復(fù)合Mlinex損失下艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計(jì)

張 晗, 周菊玲, 董翠玲

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

艾拉姆咖分布是武器裝備維修理論中的常用分布.張?jiān)碌壤酶怕拭芏群瘮?shù)的變窗核估計(jì)方法,討論了艾拉姆咖分布參數(shù)θ的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題[1].王敏在復(fù)合Linex對稱損失下對不同先驗(yàn)分布的艾拉姆咖分布參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)[2].呂佳等討論了當(dāng)參數(shù)的先驗(yàn)分布為Gamma分布時(shí),在復(fù)合Linex對稱損失下,艾拉姆咖分布的參數(shù)估計(jì)并證明其容許性[3].龍兵在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)下給出了不同先驗(yàn)分布的艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì),還討論了在全樣本場合不同損失函數(shù)對參數(shù)估計(jì)的影響[4-5].季海波分別在平方損失、二次損失、Linex損失、熵?fù)p失、對稱熵?fù)p失和平衡損失函數(shù)下研究了k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計(jì)問題[6].復(fù)合Mlinex損失是金秀巖在Mlinex損失函數(shù)的基礎(chǔ)上定義的一種對稱損失函數(shù)[7].本文基于復(fù)合Mlinex對稱損失函數(shù),得到了艾拉姆咖分布在先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)、無信息先驗(yàn)以及Jeffreys先驗(yàn)下的Bayes估計(jì),并通過隨機(jī)模擬對估計(jì)進(jìn)行了比較.

單參數(shù)艾拉姆咖分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

(1)

其中x>0,且θ>0是參數(shù)

金秀巖提出的復(fù)合Mlinex對稱損失函數(shù)[7]形式為

(2)

其中δ為θ的估計(jì).

設(shè)X1,X2,…,Xn為來自艾拉姆咖分布總體的一個(gè)隨機(jī)樣本,則X=(X1,X2,…，Xn)的聯(lián)合概率密度為

(3)

1 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

引理1[8]在復(fù)合Mlinex對稱損失函數(shù)和模型下,對任一先驗(yàn)分布π(θ),θ具有唯一的Bayes估計(jì):δ=[E(θc|X)/E(θ-c|X)]1/2c,且估計(jì)是容許的.

1.1 共軛先驗(yàn)下的參數(shù)估計(jì)

定理1 設(shè)隨機(jī)變量X服從艾拉姆咖分布,當(dāng)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布服從逆伽瑪分布IG(a,b)時(shí),在損失函數(shù)式(2)下,θ具有唯一的Bayes估計(jì)

(4)

證明已知參數(shù)θ的先驗(yàn)分布服從逆伽瑪分布IG(a,b),其密度函數(shù)為

(5)

根據(jù)Bayes公式,由式(3)、(5)可得θ的后驗(yàn)概率密度函數(shù):

(6)

即θ的后驗(yàn)概率密度函數(shù)服從逆伽瑪分布IG(2n+a,b+2t).

又因?yàn)?/p>

(7)

同理

(8)

所以,根據(jù)式(7)、(8)可得θ的唯一Bayes估計(jì)

(9)

定理得證.

1.2 無信息先驗(yàn)下的參數(shù)估計(jì)

定理2 設(shè)隨機(jī)變量X服從艾拉姆咖分布(1),當(dāng)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布服從無信息先驗(yàn)時(shí),在損失函數(shù)式(2)下，θ具有唯一的Bayes估計(jì)

(10)

證明參數(shù)θ的無信息先驗(yàn)分布為

π2(θ)=1

(11)

由式(3)、(11)可得θ的后驗(yàn)密度為

(12)

因此在復(fù)合Mlinex損失函數(shù)下,θ的Bayes估計(jì)為

(13)

定理得證.

1.3 Jeffreys先驗(yàn)信息下的參數(shù)估計(jì)

定理3 隨機(jī)變量服從艾拉姆咖分布(1),當(dāng)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布服從Jeffreys先驗(yàn)時(shí),在損失函數(shù)式(2)下，θ具有唯一的Bayes估計(jì)

(14)

證明取參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為Jeffreys先驗(yàn)

(15)

由式(3)、(15)可得θ的后驗(yàn)密度為

(16)

則在復(fù)合Mlinex損失下有

(17)

定理得證.

2 數(shù)值模擬與實(shí)證分析

2.1 數(shù)值模擬

利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬,通過Monte-Carlo法產(chǎn)生一組容量n=30的艾拉姆咖分布隨機(jī)樣本,根據(jù)不同的先驗(yàn)分布由定理1、定理2、定理3計(jì)算出參數(shù)θ的Bayes估計(jì)值.

1) 在復(fù)合Mlinex對稱損失下,當(dāng)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為逆伽瑪分布時(shí),Bayes估計(jì)值如表1和表2.

表1 n=30,θ=1,t=30.1400,a=1時(shí)δB的結(jié)果

表2 n=30,θ=1,t=30.1400,b=1時(shí)δB時(shí)的結(jié)果

觀察表1和表2中的數(shù)據(jù),可以看出在復(fù)合Mlinex對稱損失下,當(dāng)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)IG(a,b)時(shí),超參數(shù)a,b的取值對參數(shù)θ的估計(jì)沒有明顯的影響.

2) 在復(fù)合Mlinex對稱損失下,當(dāng)θ的先驗(yàn)分布為無信息先驗(yàn)和Jeffreys先驗(yàn)時(shí),參數(shù)的Bayes估計(jì)值如表3.

表3 n=30,θ=1,t=30.1400時(shí)δN、δJ的結(jié)果

根據(jù)表1、2、3中的極差R，可以看出在復(fù)合Mlinex對稱損失下,三種先驗(yàn)分布下參數(shù)θ的Bayes估計(jì)值的精確度和穩(wěn)健性沒有明顯的差別；并且c的θ變化對的影響也不明顯.

3) 三種先驗(yàn)分布下參數(shù)θ的Bayes估計(jì)值,如表4所示.

表4 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

從表4中可以看出,對于θ的不同取值,三種先驗(yàn)分布下的估計(jì)都是一樣穩(wěn)健的.通過比較,在復(fù)合Mlinex對稱損失函數(shù)下,當(dāng)參數(shù)的先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)時(shí),計(jì)算所得的Bayes估計(jì)比其他先驗(yàn)分布下的估計(jì)更加精確并且樣本容量越大，估計(jì)越接近真值.

為了進(jìn)一步表明艾拉姆咖分布在復(fù)合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)值更加精確,與其他損失函數(shù)進(jìn)行對比.下面直接給出兩個(gè)結(jié)論:在先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)時(shí)，艾拉姆咖分布參數(shù)的Bayes估計(jì)在二次損失函數(shù)和熵?fù)p失函數(shù)下的表達(dá)式為

比較結(jié)果如表5所示.

表5 n=30,θ=1,t=30.1400時(shí)復(fù)合Mlinex對稱損失、二次損失和熵?fù)p失下的Bayes估計(jì)

表5說明了先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)時(shí)，通過選擇合適的逆伽瑪分布參數(shù)和c的值,艾拉姆咖分布參數(shù)在復(fù)合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)比在二次損失函數(shù)和熵?fù)p失函數(shù)下更接近真值.

2.2 實(shí)證分析

例1[9]在某型坦克維修過程中,經(jīng)過47次觀察得到基層I級預(yù)防性維修二級保養(yǎng)時(shí)間的觀測值，如表6所示.

表6 預(yù)防性維修二級保養(yǎng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)觀測值

通過文[9]可知, 上述觀測值近似地服從參數(shù)θ=5.46的艾拉姆咖分布.對該數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析, 見表7.

表7 復(fù)合Mlinex對稱損失、二次損失和熵?fù)p失函數(shù)下的參數(shù)估計(jì)

觀察表7可知,在同一損失函數(shù)下,參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)時(shí),Bayes估計(jì)更穩(wěn)健.同時(shí)數(shù)據(jù)也表明艾拉姆咖分布參數(shù)在復(fù)合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)比在二次損失函數(shù)和熵?fù)p失函數(shù)下更精確.

3 總結(jié)

本文主要研究了當(dāng)艾拉姆咖分布參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)、無信息先驗(yàn)和Jeffreys先驗(yàn)時(shí),在復(fù)合Mlinex對稱損失函數(shù)下的Bayes估計(jì).數(shù)值模擬的結(jié)果表明,損失函數(shù)中的參數(shù)c不影響θ的估計(jì)值；當(dāng)先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)時(shí),Bayes估計(jì)值最接近艾拉姆咖分布的真值.和二次損失和熵?fù)p失進(jìn)行了簡單對比,結(jié)果表明艾拉姆咖分布參數(shù)θ在復(fù)合Mlinex對稱損失下的Bayes估計(jì)更精確.最后通過實(shí)證分析證明了模擬的結(jié)果.