一類各向異性橢圓問題的比較定理

朱秀麗

(東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

考慮下列各向異性橢圓問題

(1)

邊界條件為

(2)

其中：Ω?RN是一個有界開區(qū)域，N≥2.

問題(1)-(2)源于在流體力學(xué)和假塑性流體的某些應(yīng)用[1-4]，并且受到很多學(xué)者的關(guān)注[5-9].在此類問題的研究中，比較定理使得我們可以用上下解的方法得到方程解的先驗(yàn)界[7-9]，因此比較定理在解的存在性研究中起到非常重要的作用.

1 主要定理和證明

定理1設(shè)問題(1)-問題(2)中fi，i=1，2，…，N-1，g，P和f滿足以下條件：

(A1)fi：[0，+∞)×Ω→[0，+∞)，i=1，2，…，N-1，是連續(xù)函數(shù)，并且fi(·，x)(i=1，2，…，N-1)對于每一個x∈Ω為單增函數(shù)；

(A2)g：(0，+∞)×Ω→(0，+∞)是連續(xù)函數(shù)，并且g(·，x)對于每一個x∈Ω為單減函數(shù)；

(A3)K：[0，+∞)→[0，+∞)是連續(xù)函數(shù)；

(A5)f：(0，+∞)×Ω→(0，+∞)是連續(xù)函數(shù)，并且f(·，x)對于每一個x∈Ω為嚴(yán)格遞減函數(shù).

進(jìn)一步假設(shè)：

(3)

φxixi≤0，i=1，2，…，N-1，

(4)

(5)

Φxixi≤0，i=1，2，…，N-1，

(6)

用公式(5)減去公式(1)，得到

g(Φ，x0)K(|Φ|)-g(u，x0)K(|u|)=(g(Φ，x0)-g(u，x0))K(|u|)≥0.

由(A4)與(A5)，有P(x0)(f(u，x0)-f(Φ，x0))<0.

從而

用公式(3)減去公式(1)，得到

-g(u，x)K(|u|)≥P(x)(f(u，x)-f(φ，x)).

當(dāng)x=x0時，經(jīng)過類似的討論，可以得到

2 主要定理的說明

1.條件(A1)、(A2)與(A5)可以分別用以下條件代替：

(B1)fi：R×Ω→[0，+∞)，i=1，2，…，N-1，是連續(xù)函數(shù)，并且fi(·，x)(i=1，2，…，N-1)對于每一個x∈Ω為單增函數(shù)；

(B2)g：R×Ω→(0，+∞)是連續(xù)函數(shù)，并且g(·，x)對于每一個x∈Ω為單減函數(shù)；

(B3)f：R×Ω→(0，+∞)是連續(xù)函數(shù)，并且f(·，x)對于每一個x∈Ω為嚴(yán)格遞減函數(shù).

3.若公式(3)和公式(5)為嚴(yán)格不等式，則(A5)中f只需滿足單減函數(shù)，不需要嚴(yán)格單調(diào)性，定理結(jié)論也成立.

4.考慮更一般的形式，如下

邊界條件為(2).在(A1)中添加條件：對于任意u∈[0，+∞)，x∈Ω，滿足fi(u，·，x)∈C1(i=1，2，…，N-1).定理結(jié)論成立.

并且可以在uxNxN項(xiàng)前添加系數(shù)函數(shù)fN(u，u，x)，fN的約束條件與fi(i=1，2，…，N-1)類似，并且添加條件φxNxN≤0和ΦxNxN≤0，此系統(tǒng)定理結(jié)論也成立.

5.如果方程不含有梯度項(xiàng)，即方程中g(shù)≡0，那么f約束條件不需要具有嚴(yán)格單調(diào)性.文獻(xiàn)[7]討論了2維情況，下面我們給出更一般的N維形式.

定理2設(shè)Ω?RN是一個有界開區(qū)域，

(7)

邊界條件為

(8)

設(shè)fi，i=1，2，…，N-1，P分別滿足(A1)和(A4)，f滿足以下條件：

(C)f：(0，+)×Ω→(0，+)是連續(xù)函數(shù)，并且f(·，x)對于每一個x∈Ω為單調(diào)減函數(shù).

進(jìn)一步假設(shè)：

(9)

φxixi≤0，i=1，2，…，N-1，

(10)

(11)

Φxixi≤0，i=1，2，…，N-1，

(12)

證明：不失一般性，假設(shè)xN≥0.