螺旋馬丟高斯光束的非傍軸傳輸研究

曾勝財， 任志君， 簡榮華

(1.廈門海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息技術(shù)系， 福建 廈門 361100；2.浙江師范大學(xué) 浙江省光信息檢測與顯示技術(shù)研究重點實驗室， 浙江 金華 321004；3.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院， 浙江 湖州 313000)

無衍射光束最大的特點是光強分布沿傳輸方向始終不變.目前有4類無衍射光束，分別是橢圓坐標(biāo)系下的Mathieu光束、極坐標(biāo)系下的Bessel光束、直角坐標(biāo)系下的Cosine光束和拋物坐標(biāo)系下的Parabolic(拋物)光束[1-3].無衍射光束的研究在光學(xué)微操縱、制作光子彈、光通信等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.目前應(yīng)用最廣泛、技術(shù)最成熟的無衍射光束是貝塞爾光束.它是一種中心對稱、光學(xué)形態(tài)相對簡單的光束.無論是零階貝塞爾光束還是高階貝塞爾光束，其傳輸方程均可用較簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)來表達(dá)[4-5].因此貝塞爾光束是最容易實現(xiàn)，并被廣泛應(yīng)用的無衍射光束.

相比貝塞爾光束，馬丟光束具有更多的形態(tài)[6-8]，表達(dá)形式也更復(fù)雜,在一些無衍射光束的應(yīng)用領(lǐng)域中能達(dá)到特定的效果，因此對馬丟光束的研究具有重要意義.目前國內(nèi)外一些學(xué)者已經(jīng)在馬丟光束的表達(dá)形式、參數(shù)取值、傳播屬性，以及實驗制作馬丟高斯光束等方面進(jìn)行了研究[6-12]，但大多是針對低階馬丟光束在傍軸的傳輸研究.吳瓊等[13-14]提出用格林函數(shù)法和虛源法研究馬丟光束，并給出了馬丟光束傳輸更精確的表達(dá)式.但這些研究都是針對一階奇次馬丟光束，目前國內(nèi)外尚未見關(guān)于更高階馬丟光束的研究，其主要原因是更高階馬丟光束的表達(dá)形式更復(fù)雜，無論是采用計算模擬還是光學(xué)方法，實現(xiàn)的難度都非常大，而馬丟光束在非傍軸情況下傳輸?shù)难芯扛鼜?fù)雜.本文利用虛源法，結(jié)合傅里葉-貝塞爾變換理論，以螺旋馬丟高斯光束為例，計算模擬復(fù)雜馬丟光束的傳輸表達(dá)式及非傍軸情況的光場分布，并與傍軸近似結(jié)果做對比分析，這對研究螺旋馬丟高斯光束的傳輸特性及其應(yīng)用具有一定的理論意義.

1 虛源法計算螺旋馬丟光束

馬丟光束經(jīng)級數(shù)展開，在極坐標(biāo)系下有4種光強表達(dá)形式[9]，分別是第一類、第二類奇型馬丟光束和第一類、第二類偶型馬丟光束.

(1)

對應(yīng)類型的奇、偶光束疊加可形成螺旋馬丟光束.而理想的馬丟光束僅是個理論模型，需要被高斯函數(shù)剪切，使其在有限范圍內(nèi)保持無衍射傳輸，才具有實際的研究意義.因此選擇第一類奇型馬丟光束和第一類偶型馬丟光束的疊加為例，螺旋馬丟高斯光束可表達(dá)為：

(2)

其在z=0平面的場分布為:

(3)

其中：ω0為z=0平面上光束的束腰寬度；2e+2為奇型馬丟光束的階數(shù)；2e為偶型馬丟光束的階數(shù).利用虛源法將馬丟函數(shù)展開.設(shè)有一系列強度為Scs(n)，n=2e+2j,位于z=zcs，半徑ρ=ρcs，并帶有一個方位角變量sin[(2j+2)φ]或cos2jφ的電環(huán)，只要參量Scs、zcs和ρcs選取合適的值，就能分別產(chǎn)生第一類奇型或偶型馬丟光束.虛光源的標(biāo)量波函數(shù)為：

E2e+2，2j+2(ρ，φ，z)=U2e+2,2j+2(ρ,z)sin[(2j+2)φ],
E2e，2j(ρ，φ，z)=U2e,2j(ρ,z)cos(2jφ).

(4)

近傍軸條件下，U2e+2，2j+2(ρ，φ，z)、U2e，2j(ρ，φ，z)均滿足非奇次亥姆霍茲方程：

(5)

其中：k是波數(shù)；對于第一類奇型馬丟光束和第一類偶型馬丟光束，(m,n)分別取(2e+2，j+2)、(2e，2j).用傅里葉-貝塞爾在極坐標(biāo)系下的變換可得[10]：

(6)

(7)

由式(5)可得關(guān)于Um,n(ρ,z)的光譜Fm,n(η,z)的微分方程.將Fm,n(η,z)代入式(6)，有：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

將式(10)～(12)代入式(9)，可得傍軸條件下Um,n(ρ,z)的近似解為：

(13)

將式(10)～(12)代入式(8)，可得Um,n(ρ,z)精確解的積分表達(dá)式為：

(14)

2 螺旋馬丟光束的軸上光場分布

對第一類螺旋馬丟高斯光束軸上ρ=0光場的非傍軸修正項，根據(jù)式(2)、式(4)和式(14)，可得軸上光場的分布為：

(15)

式(15)中的振幅因子1/ζ和相位因子exp[iζ(z-ia)]進(jìn)行級數(shù)展開后，因η2?k2，所以只需保留(kω0)-2e(e=0,1,2,…)及之前的項.為獲取軸上光場的三階非傍軸修正，有e=3，保留至(kω0)-6項即可.在此條件下的展開結(jié)果為：

(16)

式(16)中:

(17)

式(17)中：f2(z)=(1+iz/a)-1，根據(jù)關(guān)系式

(18)

(19)

式(19)中：

(19)式為軸上的螺旋馬丟高斯光束保留到三階非傍軸修正項的非傍軸表達(dá)式.取λ=632.8 nm、ω0=45 μm、q=6，對螺旋馬丟高斯光束的軸上非傍軸光強分布進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖1所示(縱坐標(biāo)光強的單位由初始光強而定).

由圖1可知，螺旋馬丟高斯光束在傳輸過程中的近距離范圍內(nèi)，非傍軸修正值與傍軸近似值相差較大，隨著傳輸距離的增加，兩者越來越接近.因此，若將螺旋馬丟高斯光束應(yīng)用于近場研究，如光學(xué)加工或顯微成像，需精確計算其非傍軸傳輸特性.但非旁軸理論的數(shù)學(xué)計算極復(fù)雜,一般很難給出解析表達(dá)式.本文基于虛源法計算推導(dǎo)螺旋馬丟高斯光束的解析表達(dá)式,給出了非傍軸傳輸?shù)木_解，此表達(dá)式能同時適用于近場和遠(yuǎn)場的光束傳輸情況，對解析研究復(fù)雜光束的傳輸具有極其重要的理論價值.

3 結(jié) 論

根據(jù)光束傳輸?shù)莫毩⑿院童B加性原理，將螺旋馬丟高斯光束分解成一系列Bessel光束疊加的形式，然后使用無窮項虛源求和的方法推導(dǎo)出螺旋馬丟高斯光束在自由空間傳輸?shù)膰?yán)格解析積分表達(dá)式，并進(jìn)行數(shù)值計算模擬其在光軸上光場分布的精確解，得到了螺旋馬丟高斯光束保留到三階非旁軸的修正項.此研究有利于了解螺旋馬丟高斯光束的特性，在近場情況下，非傍軸修正值與傍軸近似值相差較大時，此光場精確解為螺旋馬丟高斯光束在實際中的精準(zhǔn)應(yīng)用提供了有益的幫助.本文利用光束傳輸?shù)奶匦?，通過簡單的函數(shù)疊加來實現(xiàn)對復(fù)雜光束的研究，此方法在光束傳輸和光場調(diào)制等方面有一定的意義.