敲出型雙障礙期權(quán)定價(jià)的高精度隱式差分格式

孫 玉 東

(貴州民族大學(xué) 商學(xué)院，貴陽(yáng) 550025)

障礙期權(quán)在標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的基礎(chǔ)上增加了障礙觸發(fā)限制條款,當(dāng)障礙期權(quán)掛鉤的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)觸及障礙值之后期權(quán)即刻失效,此時(shí)期權(quán)的投資人也就損失了全部期權(quán)金.另一方面,期權(quán)作廢也失去了套期保值、規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)等功能,致使投資人直接暴露在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)之下.因此相較于其他期權(quán)障礙期權(quán)更加便宜,雙障礙期權(quán)更是如此.

近些年來(lái),學(xué)者和金融從業(yè)者們發(fā)現(xiàn),價(jià)格相對(duì)低廉的障礙期權(quán)依然能通過(guò)一系列對(duì)沖策略實(shí)現(xiàn)套期保值、規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的功能[1-2],并且在投資策略的調(diào)整過(guò)程中投資人面臨較小的期權(quán)金損失[3-4].此外障礙期權(quán)在其他金融工程領(lǐng)域也有著良好的應(yīng)用[5-6].在理論價(jià)值分析方面,文獻(xiàn)[7-8]采用傅里葉變換研究了雙障礙期權(quán)的價(jià)值問(wèn)題,給出了半解析定價(jià)結(jié)果的同時(shí),進(jìn)行了大量的實(shí)證分析.文獻(xiàn)[4,9,10,11]采用攝動(dòng)方法研究了障礙期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,給出了非線性 Black-Scholes模型上的一個(gè)半解析近似解,同時(shí)進(jìn)行了近似結(jié)果的誤差分析.由于障礙期權(quán)收益結(jié)構(gòu)復(fù)雜,除了完全線性的 Black-Scholes模型外解析定價(jià)結(jié)果常常難以獲取，文獻(xiàn)[3,12]采用 Monte-Carlo模擬方法,獲取了一種統(tǒng)計(jì)計(jì)量分析方法.

本文提出了采用加權(quán)隱式差分格式研究了雙障礙期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.針對(duì)雙障礙期權(quán)提出了一種更高精度的數(shù)值模擬方法,同時(shí)分析了差分格式的穩(wěn)定性和收斂 性.

1 向上敲出巴黎期權(quán)

在期權(quán)存續(xù)期[0,T]內(nèi),雙障礙期權(quán)約定當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)始終S位于區(qū)間[L,U]時(shí)則期權(quán)有效,否則期權(quán)作廢.依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)策略,雙障礙期權(quán)的價(jià)值可以表示為

V=E[I{S(t)∈[L,U],t∈[0,T]}f(S(T))],

(1)

其中：

K表示事先約定好的執(zhí)行價(jià)格.依據(jù) Feymann-Kac公式,兩種雙障礙期權(quán)的價(jià)值適合下面的拋物初邊值問(wèn)題[1-2]

(2)

其中：r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,σ表示期權(quán)掛鉤風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S的波動(dòng)率,σ越大意味著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S在未來(lái)時(shí)刻的走勢(shì)不確定性約強(qiáng).注意期權(quán)有規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)、套期保值的功能,σ越大也意味著期權(quán)的功能越強(qiáng),價(jià)值也越大.進(jìn)一步將主方程結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化,作變換x=lnS-lnL,則式(2)轉(zhuǎn)化為[3]

(3)

其中：xmax=lnU-lnL.下文將對(duì)(0,T)×(0,xmax) 進(jìn)行網(wǎng)格劃分,采用隱式差分格式對(duì)雙障礙期權(quán)進(jìn)行價(jià)值分析.

2 差分格式

先對(duì)時(shí)間變量和空間變量進(jìn)行等距網(wǎng)格劃分,令

tk=kΔt,k=0,1,…,N;xi=ih,i=0,1,…,M,

其中： Δt=T/N和h=xmax/M分別表示時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng).進(jìn)一步對(duì)時(shí)間變量進(jìn)行離散,其中向前差分格式滿足

(4a)

k=0,1,…,N-1.向后差分格式滿足

(4b)

k=1,2,…,N.然后對(duì)空間變量進(jìn)行網(wǎng)格劃分,對(duì)任意的i=1,2,…,(M-1)有

O(h4),

(5)

O(h4),

(6)

其中：

考察加權(quán)隱式差分格式,將式(4a)、(5)、(6)代入式(3),由文獻(xiàn)[13-14]可以得到

R(τk,xi)+O(Δt2+h4),

(7)

其中 ：

(8)

再利用式(3)的主方程,容易得到

(9)

對(duì)上式求偏微分并將上式代入,有

(10)

從而將式(9)、(10)代入式(8),則R(τk,xi)改寫為

(11)

其中：

O(Δt2+h4).

(12)

(13)

為了更好的進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn),將隱式差分格式(13)還可以寫成矩陣形式,

AVk=BVk+1,k=0,1,…,N-1,

(14)

3 穩(wěn)定性和收斂性分析

本節(jié)分析隱式差分格式(13)的穩(wěn)定性和收斂性.為了便于論述,這里先給出需要用到的無(wú)窮范數(shù)

(15)

這里可以斷定差分格式 (13)的解是存在且唯一的.事實(shí)上,容易驗(yàn)證α0>0,并且當(dāng)Δt較小時(shí)

α-+α0+α+=1+rΔt>0,

從而矩陣A是M-矩陣也是可逆矩陣.注意采用遞推循環(huán)計(jì)算Vk時(shí),BVk+1是常數(shù)向量,從而利用克萊默法則,線性方程組 (14)存在唯一解.

(16)

從而

(17)

其中：

定理 4.1 隱式差分格式(13)關(guān)于初值無(wú)條件穩(wěn)定.

證明注意當(dāng)k=N-1 時(shí),注意α0>0 ,并且當(dāng)h充分小時(shí),α-<0,α+<0 ,從而由三角不等式,

注意到β-+β0+β+=1,有

(α-+α0+α+)‖εN-1‖∞≤‖εN‖∞,

又因?yàn)棣?+α0+α+=1+rΔt,所以

‖εN-1‖∞≤(1+rΔt)-1‖εN‖∞≤‖εN‖∞.

因此由歸納法可得對(duì)任意的k=0,1,…,(N-1),有

‖εk‖∞≤‖εN‖∞

從而隱式差分格式 (13)關(guān)于初值無(wú)條件穩(wěn)定.

容易得到

類推文獻(xiàn)[13-14]中的傅里葉展開方法,差分格式 (13)存在如下收斂性結(jié)果.

定理 4.2 差分格式(13)一致收斂,并且對(duì)任意的k=0,1,2,…,N,

其中C是正常數(shù).

4 數(shù)值模擬

本節(jié)用 R軟件對(duì)隱式差分格式 (13)進(jìn)行模擬,既驗(yàn)證差分格式有關(guān)精度的結(jié)果,又對(duì)雙障礙期權(quán)進(jìn)行價(jià)值分析.在模擬過(guò)程中,設(shè)定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為 0.1,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率σ=0.3 ,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在0時(shí)刻的市場(chǎng)價(jià)為100元,雙障礙期權(quán)的到期日T=1 ,事先約定好的執(zhí)行價(jià)格K=90 ,期權(quán)的下障礙L=50 ,上障礙U=200 .

先考察差分格式的精度,這里選擇看漲類型的雙障礙期權(quán),其在到期日的收益滿足

f(S)=max{S-K,0}

文獻(xiàn)[15-16]給出了雙障礙期權(quán)解析定價(jià)結(jié)果,結(jié)合式(15)、(16)可以計(jì)算差分格式在 0時(shí)刻的最大誤差

依據(jù)文獻(xiàn)[15-16],在固定時(shí)間節(jié)點(diǎn)總數(shù)N下差分格式在空間上的有效收斂精度為

同時(shí)在固定空間節(jié)點(diǎn)總數(shù)M下差分格式在時(shí)間變量上的有效收斂精度為

由表 1、 2,可以看出時(shí)間的收斂精度在 2附近、空間的收斂精度在 4附近,這恰好驗(yàn)證了定理 3的結(jié)果.由圖1、2可以看出當(dāng)(M,N)→ (∞,∞)時(shí),差分格式 (13)不論在時(shí)間上還是空間上均一致收斂.

表1 N=100情形下的誤差 EM|N和收斂速度 RM|N

表2 M=100情形下的誤差EN|M 和收斂速度RN|M

圖1 不同股票價(jià)格S下雙障礙期權(quán)價(jià)格

圖2 不同時(shí)間t下雙障礙期權(quán)價(jià)格 (S=100)

接下來(lái)分析雙障礙期權(quán)的價(jià)值規(guī)律,由圖 1可以看出當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S接近上障礙U或者下障礙L時(shí)期權(quán)價(jià)值較低,處于中間區(qū)域時(shí)期權(quán)價(jià)值較高,這是因?yàn)楫?dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S接近上障礙U或者下障礙L時(shí)期權(quán)有較高的作廢概率,期權(quán)的價(jià)值也就越低.由圖 3、 4可以看出,當(dāng)期權(quán)處于深度虛值狀態(tài)時(shí),期權(quán)價(jià)值隨時(shí)間的推移走低,當(dāng)期權(quán)處于深度實(shí)值狀態(tài)時(shí),期權(quán)價(jià)值隨時(shí)間的推移走高.由圖 5可以看出政府部門對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的管控對(duì)期權(quán)有實(shí)質(zhì)性影響:期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)時(shí),無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率調(diào)高期權(quán)價(jià)值走低;期權(quán)處于虛值狀態(tài)時(shí),無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率調(diào)高期權(quán)價(jià)值走高.

圖3 不同時(shí)間t下雙障礙期權(quán)價(jià)格 (虛值狀態(tài))

圖4 不同時(shí)間 t下雙障礙期權(quán)價(jià)格 (實(shí)值狀態(tài))

圖5 不同風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格下雙障礙期權(quán)價(jià)格圖

圖6可以看出期權(quán)在金融市場(chǎng)上的規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)功能,當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)處于障礙的中間區(qū)域時(shí),波動(dòng)率越大期權(quán)價(jià)值越大.當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)處于深度虛值或者深度實(shí)值狀態(tài)時(shí),由于期權(quán)存在較高的作廢風(fēng)險(xiǎn) ,使得波動(dòng)率對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響不易觀測(cè).

圖6 不同風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格下雙障礙期權(quán)價(jià)格

5 結(jié) 語(yǔ)

隨著金融經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,期權(quán)逐步引起投資人的青睞.本文利用隱式差分格式考察了連續(xù)敲出型雙障礙期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,得到一個(gè)精度相對(duì)高的差分格式,分析了差分格式的穩(wěn)定性和收斂性等問(wèn)題.在相同的計(jì)量模型下,本文提供的方法對(duì)其他歐式類型期權(quán)依然有效,但是針對(duì)近些年來(lái)研究的美式類型期權(quán)的差分定價(jià)結(jié)果以及相應(yīng)的最佳實(shí)施邊界仍需要進(jìn)一步的研究.