基于元胞自動機的傳染病傳播和控制仿真模型

（銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)管系，安徽 銅陵 244061）

由于傳染病的特殊性，不可能在實際情況下對傳染病的傳播和控制去進行真實的研究，因此借助信息技術(shù)模擬傳染病的傳播和控制機制，引發(fā)了科研工作者們的新一輪研究熱潮。

在現(xiàn)實世界里，傳染病的一個重要特點就是在傳播過程中偶然和不定性因素很多，因為傳染病的傳播與它的載體的運動息息相關(guān)，而傳染病的載體人際間的相互交流、相互活動、相互聯(lián)系和接觸所形成的系統(tǒng)是極為復(fù)雜的，并且這些載體具有主動性，他們自身的行為方式對疫情爆發(fā)、預(yù)防和控制都有影響的，同時外界環(huán)境和氣候的變化和改變也會對所要研究的問題帶來更多的復(fù)雜因素[1]。在以往的研究中關(guān)于信息輿論傳播、疾病爆發(fā)方面，研究學(xué)者們所做的很多研究，大部分采用的是傳統(tǒng)的SIS 和SIR 數(shù)學(xué)模型。這2 類數(shù)學(xué)模型是建立在常微分方程的基礎(chǔ)上，故其微分動力系統(tǒng)的形式又決定了此類模型的一些缺點：它們對于生活中發(fā)生的隨機事件不能起到很好的處理作用。計算復(fù)雜且無法融入現(xiàn)實中人與人間的各種接觸模型，用來模擬疾病傳播有其明顯不足，忽略了傳播過程的局部特性[2]。另外，這類基于解析范式的動力學(xué)模型亦不能很好處理實際情況中的隨機和突發(fā)事件。由于現(xiàn)代計算機技術(shù)的發(fā)展，大規(guī)模的數(shù)學(xué)計算與仿真為研究SARS、禽流感、埃博拉、新冠肺炎等傳染病的傳播提供了非常經(jīng)濟的模擬仿真條件，故很多研究學(xué)者轉(zhuǎn)而采用元胞自動機、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等人工智能方法對其傳播進行仿真和預(yù)測研究。

元胞自動機是一種嶄新的思想，不同于傳統(tǒng)的處理系統(tǒng)問題的思想和方法，能處理傳統(tǒng)方法難以解決的問題，其自下而上的建模方式、強大的計算能力、方法框架的靈活性和開放性的特點使其在具有空間特征的現(xiàn)實系統(tǒng)動態(tài)演變方面具有自然性、合理性和可行性[3]，被廣泛應(yīng)用于物理與化學(xué)過程的模擬(如晶體微結(jié)構(gòu)演化)、圖像處理與模式識別、社會與經(jīng)濟行為(網(wǎng)絡(luò)輿情演化、突發(fā)事件人群疏散、交通運輸、流行病及其股票投資行為)模擬、地理與生態(tài)領(lǐng)域方面(城市土地利用與擴張、水體污染擴散、生物群落動態(tài)演化)、軍事戰(zhàn)爭推演等。文獻[4]以核電用鋼316LN 不銹鋼為研究對象，通過將多級元胞空間的概念引入到傳統(tǒng)的元胞自動機模擬框架內(nèi)，制定了再結(jié)晶中的元胞狀態(tài)轉(zhuǎn)變規(guī)則及不同級元胞空間之間的數(shù)據(jù)傳遞規(guī)則，建立了用于模擬動態(tài)再結(jié)晶的多級元胞自動機模型并對該模型進行了驗證。文獻[5]為了研究停電事故發(fā)展機理，從事故演化過程中電網(wǎng)各節(jié)點電壓變化入手，依據(jù)元胞自動機理論進行建模。將節(jié)點作為元胞，根據(jù)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性理論定義了元胞狀態(tài)以及轉(zhuǎn)換規(guī)則，建立了一種考慮節(jié)點靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的電網(wǎng)元胞自動機故障演化模型，并定義了電壓穩(wěn)定裕度指標。文獻[6]在探討共享這種新興經(jīng)濟模式在“三農(nóng)”領(lǐng)域的應(yīng)用前景后，提出了一種基于元胞自動機模型的未來共享收割機智能化模式，并采用啟發(fā)式和遺傳算法對模型進行了優(yōu)化，從而使模型對于農(nóng)機的共享調(diào)度和路徑規(guī)劃更加智能化。為驗證方案的可行性，模擬收割機作業(yè)情景，采用元胞自動機模型對收割機的共享調(diào)度過程進行了仿真計算。結(jié)果表明，采用智能化共享模式可以有效縮短農(nóng)機作業(yè)時間及優(yōu)化作業(yè)路徑，提高收割機的作業(yè)效率。文獻[7]針對大規(guī)模海面模擬時海面網(wǎng)格建模計算量大，以及海洋表面污染物擴散細節(jié)不足的問題，提出一種結(jié)合投影網(wǎng)格和元胞自動機的方法來動態(tài)模擬大規(guī)模海洋表面污染物的擴散漂移。論文引入濃度因子增加元胞自動機模擬污染物擴散的細節(jié)，利用高斯平滑濾波改善傳統(tǒng)邊界細節(jié)不足。仿真結(jié)果表明，該方法能在實時狀態(tài)下繪制具有真實感的大規(guī)模海面污染物擴散。文獻[8]為了檢驗高校就業(yè)政策的有效性，構(gòu)建基于元胞自動機的招聘單位選擇行為模型，從初始元胞數(shù)量選擇、人崗匹配度、畢業(yè)生品牌效應(yīng)度3 個維度切入，考察畢業(yè)生就業(yè)市場的演化過程。研究結(jié)果為高校就業(yè)政策創(chuàng)新提供了有益的指導(dǎo)。元胞自動機理論雖然起步較晚，但將其應(yīng)用于各個領(lǐng)域，學(xué)者們做了不少的研究和嘗試。此外，根據(jù)元胞自動機的演化和疾病傳播的某些相似性，學(xué)者們也開始將元胞自動機應(yīng)用于疾病的傳播和控制仿真。

在實際生活當中，傳染病的爆發(fā)、傳播以及衰減都是以空間的形式進行的，同時也遵循一些疾病的傳播規(guī)律，與元胞自動機處理復(fù)雜并行問題在原理上存在共同特性，此外具有鄰居結(jié)構(gòu)且以轉(zhuǎn)移規(guī)則為基礎(chǔ)的元胞自動機理論也與傳染病在人群中的傳播具有很大相似性。針對傳染病傳播過程的特點和元胞自動機在模擬仿真方面的優(yōu)異性，以及元胞自動機的演化和傳染病的傳播的一些共同特性，本文引入元胞自動機來研究疾病傳播發(fā)展的規(guī)律，對復(fù)雜情形下且具有潛伏期特征的傳染病傳播及控制進行建模和仿真，以此探討控制和阻斷策略對傳染病傳播的影響。

1 傳染病傳播的元胞自動機模型

1.1 傳染病狀態(tài)轉(zhuǎn)移假設(shè)

參考以往科研文獻對疾病傳播模型的描述，疾病狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程和演化過程可以用圖1 表示。

圖1 疾病狀態(tài)轉(zhuǎn)移

圖1 給出了傳染病的各個狀態(tài)轉(zhuǎn)移的流程。從疾病發(fā)展的角度來看。接種過疫苗的個體一部分因抗體濃度未達到有效濃度，仍然對疾病沒有免疫能力而退回易感狀態(tài)，這和實際情況下一小部分接種個體仍對疾病未獲得免疫能力而感染或容易被傳染的情況是相符合的。一部分接種個體抗體濃度達到有效濃度，而在隨后一段時間內(nèi)擁有對疾病的抵抗能力成為免疫者。未接種疫苗的易感個體或者時間超過免疫期失去免疫力的免疫個體被傳染后，進入無癥狀的潛伏期狀態(tài)，潛伏期過后，進入顯露患病特征的感染狀態(tài)，潛伏期個體與感染個體均可被隔離和接受醫(yī)學(xué)治療，感染或者治療中個體會出現(xiàn)一部分死亡的現(xiàn)象，治療康復(fù)后身體內(nèi)產(chǎn)生較高濃度對抗病毒的抗體，對疾病有免疫能力，但這免疫并不是對免疫者終生擁有的，一部分免疫者經(jīng)過免疫期后，以一定概率失去免疫能力，成為易感個體。考慮到現(xiàn)實生活中的一些真實狀況，在本文介紹的模型中，潛伏期個體、感染個體與參與治療的個體均具有傳染性，但傳染性具有強弱之分，在本文當中，接種有效或者患病治愈的個體擁有對疾病同等的免疫能力。

1.2 元胞自動機模型

元胞自動機是新興的人工智能、人工生命的分支，它對信息的處理是同步進行的。元胞自動機是一個時間、空間和狀態(tài)都離散的，通過局部元胞的相互作用而引起全局變化的動力學(xué)系統(tǒng)模型[9]。它是由元胞、元胞空間、鄰居、元胞演化規(guī)則和元胞狀態(tài)組成，是一個由大量簡單元素、簡單鏈接、簡單規(guī)則、有限狀態(tài)和局域作用所組成的信息處理系統(tǒng)，利用計算機的原理和思想來進行系統(tǒng)的仿真和發(fā)展預(yù)測。其根本思想就是把系統(tǒng)看成元胞空間，將元胞空間分解成為很多個單元，根據(jù)元胞空間中相鄰單元之間存在一定規(guī)則的作用關(guān)系，元胞空間里的每個單元的狀態(tài)在這些簡單的規(guī)則作用下不斷進化得到仿真結(jié)果[10]。故元胞自動機在應(yīng)用中，確定元胞的鄰居分布類型、元胞狀態(tài)集合、狀態(tài)演化規(guī)則是十分重要的，只要通過適當?shù)姆椒ㄕ业竭@些規(guī)則，復(fù)雜的系統(tǒng)就可以利用這些規(guī)則來預(yù)測系統(tǒng)未來的發(fā)展情況。元胞自動機具有適合于非結(jié)構(gòu)問題的信息處理和系統(tǒng)建模，在模擬仿真中沒有誤差積累，適合并行處理以及元胞相互作用的局域性等優(yōu)點，使其具有模擬復(fù)雜系統(tǒng)時空演化過程的能力，理論上和實用上的潛力是非常巨大的。

元胞空間為n×n的正方形區(qū)域，采用Moore 摩爾型的鄰居形式，每一個元胞擁有上下左右、左上、右上、左下、右下8 個鄰居元胞，鄰居半徑同為1，元胞及其鄰居構(gòu)成一個矩陣。如圖2 所示。

圖2 元胞鄰居Moore 形式

元胞自動機是一個狀態(tài)隨時間發(fā)生動態(tài)變化的系統(tǒng)，但是系統(tǒng)的物理拓撲結(jié)構(gòu)是保持不變的。用一個數(shù)學(xué)公式來表示元胞自動機，可以概括為一個四元組，用如下形式來表示：

其中，A表示一個元胞自動機系統(tǒng)；Ld表示d維的元胞空間構(gòu)型，即在元胞空間上所有元胞狀態(tài)的空間分布組合；d為空間維數(shù)，本文d取2，即元胞空間為2 維的矩陣空間；L為整數(shù)，L×L表示元胞空間網(wǎng)格的規(guī)模；S表示所有有限的離散的元胞狀態(tài)集合；N表示鄰域內(nèi)以某一元胞為中心的所有元胞的組合；f表示元胞狀態(tài)局部轉(zhuǎn)換函數(shù)，也就是演化規(guī)則，是事先制定的用來約束元胞自動機狀態(tài)的規(guī)則集合。在實際應(yīng)用當中，一個元胞自動機模型是否成功，關(guān)鍵在于規(guī)則設(shè)計是否合理，能否客觀地反映現(xiàn)實系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征。因此，演化規(guī)則的設(shè)計是整個元胞自動機分析的核心[11]。

確定初始狀態(tài)：初始狀態(tài)指已經(jīng)確定的經(jīng)過分割的各元胞的演化初始值，是影響元胞自動機演化布局的源頭。初始狀態(tài)變化時，整個演化結(jié)局將會完全不一樣，說明初始狀態(tài)是一個影響系統(tǒng)狀態(tài)的因素[12]。在二維網(wǎng)格中，以隨機概率產(chǎn)生的患病狀態(tài)的有限個元胞，其余元胞則處于易感狀態(tài)。從t=0時刻開始，在每個時間步長對所有元胞進行掃描，按照制定的的規(guī)則進行狀態(tài)更新。

元胞狀態(tài)：在此用一個四元集合來描述元胞的狀態(tài)：

pos(i,j)參數(shù)記錄元胞在元胞空間的位置，sta參數(shù)記錄處在(i,j)位置元胞的患病狀態(tài)，sta(i,j)=0表示對傳染病沒有任何免疫能力的易感者；sta(i,j)=1 表示已經(jīng)患病但沒表現(xiàn)出癥狀的潛伏者；sta(i,j)=2 表示已經(jīng)患病并且表現(xiàn)出癥狀的患病者；sta(i,j)=3 表示檢查出被傳染病感染并且被隔離的隔離者，隔離者包含2 類人——被隔離的潛伏者、被隔離的染病者；sta(i,j)=4 表示已經(jīng)患病并死亡的患病者；sta(i,j)=5 表示已經(jīng)患病治愈或者有過疫苗接種對傳染病有抵抗體的免疫者，由于其體內(nèi)產(chǎn)生了濃度較高的傳染病抗體，在隨后一段時間內(nèi)對傳染病有很高的免疫能力；sta(i,j)=6 表示未傳染但接受疫苗接種體內(nèi)抗體沒有達到有效濃度的接種疫苗者，但在仿真處理的時候，還是設(shè)定6 狀態(tài)個體不能被疾病傳染，直接一步轉(zhuǎn)換為潛伏者和患病者，只是免疫期時間相當短不做設(shè)定。設(shè)置一個對應(yīng)的閾值，滿足條件的時候?qū)⑵滢D(zhuǎn)變?yōu)橐赘姓呋蛘呙庖哒?。inct記錄處在(i,j)位置元胞的潛伏期個體的無癥狀潛伏時間，潛伏時間超過潛伏期，潛伏者變成帶癥狀的感染者；imt記錄處在記錄處在(i,j)位置元胞的免疫者的免疫時間，免疫時間超過對應(yīng)的免疫期后，失去對病毒的免疫能力，免疫者變?yōu)橐赘姓摺?/p>

移動：每一時刻，元胞空間內(nèi)的每一個患病或潛伏期中心元胞以一定的概率將病毒向周圍擴散，傳染周圍8 個鄰居中為易感狀態(tài)的鄰居元胞。如圖3 所示。

圖3 擴散示意圖

2 元胞自動機的疾病演化規(guī)則

演化規(guī)則簡單地說，就是一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，記為：

這里f表示演化規(guī)則，表示t時刻i元胞的狀態(tài)；表示t時刻i元胞的鄰居元胞的狀態(tài)。多數(shù)演化規(guī)則都是基于概率的隨機過程而設(shè)計的，與傳染病傳播規(guī)律相對應(yīng)。利用規(guī)則系統(tǒng)產(chǎn)生大量的隨機數(shù)，來描述、模擬真實系統(tǒng)行為和規(guī)律。因為疾病傳播的行為，帶有一定的隨機性[13]。規(guī)則系統(tǒng)基于隨機概率進行設(shè)計能夠有效地對傳染病傳播的隨機性進行模擬，能使得模型的精確性和擴展性都較為優(yōu)秀。

2.1 傳染規(guī)則

(1)潛伏期個體、患病個體及隔離治療者均具有傳染性，均可將易感個體變?yōu)闈摲趥€體，其中感染個體的傳染性最大，其次是潛伏期個體，隔離治療的個體雖然被隔離但對其他個體仍然存在傳染的可能性，故其傳染性最小。在每一個時刻，根據(jù)每個鄰居元胞當前的傳染強度，計算位置處在(i,j)的元胞被周邊8 個鄰居元胞對其傳染的最大傳染概率pij(i,j)。

在每一個離散時刻，對所有元胞按照一定的分布函數(shù)產(chǎn)生隨機數(shù)，分布著患病狀態(tài)和潛伏狀態(tài)的元胞以某一概率與鄰近產(chǎn)生隨機數(shù)的易感元胞進行對比交換。如果隨機數(shù)＜pij(i,j)，則該易感元胞被傳染進入潛伏期狀態(tài)。易感個體接種疫苗時間達到或超過接種疫苗時間步長(T5)。同時產(chǎn)生的隨機數(shù)小于接種疫苗力度閾值q4，變?yōu)榻臃N疫苗個體。

(2)產(chǎn)生隨機數(shù)的潛伏狀態(tài)元胞與潛伏到患病的比例閾值(q6)相比較，如果隨機數(shù)小于q6，則無癥狀的潛伏者變成有明顯患病特征的患病者。

2.2 疾病控制規(guī)則

疾病爆發(fā)時對其有效控制阻斷其傳播，可以從接種疫苗、隔離、醫(yī)學(xué)治療幾方面入手。

(1)產(chǎn)生隨機數(shù)的接種疫苗元胞與接種疫苗有效概率閾值(q5)相比較，如果隨機數(shù)小于q5，則接種疫苗者變成在一定時間內(nèi)(免疫期T4)擁有疾病免疫能力的免疫者。否則，退回易感狀態(tài)。

(2)潛伏狀態(tài)時間長度大于潛伏期(T1)或者潛伏狀態(tài)的時間長度小于潛伏期且產(chǎn)生的隨機數(shù)小于潛伏者的強制隔離閾值(q1)，則對潛伏者進行隔離，潛伏者變化為隔離者，對其進行隔離醫(yī)學(xué)治療。

(3)染病者患病特征的時間長度大于T2，T2是從顯現(xiàn)患病特征到對其進行醫(yī)學(xué)隔離的時間步長(T2)或者時間長度≤T2且隨機數(shù)小于q2，q2為染病者的強制隔離閾值，染病者變?yōu)楦綦x者，對其進行隔離醫(yī)學(xué)治療。

(4)進行隔離治療的隔離者其隔離治療時間長度大于患病周期(T3)或者小于患病周期且產(chǎn)生的隨機數(shù)小于隔離者治愈率閾值(q3)的時候，隔離者變?yōu)橹斡庖哒摺?/p>

(5)免疫者免疫狀態(tài)時間長度≥免疫期(T4)且產(chǎn)生的隨機數(shù)小于喪失免疫概率閾值(q7)的時候，免疫者變回易感者。

2.3 死亡規(guī)則

(1)當患病者元胞產(chǎn)生的隨機數(shù)小于患病者死亡概率閾值(mortality1)時，患病者變?yōu)樗劳稣?，元胞處于死亡狀態(tài)，不再參與傳染。

(2)進行隔離治療的隔離者產(chǎn)生的隨機數(shù)小于隔離者死亡概率閾值(mortality2)，隔離者變?yōu)樗劳稣?，元胞處于死亡狀態(tài)，不再參與傳染。

上述演化規(guī)則里通過產(chǎn)生隨機數(shù)比較制定演化規(guī)則，來模擬病毒傳播過程的隨機性偶然性，這符合病毒傳播的隨機特征。參數(shù)設(shè)置可以根據(jù)疾病的特點設(shè)置相應(yīng)的參數(shù)，例如患者疾病特征較明顯，病情較重，死亡率較高；而隔離者(包括實施隔離的患者、潛伏者)由于采取了醫(yī)學(xué)措施，死亡率明顯小于前者。在元胞自動機的演化過程中，網(wǎng)格空間中所有的元胞將基于上述建立的演化規(guī)則，在每一仿真時刻將同步更新，局部元胞之間的當前狀態(tài)決定了下一時刻整個網(wǎng)格空間里元胞的狀態(tài)。

3 元胞空間內(nèi)傳染病傳播與控制仿真分析

仿真參數(shù)取值見表1。演化過程中不同時刻的系統(tǒng)狀態(tài)如圖4 所示。同時把疾病傳播過程中的潛伏者、患病者、隔離者、死亡者的人數(shù)變化用不同曲線描繪出來，如圖5 所示。

表1 仿真參數(shù)取值表

圖4 傳染演化過程

圖5 傳播期間人數(shù)變化折線圖

從曲線圖可以看出，在傳播初期傳染病傳播速度較快，隨著時間推移，潛伏者、患病者、隔離者，死亡者的個體人數(shù)不斷增加，累計人數(shù)很快達到高峰，隨后開始下降。前3 個狀態(tài)累計人數(shù)下降原因有2 方面：病情嚴重的患病者病情狀態(tài)惡化死亡，退出了傳播周期，這一點從死亡人數(shù)曲線上升可以反映出來；二是后期醫(yī)學(xué)隔離加強、醫(yī)學(xué)治療措施改善，對疾病的控制效果開始顯示出來。最終潛伏者、患病者、隔離者人數(shù)降低變?yōu)?，而死亡者數(shù)量一致維持在某個數(shù)值，不再增加。仿真結(jié)果中人數(shù)變化曲線與現(xiàn)實情況下疾病傳播過程中人數(shù)變化趨勢是吻合的。

如果疾病是烈性傳染病，致死率非常高，將mortality1 設(shè)定為0.03。mortality1 設(shè)定為0.01，其演化狀態(tài)過程如圖6 所示。

圖6 高致死狀況下的演化過程

從上述的演化過程狀態(tài)圖可以看出，在高致死的傳染病傳播情況下，死亡人數(shù)較前面狀況下的死亡人數(shù)有大幅上升。人數(shù)變化曲線如圖7 所示，最終死亡者人數(shù)相比于圖5 情況下有大幅增加，和現(xiàn)實情況也是相符合的。

圖7 高致死率下的人數(shù)變化曲線

為了預(yù)防疾病和控制疾病傳播，可以接種疫苗、加強隔離強度和提高治愈率，都是疾病預(yù)防和控制最為有效的方法。在此將接種疫苗、隔離力度和治愈率的對應(yīng)參數(shù)進行調(diào)整。得到人數(shù)變化曲線如圖8 所示。通過加強醫(yī)學(xué)預(yù)防和隔離能有效阻斷疾病傳播，隨著時間推移，隔離者、染病者、潛伏者、死亡人數(shù)最大值都有不同程度下降(與圖5 對比)。由此可見，加強醫(yī)學(xué)預(yù)防和隔離，能減少疾病的傳播。

圖8 預(yù)防和隔離下人數(shù)變化曲線

元胞自動機仿真結(jié)果與實際情況下采用隔離和預(yù)防措施下傳染病傳播的宏觀特征是吻合的。同時也表明對于已知和未知的傳染病傳播，采取積極預(yù)防、嚴格隔離阻斷、優(yōu)化治療措施對傳染病傳播的抑制作用是比較明顯有效的。

4 結(jié)語

將元胞自動機應(yīng)用于日常生活中經(jīng)常遇到的傳染病的傳播仿真，避免了傳統(tǒng)的復(fù)雜計算量龐大的微分方程形式求解運算分析，客觀有效地反映了疾病傳播的動態(tài)過程，也得到了與現(xiàn)實情況相符的結(jié)果，同時驗證了預(yù)防和控制傳染病的有效策略。應(yīng)用結(jié)果表明了元胞自動機模型應(yīng)用于傳染病傳播仿真是合理的、高效的。元胞自動機模型也可應(yīng)用于產(chǎn)業(yè)聚集、公共突發(fā)情況的人群疏散、城市交通模擬、污染擴散模擬等領(lǐng)域，具有廣闊的應(yīng)用前景。