問題教學(xué)在定積分應(yīng)用中的探究

（陸軍步兵學(xué)院基礎(chǔ)部 江西·南昌 330100）

0 前言

定積分應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，與微分與積分知識都密切相關(guān)。因此如何講好定積分的應(yīng)用，讓學(xué)員理解并掌握微元法的基本思想和計(jì)算方法，同時(shí)通過對該內(nèi)容的教學(xué)提高學(xué)員的能力，是一個(gè)值得研究的課題。本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，探討在定積分應(yīng)用教學(xué)中所采取的一些做法和體會。

所謂“問題教學(xué)法”，其核心思想是“內(nèi)容問題化”，通過創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)員發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題并總結(jié)提高的教學(xué)方法。問題教學(xué)法的實(shí)施要充分體現(xiàn)“以學(xué)員為主體，以教員為主導(dǎo)，以問題為核心，以研究為過程”的原則。該教學(xué)模式的提出符合“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的思維模式。其中創(chuàng)設(shè)問題情境和問題提出屬于未知區(qū)，解決問題和總結(jié)提高屬于已知區(qū)，而分析問題的過程屬于過渡區(qū)。教學(xué)的過程就是發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、總結(jié)提高、再發(fā)現(xiàn)新問題這樣一個(gè)循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程。問題教學(xué)的閉環(huán)教學(xué)實(shí)施模式和閉環(huán)思維模式構(gòu)建成問題教學(xué)一“明”一“暗”兩個(gè)閉環(huán)。

1 問題教學(xué)法在定積分應(yīng)用中的設(shè)計(jì)思路

定積分應(yīng)用這一塊的主要內(nèi)容是理解并掌握微元法的基本思想和計(jì)算方法，其中理解并如何正確的選取微元是問題的關(guān)鍵，對學(xué)員來說也是一個(gè)難點(diǎn)。因此，此次課問題設(shè)計(jì)的核心是微元法。我的教學(xué)對象是軍校學(xué)員，已經(jīng)學(xué)習(xí)過定積分的概念、幾何意義和計(jì)算方法，具有一定的歸納、概括和類比思維能力，同時(shí)對定積分的應(yīng)用表現(xiàn)出強(qiáng)烈的求知欲，渴望探究定積分知識的用途。

為此我的設(shè)計(jì)思路是：

創(chuàng)設(shè)情境：通過具體軍事案例引入定積分的一個(gè)應(yīng)用創(chuàng)設(shè)情境。

提出問題：通過對情境問題分析，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題“如何計(jì)算曲線的長度”。

分析問題：通過對曲線弧長的“分割、近似、求和、取極限”四步構(gòu)建出弧長公式。

解決問題：利用建立的弧長公式求解問題。

總結(jié)提高：梳理求解問題思路，對比求解曲邊梯形面積的過程。讓學(xué)員感受用“分割、近似、求和、取極限”四步求解問題的繁瑣。引導(dǎo)學(xué)員思考將過程中的四步簡化成兩步，即“微”和“積”的過程，進(jìn)一步提煉出微元法，并介紹微元法的思路。

新的問題：如何用微元法求解曲邊梯形的面積？

2 問題教學(xué)法在定積分應(yīng)用中的實(shí)施

2.1 創(chuàng)設(shè)情境

我們知道定積分在幾何學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)及其他領(lǐng)域中都有廣泛地應(yīng)用?，F(xiàn)在我們看一個(gè)具體的實(shí)例：某集團(tuán)軍進(jìn)行迫擊炮單人操炮簡易射擊法訓(xùn)練，在射擊訓(xùn)練中，命中率與射程有很大關(guān)系，而射程又與發(fā)射角有關(guān)，當(dāng)發(fā)射角不同時(shí)，射出的炮彈所經(jīng)過的路程是不同的，要使炮彈所經(jīng)過的路程最長，該發(fā)射角如何確定呢？

2.2 提出問題

2.3 分析問題

分析問題是問題教學(xué)的關(guān)鍵，學(xué)員發(fā)現(xiàn)想要直接求出曲線的長度很困難，這時(shí)教員引導(dǎo)思路，回憶求解曲邊梯形面積，加以借鑒。通過對比曲邊梯形面積的求法得出曲線弧長公式。在推導(dǎo)過程中可以提出微元的思想，為后面介紹微元法的思路埋下伏筆。在具體求解問題時(shí)可以采用數(shù)學(xué)建模的思維展開教學(xué)，通過炮彈的參數(shù)方程得到彈道的長度表達(dá)式它能取到最大值的必要條件是

2.4 解決問題

上面分析了問題的求解過程，在只考慮重力時(shí)，只要從ln(sec+tan)=csc中求解出發(fā)射角，就可以得到炮彈的最長射程。在這個(gè)問題求解的過程中曲線弧長的計(jì)算非常關(guān)鍵，我們用了四步，請大家思考一下這樣求解問題復(fù)雜嗎？能不能簡化？實(shí)質(zhì)上在求解具體問題時(shí)，只要抓住兩步便可，作微元和求積分，即“微”和“積”的過程，做微元：在區(qū)間上任取一點(diǎn)，在區(qū)間作微元，使得求積分：在區(qū)間上對的微元無限累加，即這種通過簡化的過程稱為微元法。一般一個(gè)在一定范圍內(nèi)連續(xù)變化的總量問題都可以考慮用定積分表示。而建立這些量的重要方法是微元法。微元法思想是定積分應(yīng)用中的基礎(chǔ)。

2.5 總結(jié)提高

微元法的理論依據(jù)是定積分概念中求整體量的精確值過程，本次課從具體的軍事案例出發(fā)，把所求量表示成定積分的求解方法。在此過程中我們要用到微元法，它不僅簡便實(shí)用，而且準(zhǔn)確可靠，是利用定積分求解問題的常用方法。學(xué)完本次課大家要清楚兩個(gè)問題：一，什么問題可以用定積分解決？二，如何應(yīng)用定積分解決問題？請大家總結(jié)發(fā)言。學(xué)員通過預(yù)習(xí)和聽課，大部分都能很好地回答。

2.6 新的問題

通過前面的講解，提出新問題“微元法在幾何學(xué)、物理學(xué)上還有那些應(yīng)用呢？”承接后面課程的學(xué)習(xí)。

3 結(jié)語

問題教學(xué)法與目前高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革方向在根本上是一致的。將問題教學(xué)法理論應(yīng)用到數(shù)學(xué)的教學(xué)尚處于探索階段，還沒有成熟有效的教學(xué)方法。問題教學(xué)法的內(nèi)容很豐富，改革教學(xué)不能完全照搬照抄國外經(jīng)驗(yàn)，要結(jié)合國內(nèi)教學(xué)的實(shí)際情況，注重教學(xué)方式的改變，盡量使數(shù)學(xué)內(nèi)容問題化、情景化、過程化，讓學(xué)員在“主動學(xué)”的基礎(chǔ)上，能夠“開心學(xué)”。在軍校高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中引入問題教學(xué)法的教學(xué)模式，可以有效提高學(xué)員的自主學(xué)習(xí)能力，同時(shí)對教員的教學(xué)方法也是一種考驗(yàn)。