瑕積分,瑕點為x=0.利用柯西判別法,容易驗證該積分的收斂性。

    先做代換x=2t,得到

    所以答案為

    2 Froullani積分

    設函數f(x)在[0,+)上連續(xù),極限f(+)存在且有限,實數a,b>0,計算積分

    解 本題廣義積分的收斂性將在下面的計算過程中建立。對0

    對上式右邊的兩個定積分分別應用積分第一中值定理,得到

    在上式中分別令r→0+,R→+,注意到這時ξ→0+,η→+,由于f(0+)=f(0),f(+)存在有限,而且在此時的極限為Froullani積分,得到

    除此之外,從上面的證明過程中可以得到Froullani積分的兩種變型:

    若x→+時f(x)沒有有限極限,但是對某個A>0,積分收斂,則有

    3 Dirichlet積分

    因此Dn(x)在[0,π]上可積。直接對Dn(x)積分比較困難,為此我們利用三角恒等式作如下變換

    將Dn(x)分解為

    逐項積分得到

    現在再來證明Dirichlet積分,先觀察將其分母換為x所產生的影響。因為

    可見有

    因此f(x)在[0,π]上常義可積。應用Riemann引理就有

    得到

    即證得

    4Euler-Possion積分

    證明:由于積分值只與被積函數和積分區(qū)域有關,與積分變量無關,從而我們有

    用極坐標變換x=rcosθ,y=rsinθ轉化為二重積分進行計算,則有

    因為e-r2≥0,則I≥0,即

    得證。

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