中心極限定理教學(xué)及應(yīng)用研究

李寶娜 朱 平

（洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 河南·洛陽 471934）

0 引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究自然界中隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性的一門學(xué)科，最早產(chǎn)生于17世紀(jì)中葉的賭博行為，并以此發(fā)展起來。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究如何從樣本分布估計(jì)總體分布.大多數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)教材中，概率論最后一個(gè)章節(jié)便是大數(shù)定律和中心極限定理，中心極限定理表達(dá)的是確定在什么條件下，大量隨機(jī)變量之和的分布逼近于正態(tài)分布?？梢赃@樣說，正因?yàn)橛辛诉@類定理，自然界的許多符合正態(tài)分布的隨機(jī)現(xiàn)象有了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

1 教與學(xué)的分析

中心極限定理（Central Limit Theorems）是概率論中論證隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理的總稱。中心極限定理的教學(xué)安排在隨機(jī)變量、分布函數(shù)等內(nèi)容之后，抽樣分布、假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容之前，從這個(gè)意義上來看，中心極限定理是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩部分的銜接，起著承上啟下的作用；從內(nèi)容上來說，中心極限定理的數(shù)學(xué)表達(dá)具有抽象性，理論性較強(qiáng)，短時(shí)間內(nèi)理解起來比較困難。如果從純理論角度來講解會(huì)加大學(xué)習(xí)的難度；從學(xué)情分析，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為專業(yè)基礎(chǔ)課，數(shù)學(xué)院的學(xué)生主要在大二上學(xué)期學(xué)習(xí).對于步入大學(xué)的第二年，有一定的學(xué)習(xí)能力和專業(yè)基礎(chǔ)，對大學(xué)學(xué)習(xí)和生活已經(jīng)基本適應(yīng)，學(xué)習(xí)積極性比較高，但是學(xué)習(xí)方法掌握的不夠多，學(xué)習(xí)深度不夠強(qiáng)，尤其是對于理論性較強(qiáng)的缺乏實(shí)踐認(rèn)知。

本文立足內(nèi)容難度和學(xué)情分析，先從生活中的現(xiàn)象講起，實(shí)驗(yàn)?zāi)M，引出中心極限定理表達(dá)內(nèi)容，最后通過具體事例闡明中心極限定理的應(yīng)用.將抽象的內(nèi)容更加形象化和具體化，開闊了學(xué)生的視野，緩解了學(xué)生的畏難情緒，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 問題導(dǎo)向-隨處可見的正態(tài)分布

生活中，我們會(huì)有這樣一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)知：中間狀態(tài)是事物的常態(tài)，過高和過低都屬于少數(shù).也就是我們數(shù)學(xué)中的正態(tài)分布所描述的現(xiàn)象，比如人群的身高、壽命、血壓、考試成績、測量誤差、員工回家所需要的時(shí)間、某城市的耗電量等等，都符合正態(tài)分布.我們不僅要問一句：為什么？

在回答問題之前，我們先利用python進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)：

2.1.1 數(shù)據(jù)生成

假設(shè)我們現(xiàn)在在觀察一個(gè)人擲均勻的骰子，得出的結(jié)果1-6的概率都是相同的1/6，他擲了20000次?，F(xiàn)在我們來模擬下擲骰子的結(jié)果：

生成出來的平均值：3.49525

生成出來的標(biāo)準(zhǔn)差：1.6982866181831617

由于骰子點(diǎn)數(shù)服從均勻分布，平均值接近3.5符合理論值。

2.1.2 畫圖

生成的數(shù)據(jù)用直方圖畫出來如下：

2.1.3 抽樣

接下來隨便抽取一組數(shù)據(jù)，例如，從生成的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取10個(gè)數(shù)字.這10個(gè)數(shù)的結(jié)果是：[6 1 2 1 4 3 1 3 1 6]

生成出來的平均值：2.8

生成出來的標(biāo)準(zhǔn)差：1.8867962264113207

可以看到，只抽取少量樣本的時(shí)候，樣本的平均值（2.8）會(huì)距離總體的平均值（3.5）偏差較大。

2.1.4 中心極限定理的體現(xiàn)

現(xiàn)在我們抽取20，200，2000，20000 組，每組50個(gè).每組的平均值都計(jì)算出來，直方圖如圖1。

我們看到投擲20000個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)的平均值符合概率理論結(jié)果，當(dāng)觀察每組50的平均值時(shí)我們發(fā)現(xiàn)抽樣次數(shù)比較少時(shí)，平均值的分布沒有規(guī)律，但隨著抽樣的增加，取2000組甚至更多時(shí)，可以看到平均值的分布近似為正態(tài)分布，基本符合大多數(shù)為中間狀態(tài)（3.5附近），靠近1和6的可能性明顯很低。

2.2 中心極限定理

由上述的實(shí)驗(yàn)可以看到，隨著抽樣的增加，極限分布趨近于正態(tài)分布。這便是中心極限定理所表達(dá)內(nèi)容。由于中心極限定理是一類描述和的極限分布為正態(tài)分布的定理，我們接下來主要介紹常見的三個(gè)中心極限定理。

圖1

定理三（棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為n，p（0＜p＜1)的二項(xiàng)分布，那么對于任意的x即有

2.3 中心極限定理的應(yīng)用

設(shè)有100個(gè)年齡為x歲且相互獨(dú)立的被保險(xiǎn)人都投保了保險(xiǎn)金額為10元的終身壽險(xiǎn)，隨機(jī)變量剩余壽命T的概率密度。保險(xiǎn)金于被保險(xiǎn)人死亡時(shí)進(jìn)行給付，保險(xiǎn)金給付是從某基金中按照利息強(qiáng)度支付。計(jì)算這項(xiàng)基金在最初的數(shù)額至少是多少時(shí)，才能保證從這項(xiàng)基金中足以支付每個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡給付的概率達(dá)到95%？

由于對每個(gè)被保險(xiǎn)人都有

所以，該基金在最初時(shí)至少為449.35元，比收取的躉繳純保費(fèi)總額400元多出49.35元。

3 總結(jié)

中心極限定理為一類定理的統(tǒng)稱。中心極限定理表明，在較為一般的條件下，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)不斷的增加時(shí)，和隨機(jī)變量的分布趨近于正態(tài)分布。一方面，中心極限定理可以解釋為什么正態(tài)分布在生活中很常見；另一方面，中心極限定理是大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)。不管是從名稱來源、教學(xué)地位還是教學(xué)內(nèi)容，中心極限定理都占有重要的位置。本文突出從形象易懂?dāng)S骰子的例子出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生理解中心極限定理所表達(dá)的含義，通過圖示直觀感受，并以實(shí)際保險(xiǎn)為練習(xí)強(qiáng)化對中心極限定理的理解和應(yīng)用，以期學(xué)生能夠?qū)χ行臉O限定理有更加全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。