S 方法抑制交叉項(xiàng)原理分析及其應(yīng)用

吳凌華 張 曦 周 新

（1、海軍裝備部，四川 成都610000 2、空軍工程大學(xué)，陜西 西安710000 3、空裝駐成都地區(qū)第三軍代室，四川 成都610000）

1 概述

時(shí)頻分析方法通過將一維時(shí)域信號(hào)映射到能量對(duì)時(shí)間頻率二維的分布上，有效地表征了信號(hào)的時(shí)頻域聯(lián)合特征，是非平穩(wěn)信號(hào)分析的有力工具。時(shí)頻分析方法主要分為兩類：線性時(shí)頻分析方法和雙線性時(shí)頻分析方法[1]。

短時(shí)傅立葉變換是線性時(shí)頻分析方法中的典型代表，盡管其時(shí)頻聚焦性能不好，但其算法簡單高效，且不存在交叉項(xiàng)干擾。WVD分布是一種典型的雙線性時(shí)頻分析方法，其分布結(jié)果有著非常直觀的物理意義[2]。雖然其具有較好的時(shí)頻聚焦性能，但存在嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾。尤其在多分量信號(hào)的時(shí)侯，交叉項(xiàng)的出現(xiàn)往往掩蓋了信號(hào)項(xiàng)，難以準(zhǔn)確辨認(rèn)信號(hào)的時(shí)頻分布規(guī)律?？紤]到短時(shí)傅立葉變換無交叉項(xiàng)干擾，而WVD 分布時(shí)頻聚焦性好，結(jié)合這兩種方法找到兼顧其優(yōu)點(diǎn)的時(shí)頻分析方法是一種提高時(shí)頻分析性能的思路，基于此Stankovic L等人提出了S方法的時(shí)頻分析方法[3]。該方法綜合了譜圖和WVD 的優(yōu)點(diǎn)，在保持高時(shí)頻分辨、力的同時(shí)能夠有效抑制交叉項(xiàng)，算法復(fù)雜度低，在多分量信號(hào)分析中得到了廣泛應(yīng)用[4-12]。

本文根據(jù)S方法的定義，重點(diǎn)研究了其抑制交叉項(xiàng)的原理，并以此為基礎(chǔ)對(duì)S方法的實(shí)現(xiàn)算法進(jìn)行了詳細(xì)分析，然后利用仿真得到其結(jié)果，通過對(duì)比分析驗(yàn)證了S方法的有效性。

2 S 方法的時(shí)頻分析原理

2.1 S方法的定義?；仡櫠虝r(shí)傅立葉變換的定義：

其中，w（τ）是加權(quán)窗，窗寬為T。

Wigner 分布最早是由諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者Wigner 于1932年在量子力學(xué)中引入的，信號(hào)s（t）的Wigner 分布（WD）定義為[1]：

Ville 于1948 年采用信號(hào)的解析形式x（t）代替s（t），將Wigner分布重新定義為：

稱為Wigner-Ville 分布。WVD 分布本質(zhì)上是一種雙線性變換，雙線性破壞了線性疊加原理。多分量信號(hào)的情況下，WVD分布中每兩個(gè)分量都會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的交叉項(xiàng)成分，嚴(yán)重影響了該分布的使用。

改造WVD分布的最簡單的方法是對(duì)變量加窗函數(shù)h（τ）來實(shí)現(xiàn)減小交叉項(xiàng)的目的。對(duì)該方法改造后的WVD 分布稱為偽Wigner-Ville 分布（PWVD），定義為：

其中窗函數(shù)w（τ）。

由式（1）和（3），可推出STFT與PWVD的關(guān)系：

引入窄窗函數(shù)ψ（θ），對(duì)式（4）加窗后積分，即得：

這種新的時(shí)頻分布稱為S方法[3]。

經(jīng)變量置換后，上式可寫為：

選擇不同的窗函數(shù)ψ（θ）將得到不同的時(shí)頻分布，特別有：

（1）當(dāng)取ψ（θ）=2πδ（θ）時(shí)，有：DSM（t，ω）=|SSTFTx（t，ω）|2=SSPECx（t，ω）。（2）當(dāng)取ψ（θ）=1 時(shí)，有：DSM（t，ω）=DPWVx（t，ω）。

雖然（6）式的S方法可以理解為修正的平滑偽Wigner-Ville分布，但它兼顧了短時(shí)傅立葉變換和偽Wigner-Ville 分布的優(yōu)點(diǎn)，有許多優(yōu)良的特性。

2.2 抑制交叉項(xiàng)原理。多分量間的交叉項(xiàng)干擾是WVD分布的主要困難。S方法能夠有效消除信號(hào)分量間的交叉項(xiàng)干擾。下面對(duì)其抑制交叉項(xiàng)的原理進(jìn)行分析。

考慮多分量信號(hào)

其中，信號(hào)分量si（t）=A（t）ejφ（t）是幅值緩變信號(hào)，即|A'（t）|＜＜|φ'（t）|。由于S方法是以短時(shí)傅立葉變換為基礎(chǔ)的，故對(duì)信號(hào)s（t）作短時(shí)傅立葉變換。將信號(hào)s（t）的相位φi（t+τ）展開成泰勒級(jí)數(shù)。假設(shè)窗內(nèi)幅值A(chǔ)i（t+τ）的變化可以忽略，即Ai（t+τ）w（τ）?Ai（t）w（τ），則有：

其中，F(xiàn)T[·]是傅立葉變換算子，W（ω）=FT[w（t）]，τ1是[0，τ/2]間隔內(nèi)的變量，*ω 是頻域卷積。

假設(shè)窗內(nèi)的φi（t+τ1）可忽略，可得到譜圖

設(shè)W（ω）的主瓣寬度為WB。令|ω|≥WB/2 時(shí)，W（ω）=0。則存在兩種情況：

（1）若給定時(shí)間t，對(duì)于所有i，j，滿足min[|φ'i（t）-φ'j（t）|]＞W(wǎng)B，則信號(hào)的能量僅集中在各分量頻率上；（2）若對(duì)于任意的l 和k，[|φ'l（t）-φ'k（t）|]＜WB，則在瞬時(shí)頻率φ'l（t）和φ'k（t）之間存在交叉項(xiàng)Al（t）ejφl（t）和Ak（t）ejφk（t）。

由式（4）和式（8），可得到：

若式（9）中雙重求和項(xiàng)非零，須滿足條件：

將兩個(gè)不等式相加，則有

下面分析（9）式中交叉項(xiàng)成分在θ 軸的位置。將（10）式和（11）式相減，則有：

則加窗積分后，（5）式完全包括信號(hào)自項(xiàng)，且第i 和第j 個(gè)成分間的交叉項(xiàng)被消除。

3 實(shí)現(xiàn)算法分析

短時(shí)傅立葉變換方法雖然受限于不確定原理，時(shí)頻分辨率不高，但因其只需要按采樣理論采樣，算法簡單高效，在實(shí)際系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用；Cohen 類時(shí)頻分布方法可以有效地抑制WVD 分布中的交叉項(xiàng)干擾，但通常要求2 倍的過采樣，且算法復(fù)雜，計(jì)算量大，使其應(yīng)用范圍受限，特別是對(duì)于實(shí)時(shí)性要求較高的系統(tǒng)。S方法則無需過采樣，且其離散化形式可通過高效的遞歸算法求得。

為避免混疊WVD 分布要求以2 倍采樣理論定義的采樣間隔對(duì)信號(hào)過采樣，或者使用信號(hào)的解析形式。S方法不需要對(duì)信號(hào)過采樣，可以同消除交叉項(xiàng)一樣將混疊部分去除。

考慮對(duì)連續(xù)信號(hào)x（t）以采樣間隔Ts采樣，則采樣后的離散形式為：

其傅立葉變換是沿頻率軸以ωs為周期的周期函數(shù)

故可將xs（t）作為有無窮分量的連續(xù)多分量信號(hào)。則對(duì)于幅值緩變信號(hào)：x（t）=A（t）ejφ（t）

其短時(shí)傅立葉變換為：

考慮由（4）式與Wigner-Ville 分布的關(guān)系，則可得離散信號(hào)的WVD分布形式：

同前述S方法的交叉項(xiàng)分析一樣，當(dāng)滿足條件：

式（16）中被積函數(shù)不為零。積分后信號(hào)自項(xiàng)（n1=n2）在θ 坐標(biāo)系的原點(diǎn)附近。沿θ 軸最近的混疊是n1-n2=±1。當(dāng)窗函數(shù)ψ（θ）滿足：

這些混疊將被消除。與移除交叉項(xiàng)的條件式（13）相比，這個(gè)條件是比較寬松的。因此S方法中移除交叉項(xiàng)的條件通常保證了混疊成分的消除。

通過上述分析，可知S方法能夠有效地消除WVD分布中的交叉項(xiàng)干擾，并且不需要對(duì)信號(hào)過采樣，其離散化形式可采用遞歸算法求得，利于數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)高效實(shí)現(xiàn)。

4 仿真實(shí)例

為驗(yàn)證S方法時(shí)頻分析的有效性，下面通過仿真與典型時(shí)頻分析方法進(jìn)行比較。為簡化仿真，仿真中采用兩個(gè)信號(hào)之和，一個(gè)是載頻f1=11.25MHz的定頻信號(hào)，另一個(gè)是線性調(diào)頻信號(hào)起始頻率f2s=375MHz，截止頻率f2e=10.0MHz，采樣頻率為fs=25MHz，時(shí)間為T=40.96us，觀測時(shí)間內(nèi)采樣1024 個(gè)點(diǎn)，計(jì)算時(shí)S 方法時(shí)間窗選擇長度為128 點(diǎn)的漢寧窗。

5 結(jié)論

為了能有效地抑制時(shí)頻分布中交叉項(xiàng)的影響，結(jié)合短時(shí)傅立葉變換和WVD分布兩種方法提出的S方法兼顧了兩者的優(yōu)點(diǎn)。本文根據(jù)S方法的定義，詳細(xì)分析了該方法抑制交叉項(xiàng)的原理，并在此基礎(chǔ)上對(duì)S方法的實(shí)現(xiàn)算法進(jìn)行了研究，然后利用仿真分析對(duì)該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證：理論分析和仿真實(shí)例證明S 方法能夠有效的抑制交叉項(xiàng)的影響，適用于多分量非平穩(wěn)信號(hào)的分析。