帶廣義積分邊值條件的分數(shù)階朗之萬方程的解①

商啟發(fā), 周宗福

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

分數(shù)階微分方程是由整數(shù)階微分方程演變而來的，能夠處理整數(shù)階微分方程無法解決的問題。分數(shù)階微分方程在許多科學(xué)領(lǐng)域有著重要的運用，例如: 數(shù)學(xué)建模、物理、化學(xué)、生物技術(shù)、光學(xué)、熱學(xué)和信號處理等。因此分數(shù)階微分方程變得越來越重要，引起了廣大學(xué)者的關(guān)注。關(guān)于分數(shù)階微分方程邊值問題的研究已有許多優(yōu)秀的成果[1-3]。朗之萬方程是物理數(shù)學(xué)中的一個重要方程，是用來描述布朗運動的。近年來分數(shù)階朗之萬方程受到了許多學(xué)者的關(guān)注，關(guān)于這方面的成果可見文獻[4-8]。

文獻[9]，研究了下列具有廣義分數(shù)階積分邊值條件的分數(shù)階朗之萬方程的解的存在性問題:

其中

文獻[10]，研究了下列具有非局部積分邊值條件的非線性朗之萬方程的解的存在性問題:

受到以上文獻的啟發(fā),研究了一類分數(shù)階朗之萬微分方程的邊值問題見式(1)

(1)

其中0<α≤1,1<β≤2,a,b,λi∈R且

利用Banach壓縮映射原理和Leray-Schauder度理論給出了邊值問題(1)解的唯一性與存在性充分性條件。

1 預(yù)備知識

定義1.1[11]連續(xù)函數(shù)f:(a,+)→R的α階Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中n-1<α≤n,n∈N+,Γ(·)是伽馬函數(shù)。

定義1.2[11]連續(xù)函數(shù)f:(a,+)→R的α階Caputo分數(shù)階積分定義為

其中n-1<α≤n,n∈N+,Γ(·)是伽馬函數(shù)。

引理1.3[12]如果α>0,則有

其中ci∈R,i=1,2,…,n。n為不小于α的最小整數(shù)。

為了方便起見，引入下面標記：

等價于積分方程：

(2)

(3)

其中c0,c1，c2∈R。

從而

(4)

將c1代入(4)，即得到(2)。證畢。

2 主要結(jié)果

定義算子T:E→E，

首先，利用Banach 壓縮映像原理來討論邊值問題(1)解的存在唯一性。

定理2.1假設(shè)下面條件成立：

(H1) 存在L>0，使得|f(t,x,y)-f(t,x1,y1)|≤L(|x-x1|+|y-y1|)，其中t∈[0,1]，x,x1,y,y1∈。若

則邊值問題(1)存在唯一解。

作BR={x∈E:‖x‖≤R}。下證TBR?BR,?x∈BR。

對x,y∈E，t∈[0,1]

‖x-y‖+|λ|Λ(0)‖x-y‖+Ω‖x-y‖=

接下來利用Leray-schauder度理論來研究邊值問題(1)解的存在問題。

定理2.2假設(shè)下面條件成立：

|f(t,x,y)|≤L(|x|+|y|)+M,

則邊值問題(1)至少存在一個解。

證明：先證T在E是全連續(xù)的。下證T是全連續(xù)的，根據(jù)f的連續(xù)性可知T是連續(xù)的。令S={x∈E:‖x‖0},?x∈S

|λ|rΛ(0)+rΩ。

于是TS是一致有界的。設(shè)t1,t2∈[0,1]且t1

即知，當t1→t2時，有|Tx(t2)-Tx(t1)|→0。因此TS是等度連續(xù)的。由Arzela-Ascoli定理，可知TS是列緊的，從而T在E上是全連續(xù)的。

作Bc={x∈E:‖x‖≤c,c>0},使得x≠kTx,?x∈?Bc,?k∈[0,1]。令hk(x)=x-kTx,由拓撲度同倫不變性知

deg(h1,Bc,0)=deg(h0,Bc,0)=deg(I,Bc,0)=1≠0,

根據(jù)Leray-Schauder度的可解性知，

h1(x)=x-Tx=0,

在Bc上至少由一個解。假設(shè)x=kTx,其中x∈?Bc,k∈[0,1],則?t∈[0,1],由

|x(t)|=|kTx(t)|≤|Tx(t)|≤

|λ|Λ(0)+Ω)‖x‖+MΛ(β),

從而

|λ|Λ(0)+Ω)‖x‖+MΛ(β),

因此

令

則對任意x∈?Bc由x≠kTx并且k∈[0,1]。因此方程

h1(x)=x-Tx,

在Bc上至少由一個解，即T在Bc上至少存在一個不動點，從而邊值問題(1)至少有一個解,證畢。

3 結(jié) 語

研究了一類帶有廣義分數(shù)階積分邊值條件的非線性分數(shù)階朗之萬方程解的唯一性和存在性。運用的方法是Banach壓縮映像原理和 Leray-Schauder度理論。