基于最大相關(guān)熵的雷達(dá)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法研究

王恒，李春霞，劉守訓(xùn)

(1.中國(guó)傳媒大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，北京100024；2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司 信息科學(xué)研究院，北京 10081)

1 引言

在實(shí)際生活中，雷達(dá)目標(biāo)跟蹤在民用、軍事等諸多領(lǐng)域都有十分重要的應(yīng)用。在雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中，由于目標(biāo)狀態(tài)以及量測(cè)信息一般是在不同坐標(biāo)系下獲得的，這使得系統(tǒng)濾波模型是非線性的[1]。對(duì)于非線性濾波問(wèn)題，通常的處理方法是運(yùn)用線性化技巧將非線性濾波問(wèn)題近似為線性濾波[2]，最常用的濾波算法有擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)[3]、不敏卡爾曼濾波(UKF)[4]、轉(zhuǎn)換量測(cè)卡爾曼濾波(CMKF)[5].但這些濾波算法前提要求是系統(tǒng)量測(cè)噪聲為高斯噪聲。然而，雷達(dá)系統(tǒng)中的量測(cè)噪聲往往并不是高斯噪聲而是重尾非高斯噪聲，這就導(dǎo)致應(yīng)用傳統(tǒng)算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)性能急劇下降，跟蹤精度大大降低。

針對(duì)非高斯噪聲下的目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，一些算法不斷被提出。例如，粒子濾波(PF)算法是近年來(lái)興起的一種非線性濾波算法，該方法不受高斯噪聲假設(shè)的限定，適用于任何情況下的量測(cè)模型[6]；基于學(xué)生t分布的魯棒濾波算法，用來(lái)解決過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲均是重尾噪聲下的非線性狀態(tài)問(wèn)題[7]；近年來(lái)，信息論學(xué)習(xí)中的優(yōu)化準(zhǔn)則受到了越來(lái)越多的關(guān)注，它直接使用從數(shù)據(jù)估計(jì)的信息論量(如熵)代替通常的二階統(tǒng)計(jì)量(如方差、協(xié)方差)作為優(yōu)化代價(jià)[8-12]。最大相關(guān)熵準(zhǔn)則(MCC)便屬于信息論學(xué)習(xí)領(lǐng)域，其優(yōu)勢(shì)在于不但可以獲得誤差的二階項(xiàng)信息，還可以捕捉濾波誤差的高階統(tǒng)計(jì)量，從而使得系統(tǒng)跟蹤性能得到極大改善，提高系統(tǒng)魯棒性。相比于最小均方誤差優(yōu)化準(zhǔn)則(MMSE)，該準(zhǔn)則不受高斯分布假設(shè)，尤其在誤差分布有離群值、非零均值時(shí)展現(xiàn)出強(qiáng)大的優(yōu)越性[13]。

文獻(xiàn)[14]中提出了線性最大相關(guān)熵?cái)U(kuò)展卡爾曼濾波(LRMCEKF)和非線性最大相關(guān)熵?cái)U(kuò)展卡爾曼濾波(NRMCEKF)，用來(lái)解決狀態(tài)方程和量測(cè)方程均為非線性且量測(cè)噪聲為重尾噪聲的濾波問(wèn)題。本文將最大相關(guān)熵?cái)U(kuò)展卡爾曼濾波(MCEKF)應(yīng)用到雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中。該算法中，狀態(tài)和協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)估計(jì)與傳統(tǒng)擴(kuò)展卡爾曼(EKF)濾波算法狀態(tài)與協(xié)方差一步預(yù)測(cè)相同，而后驗(yàn)估計(jì)則通過(guò)定點(diǎn)迭代過(guò)程進(jìn)行更新[15]。

2 問(wèn)題描述

對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，首先需要建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程以及量測(cè)方程。對(duì)于雷達(dá)來(lái)說(shuō)，目標(biāo)的狀態(tài)信息通常是在直角坐標(biāo)系下獲得的，而量測(cè)信息則是在極坐標(biāo)系下獲得的，這就導(dǎo)致雷達(dá)目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)是非線性的。

考慮到現(xiàn)實(shí)中目標(biāo)大多是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以雷達(dá)直角坐標(biāo)系下離散狀態(tài)方程為，

X(k+1)=F(k)X(k)+G(k)v(k)

(1)

雷達(dá)極坐標(biāo)系下離散時(shí)間系統(tǒng)的量測(cè)方程為，

重尾噪聲往往存在于雷達(dá)量測(cè)以及GPS定位系統(tǒng)中。重尾噪聲與高斯噪聲的區(qū)別主要是重尾噪聲尾部較長(zhǎng)，而中心類似高斯形狀。重尾噪聲可以分解為高斯噪聲和具有“厚尾”特性噪聲的加權(quán)和。這些“厚尾噪聲”有t分布、拉普拉斯分布以及大方差的高斯分布[17]。所以本文采用不同方差的高斯混合噪聲對(duì)雷達(dá)非高斯噪聲進(jìn)行建模?；旌细咚乖肼暷Ｐ涂梢员硎緸椋?/p>

f(k)～(1-?)N(μ1，P1)+?N(μ2，P2)

(3)

其中，0≤?<1 代表重尾噪聲的強(qiáng)弱，N(μ1，P1)代表均值為μ1方差為P1的正常高斯噪聲，N(μ2，P2)代表大方差的高斯噪聲[18]。

3 基于最大相關(guān)熵的擴(kuò)展卡爾曼濾波

擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)是處理非線性跟蹤系統(tǒng)的一個(gè)重要工具，基本思想是利用泰勒級(jí)數(shù)將非線性濾波問(wèn)題近似為線性濾波問(wèn)題，其優(yōu)勢(shì)在于算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小[19]?；谧畲笙嚓P(guān)熵的擴(kuò)展卡爾曼濾波(MCEKF)的濾波過(guò)程為，

(2)預(yù)測(cè)。根據(jù)式(4)和(5)得到狀態(tài)和協(xié)方差的先驗(yàn)更新。然后根據(jù)式(6)和式(8)得到量測(cè)先驗(yàn)更新值及其雅克比矩陣。

(4)

(5)

(6)

(7)

(3)結(jié)合EKF非線性模型，可以得到非線性回歸模型[14]，

(8)

其中，

(9)

α(k)的協(xié)方差矩陣可以表示為，

=M(k)MT(k)

(10)

其中，M(k)是對(duì)協(xié)方差矩陣E[α(k)α(k)T] 進(jìn)行Cholesky分解得到的結(jié)果。將式(8)兩邊分別左乘M-1(k)，可以得到，

D(k)=B(X(k))+e(k)

(11)

(4)為了防止量測(cè)異常引起的C(k)奇異，用以下方法來(lái)解決。

(12)

(13)

β(k)=ψT(k)η-1(k)ψ(k)

(14)

(6)迭代過(guò)程。

(15)

(16)

(17)

其中，Gσ(·)為高斯核函數(shù)，σ表示核帶寬，

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

比較當(dāng)前迭代步的估計(jì)以及上一步的迭代估計(jì)，如果滿足，

(23)

(7)k=k+1重復(fù)步驟(2)到步驟(6)直至濾波結(jié)束。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)雷達(dá)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，目標(biāo)的初始位置設(shè)為(200km，400km)，目標(biāo)的初始速度為(220m/s，-180m/s)，采樣點(diǎn)數(shù)為N=100，采樣間隔 T=1s，混合高斯噪聲中大方差高斯噪聲的方差是正常高斯噪聲的104倍，蒙特卡羅仿真次數(shù)為M=100。在仿真過(guò)程中，濾波的初始值由兩點(diǎn)法給出。本文分別應(yīng)用EKF算法與MCEKF算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。

圖1和圖2分別為非線性高斯系統(tǒng)中傳統(tǒng)EKF算法與MCEKF算法位置以及速度均方根誤差結(jié)果對(duì)比圖。從均方根誤差濾波結(jié)果可以看出，當(dāng)量測(cè)噪聲為高斯噪聲假設(shè)時(shí)，濾波位置均方根誤差大約在40m，而速度均方根誤差大約在3.8m/s左右，MCEKF濾波效果與傳統(tǒng)的EKF濾波精確度以及魯棒性近似相同，都能實(shí)現(xiàn)很好的跟蹤，且傳統(tǒng)的EKF濾波效果略好于MCEKF。

圖1 高斯噪聲下EKF與MCEKF位置均方根誤差對(duì)比

圖2 高斯噪聲下EKF與MCEKF速度均方根誤差對(duì)比

圖3和圖4分別為非線性非高斯系統(tǒng)中傳統(tǒng)EKF算法與MCEKF算法位置以及速度均方根誤差結(jié)果對(duì)比圖。結(jié)果顯示，當(dāng)量測(cè)噪聲為非高斯噪聲時(shí)，濾波位置均方根誤差上升到300m，上升了260m左右；速度均方根誤差上升到10m/s，上升了6.2m/s左右，可見(jiàn)傳統(tǒng)濾波算法中當(dāng)量測(cè)噪聲為非高斯噪聲時(shí)，跟蹤性能出現(xiàn)明顯惡化，目標(biāo)跟蹤性能嚴(yán)重下降。從濾波效果對(duì)比來(lái)看，MCEKF濾波效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的EKF濾波效果，MCEKF算法的濾波精度更高，魯棒性更強(qiáng)。

圖3 非斯噪聲下EKF與MCEKF位置均方根誤差對(duì)比

圖4 非斯噪聲下EKF與MCEKF位置均方根誤差對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

在本文中，我們將最大相關(guān)熵引入到雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)跟蹤模型為非線性且量測(cè)噪聲為非高斯噪聲時(shí)，傳統(tǒng)濾波算法無(wú)法保證系統(tǒng)的跟蹤性能，出現(xiàn)惡化及魯棒性降低的現(xiàn)象，這是由于傳統(tǒng)算法均是在高斯假設(shè)下進(jìn)行濾波的。而最大相關(guān)熵?cái)U(kuò)展卡爾曼濾波是基于MCC而非傳統(tǒng)的MMSE作為優(yōu)化準(zhǔn)則，相較傳統(tǒng)算法只能保留誤差二階矩，該準(zhǔn)則可以保留跟蹤誤差的更高階信息，提高算法的魯棒性。在仿真實(shí)驗(yàn)中，比較了EKF與MCEKF在不同量測(cè)噪聲下跟蹤性能的差異，結(jié)果表明，MCEKF在非線性非高斯情況下跟蹤效果明顯好于EKF的跟蹤效果，該算法不僅能解決非線性跟蹤問(wèn)題同時(shí)可以有效抑制非高斯噪聲的干擾，提高雷達(dá)跟蹤精度。