存在站址誤差下的時頻差穩(wěn)健定位算法

高向穎 趙擁軍 劉智鑫 劉成城

(戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學(xué) 數(shù)據(jù)與目標工程學(xué)院 鄭州 450001)

1 引言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭環(huán)境的日益復(fù)雜，無源定位系統(tǒng)由于其自身不輻射電磁信號[1]，戰(zhàn)場生存能力強而備受關(guān)注。無源定位技術(shù)的主要原理是通過獲取不同類型的觀測量來估計目標狀態(tài)，常用的觀測量有到達角度(Angle Of Arrival,AOA)、到達時間(Time Of Arrival,TOA)、到達時間差(Time Difference Of Arrival,TDOA)、到達頻率差(Frequency Difference Of Arrival,FDOA)、以及上述觀測量的相互結(jié)合[2]。其中，基于AOA的定位算法較簡單，但由于目前能實現(xiàn)的角度測量誤差較大，故該類算法對遠距離目標定位時，定位精度低[3]，不能滿足戰(zhàn)場需求。基于TOA定位需要滿足目標與觀測站時間同步，對系統(tǒng)硬件要求高[4]，戰(zhàn)場環(huán)境往往無法滿足其要求。而使用TDOA進行目標定位，可消除TOA測量中引起定位誤差的時鐘偏差，從而解決了時間同步問題，系統(tǒng)構(gòu)成簡單。但只利用TDOA進行定位的算法僅能獲取到目標的位置信息，而無法獲取運動目標的速度信息。為實現(xiàn)對動目標的無源定位，需要進一步引入包含接收站與目標之間相對速度信息的FDOA[5,6]。聯(lián)合TDOA和FDOA定位可在大幅度提高目標定位精度的同時，獲取到目標的速度信息，這對于后續(xù)的軍事戰(zhàn)略部署、敵情監(jiān)控具有重大意義[7]。

在實戰(zhàn)應(yīng)用中，接收站自定位精度往往不夠高，文獻[3]中已證明，對于未考慮接收站位置和速度誤差的算法，即使在存在很小站址誤差的情況下，算法的定位精度也會大幅度下降，故對動目標定位時需考慮站址誤差?，F(xiàn)有的考慮站址誤差的動目標定位算法主要有兩大類：迭代類和解析類。文獻[8]中提出了一種迭代類算法—約束最小二乘法(Constrained Total Least Squares,CTLS)，解決了定位方程的非線性問題，但所有迭代類算法都需要擬定適當(dāng)?shù)某踔?，不?dāng)?shù)某踔禂M定會導(dǎo)致算法定位性能的下降。為克服這個問題，Ho在文獻[9]中提出了一種解析類算法—兩步加權(quán)最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares,TSWLS)算法，該算法無需擬定初值，更適用于對非合作目標定位的場景。但在該算法中，當(dāng)目標接近參考站的任一坐標軸時，會產(chǎn)生缺秩問題，從而導(dǎo)致算法在特定點處定位誤差顯著增大。為了避免這個問題，文獻[10]提出了一種改進的TSWLS算法(Improved Two-Stage Weighted Least Squares,ITSWLS)，顯著改善了算法的穩(wěn)健性。盡管上述基于TSWLS的算法具有無需擬定初值以及計算量較小的優(yōu)點，但由于其第2步存在平方、開方等非線性運算，可能會導(dǎo)致算法產(chǎn)生很大的估計誤差，在中等噪聲條件下，算法的定位精度仍不盡人意。為了同時避免TSWLS算法中的非線性運算和矩陣缺秩問題，文獻[11]提出一種修正定位誤差(Localization Error Refinement,LER)的算法，改進了TSWLS算法的步驟2，提高了算法的定位精度和穩(wěn)健性，但是該算法只可用來定位靜目標。之后，劉洋等人[12]將其擴展應(yīng)用到動目標定位上來，但其中的LER算法沒有考慮站址誤差，仍存在嚴重的精度損失，不適用于真實無源定位場景。綜上所述，現(xiàn)有動目標無源定位算法仍存在3個缺陷：(1)在計算過程中出現(xiàn)非線性運算；(2)未考慮站址誤差；(3)定位穩(wěn)健性弱。

針對以上3個缺陷，本文在考慮站址誤差的條件下，提出了一種動目標穩(wěn)健無源定位的改進算法。算法在與TSWLS算法步驟1相同的基礎(chǔ)上，提出了全新的步驟2。新的步驟2基于誤差校正的思想，首先對步驟1的定位誤差進行估計，然后用步驟1中的初估值減去定位誤差估計值，從而得到更精確的目標定位結(jié)果。本文算法可有效避免TSWLS算法中的非線性運算，具有更高的定位精度，且不存在矩陣缺秩問題，因此具有更強的穩(wěn)健性。數(shù)字仿真結(jié)果表明，相比于現(xiàn)有算法[8–12]，本文所提算法具有更優(yōu)的抗噪性和穩(wěn)健性。

2 定位模型

3 定位算法

本文所提算法共有兩步，其中，步驟2為創(chuàng)新點，是算法性能提升的關(guān)鍵。簡便起見，本文僅簡述步驟1流程并對其中必要的參量進行說明，而詳細介紹步驟2。

3.1 初步定位

加權(quán)矩陣W1可以表示為

由式(7)可知ε1B1?α+D1?β，其中，?α,?β服從零均值高斯分布，因此在噪聲較小時，?θ1均值近似為零，也就是說是漸進無偏的，其協(xié)方差矩陣為

3.2 誤差校正

TSWLS算法中存在平方、開方等非線性運算，會進一步放大步驟1中的定位誤差，影響算法的最終定位精度。為避免非線性運算帶來的精度損失，本文提出全新步驟2，通過對定位誤差進行估計并用初步定位結(jié)果減去估計誤差，得到更準確的定位結(jié)果。

從步驟1中可以得到

需要注意的是，加權(quán)矩陣W1是關(guān)于目標位置的函數(shù)，所以在步驟1中不可直接使用。因此，先假設(shè)W1為等維度的單位陣，帶入式(13)得到一個初始估計值，然后用該初估值計算得到新的W1，再通過式(13)更新本文共更新兩次。W2中的目標位置和速度可用步驟1的估計結(jié)果代替。

4 性能分析

4.1 CRLB分析

本節(jié)通過量化所提算法的估計誤差，并將其與克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)相比較，證明了本文算法在噪聲較小的情況下可達CRLB。

4.2 穩(wěn)健性分析

出于對定位連貫性的要求，在對空間目標定位的過程中，不可出現(xiàn)誤差過大的特殊位置點[15]，即空間目標的地理位置應(yīng)與算法的定位性能無關(guān)。

TSWLS算法中矩陣B2為

其中包含有與目標位置相關(guān)的元素，當(dāng)目標位置接近參考站的任一坐標軸時，(u ?s1)中某個元素接近為零，B2變?yōu)槿敝染仃?，在?25)中對B2求逆時就會導(dǎo)致定位誤差較大，最終影響算法定位精度。而根據(jù)本文3.2節(jié)可知，所提算法步驟2中矩陣B2為

由式(37)可看出，本文B2內(nèi)所有元素與目標位置無關(guān)，有效地避免了矩陣缺秩問題，使得本文算法具有更高的穩(wěn)健性。

4.3 定位精度分析

TSWLS算法的步驟2利用輔助變量與目標位置信息間的關(guān)系構(gòu)建方程。算法首先對輔助變量和進行平方和乘積運算

式(39)將方程誤差分為了兩個部分：1階誤差項和2階誤差項。TSWLS算法在平方及乘積運算后直接忽略了2階誤差項，接著對步驟2的結(jié)果開方得到最終定位結(jié)果算法中，平方及開方等非線性運算都會使定位誤差增大，且在噪聲較大的情況下，2階誤差會顯著增大以至于在計算過程中不能被忽略，將其直接忽略將會造成嚴重的精度損失。

所提算法的步驟2不涉及非線性運算，雖然式(18)也只保留了1階項，但其高階相都與‖u ?s1‖成反比，例如的2階項

當(dāng)目標距接收站較遠時，2階相非常小以至可以被忽略。故相比于TSWLS算法，所提算法具有更高的定位精度。

相比于文獻[12]，所提算法將接收站的位置及速度誤差考慮在內(nèi)，更貼近現(xiàn)實情況，消除了由于無法獲得接收站的準確位置和速度而產(chǎn)生的精度下降問題。雖然所提算法計算量大約為文獻[12]的5倍，但考慮到所提算法定位精度的提升，一定計算量的犧牲是值得的。(計算量計算過程見附錄B)

5 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)通過蒙特卡洛仿真實驗將本文算法與ITSWLS[10],TSWLS[9],LER[12]及CRLB進行比較，驗證了本文所提算法的定位性能。

仿真中，本節(jié)將以L次獨立的蒙特卡洛實驗得到的均方根誤差(Root Mean Squares Error,RMSE)來定量評估算法的定位性能。TDOA和FDOA的觀測誤差協(xié)方差矩陣設(shè)為Qα接收站站址誤差協(xié)方差矩陣設(shè)為Qβ0.1J3M}。其中，σt為TDOA測量誤差，σs為接收站位置誤差，Ji為i維 方陣，其對角線元素為1，其余元素均為0.5。

5.1 仿真1

仿真1的目的是量化算法精度，以文獻[9]中的CRLB為基準，對比所提算法與TSWLS,ITSWLS,LER算法的定位精度。與文獻[9]相同，本文選取6個移動接收站，其位置與速度如表1所示

對一個真實位置為[ 2000 2500 3000 ]Tm，速度為[?20 15 40]Tm/s的動目標進行定位。分別設(shè)TDOA測量誤差σt10?2m，接收站位置誤差σs10?1m，并以0.05 m為步進長度不斷增大σs至100m，經(jīng)過L500次蒙特卡洛實驗后的仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1給出了當(dāng)站址誤差σs從10?1m變化到100m時，不同算法的定位RMSE和誤差的變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)σs不斷增大時，所提算法的定位RMSE能更好地貼合CRLB，且擁有更小的定位誤差，盡管在σs1 m時仍存在輕微的門檻效應(yīng)，但相比于其他算法在σs ≈0.4 m就已經(jīng)開始偏離CRLB，且在σs1 m時誤差較大，所提算法的抗噪性仍明顯優(yōu)于其他對比算法，這也驗證了4.2節(jié)中的理論分析。

5.2 仿真2

仿真2的目的是量化算法的穩(wěn)健性，仍然以文獻[9]中的CRLB為基準，對比所提算法與ITSWLS,LER,TSWLS算法的穩(wěn)健性。為使仿真結(jié)果更直觀，選取6 個速度為0 m/s，真實位置分別為[0 0?150]Tm,[ 0 300 0 ]Tm,[?300 0 0]Tm,[ 0?300 0 ]Tm,[300 0 0]Tm,[150 0 0]Tm的固定接收站，用以定位一個以20 m/s的速度在3000 m高空做半徑為2000 m圓周運動的動目標，目標的位置及速度表示為

其中，方位角φ ∈[0,2π]。

設(shè)測量誤差σt10?2m，站址誤差σs10?1m，目標方位角從0～ 2π變化[14]，經(jīng)過L100次蒙特卡洛實驗后的仿真結(jié)果如圖2所示。

表1 接收站位置(m)及速度(m/s)Tab.1 Position(m) and velocity(m/s) of receivers

圖2對比展示了所提算法與ITSWLS,LER,TSWLS算法的穩(wěn)健性?？梢钥闯觯琁TSWLS,LER算法及本文算法在方位角變化時定位精度都始終能達到CRLB，表現(xiàn)穩(wěn)定。而TSWLS算法由于存在矩陣缺秩問題，即使在噪聲較小的情況下，每當(dāng)目標方位角接近kπ/2,k0,1,···,4時，算法的RMSE都會顯著增大。例如，當(dāng)φπ/2時，向量(0,1700,3000)Tm，此時式(36)中B2缺秩，對其求逆時會導(dǎo)致算法誤差增大，定位RMSE激增，在圖2中呈鋸齒狀。而本文所提算法則不存在矩陣缺秩問題，算法的定位性能與目標位置無關(guān)，具有更強的穩(wěn)健性。

6 結(jié)論

在存在站址誤差的條件下，本文提出了一種基于誤差校正的高精度穩(wěn)健定位算法。所提算法中，全新的步驟2通過對步驟1中目標位置和速度估計值的誤差?u和進行估計，并用步驟1的初步估計值減去誤差估計值，最終獲得精確的目標位置和速度。避免了傳統(tǒng)基于TSWLS算法中的非線性運算及矩陣缺秩問題。理論分析和仿真實驗都表明，相比于現(xiàn)有算法，所提算法具有更好的抗噪性，更小的定位誤差及更強的穩(wěn)健性。

附錄A

附錄B

本文主要以算法涉及到的實數(shù)乘法次數(shù)為標準[2]，對比分析了所提算法與文獻[9]及文獻[12]的計算量。此外，由于迭代類算法需要多次迭代才能獲得較好的估計性能，計算量往往遠大于解析類，故在此不再具體分析迭代類算法的計算量。

所提算法步驟1的計算量

所提算法步驟2的計算量

需要注意的是，由于所提算法步驟1中需要先初始化加權(quán)矩陣W1，并更新兩次得到估計結(jié)果，故步驟1中(a)需要計算兩次(b)需要計算三次，因此所提算法共需要(240M3+992M2+1312M+5992)次實數(shù)乘法。文獻[9]中TSWLS算法在步驟2后仍需利用公式得到最終定位結(jié)果，故相比于TSWLS算法，所提算法計算量稍小。而相比于文獻[12]算法，由于所提算法多考慮了接收站位置和速度的誤差，在計算W1和W2時比文獻[12]共多出192M3+944M2+880M+2176次實數(shù)乘法。