低噪聲機(jī)械傳動裝置多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

張森森，王新海，丁繼才，陳祖瑞，胡軍華

(1.海軍裝備部駐葫蘆島地區(qū)軍事代表室，遼寧 葫蘆島125004；2.上海船舶設(shè)備研究所，上海200031；3.武漢第二船舶設(shè)計(jì)所，湖北 武漢430064)

0 引 言

摩擦、間隙、剛度、表面粗糙度等因素對機(jī)械傳動裝置振動噪聲均有影響。由于影響因素眾多，參數(shù)分布具有隨機(jī)性和不確定性，且一些因素相互交織，相互耦合影響，使得機(jī)械傳動裝置振動噪聲發(fā)生機(jī)理復(fù)雜，采用傳統(tǒng)的方法難以開展機(jī)械傳動裝置的低噪聲設(shè)計(jì)。針對上述問題，本文提出一種基于優(yōu)化設(shè)計(jì)理論的機(jī)械傳動裝置低噪聲穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法。

1 優(yōu)化方法

本文基于離散元方法構(gòu)建機(jī)械傳動裝置的動力學(xué)模型，將含有間隙的運(yùn)動副之間的約束關(guān)系模擬成接近軸承真實(shí)狀態(tài)的“廣義力”，且由于廣義力模型可以根據(jù)真實(shí)物理實(shí)驗(yàn)臺架測得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行定義。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行DOE 試驗(yàn)設(shè)計(jì)，建立各響應(yīng)變量跟設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，獲得響應(yīng)曲面，然后再采用優(yōu)化算法進(jìn)行機(jī)械傳動裝置的多目標(biāo)穩(wěn)健性參數(shù)優(yōu)化，具體步驟如下：

1）建立機(jī)械傳動裝置系統(tǒng)動力學(xué)模型；

2）基于所建立的動力學(xué)模型，進(jìn)行DOE 試驗(yàn)設(shè)計(jì)；

3）根據(jù)DOE 仿真結(jié)果，建立設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)之間的響應(yīng)面；

4）判斷響應(yīng)面精度是否滿足要求；

5）若滿足，用響應(yīng)面代替動力學(xué)模型，并在其基礎(chǔ)上進(jìn)行穩(wěn)健性參數(shù)優(yōu)化；

6）優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證。

2 優(yōu)化模型

1）數(shù)學(xué)模型

本文以某點(diǎn)附近微小范圍內(nèi)響應(yīng)值的極差，來衡量該點(diǎn)的穩(wěn)健性。在每個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)微小范圍內(nèi)利用Latin hypercube sampling 均勻生成一定數(shù)量的樣本點(diǎn)，以這些樣本點(diǎn)響應(yīng)的最大值max與最小值min之差來近似表示響應(yīng)極差，如下式：

本文分別引入一個(gè)評價(jià)優(yōu)化性設(shè)計(jì)的優(yōu)化滿意度函數(shù)和評價(jià)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的穩(wěn)健滿意度函數(shù)。優(yōu)化滿意度函數(shù)如下式：

機(jī)械傳動裝置響應(yīng)變量符合望小特性，即響應(yīng)值越小越好。其中，U 為響應(yīng)變量上限，T 為響應(yīng)變量的目標(biāo)值。當(dāng)y 超出響應(yīng)上限U 時(shí)，滿意度為0；y 變小時(shí)滿意度增大，當(dāng)小于目標(biāo)值時(shí)，滿意度達(dá)到1。

穩(wěn)健滿意度函數(shù)如下式：

式（2）和式（3）中的t 和s 為響應(yīng)相對于目標(biāo)的重要程度，根據(jù)機(jī)械傳動裝置的特點(diǎn)，本文取s=t=1。通常情況下，最優(yōu)性和穩(wěn)健性往往是不能共存的，達(dá)到了最優(yōu)解的響應(yīng)點(diǎn)其穩(wěn)健性可能很差。為解決優(yōu)化性設(shè)計(jì)和穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的權(quán)衡問題，本文運(yùn)用幾何加權(quán)法構(gòu)建穩(wěn)健優(yōu)化滿意度函數(shù)，如下式：

其中：D 為穩(wěn)健優(yōu)化滿意度；ω1和ω2分別為優(yōu)化性滿意度和穩(wěn)健性滿意度的權(quán)重，針對機(jī)械傳統(tǒng)裝置的特性，本文取ω1=ω2=0.5。

設(shè) x2,x3分別為徑向間隙和摩擦系數(shù)，設(shè)計(jì)變量：

優(yōu)化目標(biāo)：

約束條件：

其中，DaR，Daa，DFRMS，DFamp，DMRMS，DMamp分別為響應(yīng)變量 aR（機(jī)械傳動裝置特征測點(diǎn)徑向加速度），aa（機(jī)械傳動裝置特征測點(diǎn)軸向加速度），F(xiàn)RMS（傳動軸測點(diǎn)動態(tài)約束力的均值），F(xiàn)amp（傳動軸測點(diǎn)動態(tài)約束力的幅值），MRMS（傳動軸測點(diǎn)動態(tài)約束力矩的均值），Mamp（傳動軸測點(diǎn)動態(tài)約束力矩的幅值）對應(yīng)的穩(wěn)健優(yōu)化滿意度。yi，Ui為各響應(yīng)變量及其對應(yīng)的響應(yīng)上限。

2）響應(yīng)面模型

本文選用均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法生成100 個(gè)初始樣本點(diǎn)，各個(gè)樣本點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)值通過前面所述的機(jī)械傳動裝置動力學(xué)模型計(jì)算處理得出。將正交試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)模塊中，構(gòu)造響應(yīng)面得到6 個(gè)目標(biāo)的響應(yīng)面，如圖1 所示。

3）優(yōu)化模型

本文選取NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II）作為優(yōu)化算法。NSGA-II 是對常規(guī)遺傳算法的改進(jìn)算法，通過引入快速非支配排序算子設(shè)計(jì)、個(gè)體擁擠距離算子設(shè)計(jì)和精英策略選擇算子設(shè)計(jì)，較好解決了常規(guī)遺產(chǎn)算法參數(shù)選取困難和計(jì)算效率低等問題，提高了算法的運(yùn)算速度和魯棒性。根據(jù)本文研究情況，初始種群數(shù)量為100，選取20 代作為進(jìn)化代數(shù)，雜交率設(shè)為0.9。

3 優(yōu)化結(jié)果

在20 代進(jìn)化代數(shù)后，總共生成2 000 個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，其中包括1 403 個(gè)可行解與55 個(gè)最優(yōu)解。圖2 為各個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的歷史迭代圖，圖中高亮顯示的設(shè)計(jì)點(diǎn)是此次優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)前沿點(diǎn)。可以看出隨著優(yōu)化迭代的進(jìn)行，設(shè)計(jì)點(diǎn)逐漸向最優(yōu)前沿聚集。

當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)是2 個(gè)以上時(shí)，最優(yōu)前沿不再是一條曲線，變成了一個(gè)三維或者更高維度的曲面或超曲面。本文研究總共存在6 個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，最優(yōu)前沿是一個(gè)六維的超曲面。為了將這個(gè)抽象的六維超曲面表示出來，將6 個(gè)優(yōu)化目標(biāo)拆分出來，用1 個(gè) DaR和 Daa之間的2D 散點(diǎn)圖（見圖3 和圖4）以及 DFR1，DFa1和DFa2，DFR2之間的4D 氣泡（見圖4）表示優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)前沿。

圖5 為所有設(shè)計(jì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)的3D 散點(diǎn)圖，高亮顯示的是最優(yōu)前沿點(diǎn)。可以看出，隨著優(yōu)化迭代的進(jìn)行，大量最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)在聚集在區(qū)域A 中，少量最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)分別散布在區(qū)域B 和區(qū)域C 內(nèi)。在機(jī)械的設(shè)計(jì)階段，根據(jù)實(shí)際條件，間隙參數(shù)應(yīng)盡量在A，B，C 三個(gè)設(shè)計(jì)空間內(nèi)選擇。

圖1 各響應(yīng)變量對應(yīng)的響應(yīng)曲面Fig.1 Response surface corresponding to each response variable

圖2 各設(shè)計(jì)目標(biāo)的歷史迭代圖Fig.2 Historical iteration diagram of each design objective

圖3 D aR 和 Daa的2D 散點(diǎn)圖Fig.3 2D scatter of DaR andDaa

圖4 和（用深淺表示），（用直徑表示）的4D 氣泡圖Fig.4 4D bubble chart for D FR2 (in diameter),for(in color)

4 結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果，在區(qū)域A，B，C 內(nèi)任選一個(gè)最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)，將其響應(yīng)曲面擬合的響應(yīng)值與有限元模型的仿真值相比進(jìn)行誤差分析，以驗(yàn)證優(yōu)化精度。將優(yōu)化點(diǎn)動力學(xué)模型的響應(yīng)仿真值與原始點(diǎn)的響應(yīng)仿真值進(jìn)行對比以驗(yàn)證優(yōu)化效果。

由表1～表5 可知，優(yōu)化點(diǎn)響應(yīng)曲面的擬合值與仿真模型的真實(shí)值的相對誤差在5%以內(nèi)，優(yōu)化結(jié)果可靠。與原始設(shè)計(jì)點(diǎn)相比，優(yōu)化點(diǎn)的各個(gè)響應(yīng)值均有不同幅度的下降，優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)振動特性明顯優(yōu)于原始機(jī)構(gòu)。

圖5 3D 散點(diǎn)圖Fig.5 3D scatter

表1 優(yōu)化點(diǎn)與原始點(diǎn)設(shè)計(jì)變量參數(shù)Tab.1 Design variable parameters of optimization point and original point

表2 FR1 和Fa1 擬合模型相對誤差Tab.2 Relative error of fitting models of FR1 and Fa1

表3 FR2 和Fa2 擬合模型相對誤差Tab.3 Relative error of fitting models of FR2 and Fa2

表4 aR 和aa 擬合模型相對誤差Tab.4 Relative error of fitting models of aR and aa

表5 原始點(diǎn)與優(yōu)化點(diǎn)響應(yīng)變量對比Tab.5 Comparison of response variables between original point and optimized point

5 結(jié) 語

本文提出一種基于優(yōu)化設(shè)計(jì)理論的機(jī)械傳統(tǒng)裝置低噪聲穩(wěn)健性設(shè)計(jì)方法，建立了包括建模、仿真、分析、優(yōu)化設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性流程和方法。所采用的基于“離散元”和“基于響應(yīng)面的穩(wěn)健性優(yōu)化”的方法，能夠快速地獲得實(shí)際設(shè)計(jì)參數(shù)與振動響應(yīng)之間的內(nèi)在數(shù)值聯(lián)系，使得在工程上開展優(yōu)化設(shè)計(jì)成為可能。通過一個(gè)機(jī)械傳動裝置的設(shè)計(jì)實(shí)例，獲得了工程上可實(shí)現(xiàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果。在軸承的徑向間隙取在0.018 mm，摩擦系數(shù)為0.085 時(shí)，可以明顯改善機(jī)械傳動裝置的振動，同時(shí)保證低噪聲設(shè)計(jì)的穩(wěn)健性。