胡博，王麗莉

摘要：設(shè)計(jì)一種基于GARCH（1，1）模型的改進(jìn)VaR算法（簡(jiǎn)稱g-VaR）.g-VaR將GARCH（1，1）模型引入VaR值計(jì)算，描述上證綜指收益的波動(dòng)性和尖峰厚尾特征.實(shí)證數(shù)據(jù)表明，g-VaR能很好地檢驗(yàn)上證綜指收益率，預(yù)測(cè)上證綜指風(fēng)險(xiǎn)，模型有效.

關(guān)鍵詞：GARCH（1，1）模型;VaR算法;波動(dòng)性;預(yù)測(cè)

[中圖分類號(hào)]F830.91[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

g-VaR Algorithm and Yield Test of Shanghai Composite Index

HU Bo，WANG Lili

（School of Economics and Management，Mudanjiang NormalUniversity，Mudanjiang 157000，China）

Abstract：An improved var algorithm （g-VaR） based on GARCH （1，1） model is designed.g-VaR introduces GARCH （1，1） model into VaR value calculation to describe the volatility of Shanghai Composite Index Return and the characteristics of peak and thick tail.Empirical data show that g-var can better test the yield of Shanghai Composite Index and predict the risk of Shanghai Composite Index，and the model is effective.

Key words： GARCH （1，1） mode;VAR algorithm;volatility;prediction

商業(yè)銀行、證券市場(chǎng)和金融衍生品市場(chǎng)常用VaR值作為風(fēng)險(xiǎn)管理、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量和產(chǎn)品定價(jià)的工具.上證綜指收益具有序列相關(guān)性、波動(dòng)叢聚性、收益厚尾性等特點(diǎn)，這使得傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)算方法不完全適用于預(yù)測(cè)上證綜指的風(fēng)險(xiǎn).本文提出一種改進(jìn)的VaR算法，通過(guò)描述上證綜指收益的波動(dòng)性和尖峰厚尾特征，檢驗(yàn)上證綜指收益率，預(yù)測(cè)上證綜指風(fēng)險(xiǎn).

1VaR算法

1.1方差-協(xié)方差法

假設(shè)資產(chǎn)價(jià)值的變化與其風(fēng)險(xiǎn)因素報(bào)酬是線性的，風(fēng)險(xiǎn)因素報(bào)酬需滿足多元正態(tài)分布，根據(jù)方差-協(xié)方差矩陣可以對(duì)收益的分布進(jìn)行估計(jì).方差-協(xié)方差法對(duì)線性金融資產(chǎn)的求解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為對(duì)資產(chǎn)損失均值和標(biāo)準(zhǔn)差求解.Morgan J P's RiskMet-rics模型是較經(jīng)典的用方差-協(xié)方差法計(jì)算VaR值的方法，通過(guò)推導(dǎo)，可以得到既定置信水平下的VaR值公式：

VaR=Zα*σ*P0.

其中，Zα是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的σ分位數(shù)，P0是資產(chǎn)的初始市場(chǎng)價(jià)值.

計(jì)算給定測(cè)試窗口期內(nèi)兩個(gè)不同置信區(qū)間的VaR值.測(cè)試時(shí)間段：2011年1月14日交易日開(kāi)始，2014年最后一個(gè)交易日結(jié)束，共計(jì)962個(gè)交易日.基于2011年1月14日之前的250個(gè)交易日的數(shù)據(jù)，估算當(dāng)天的VaR值.VaR值的置信區(qū)間分別為95%和99%時(shí)對(duì)應(yīng)的P值，對(duì)應(yīng)這兩個(gè)置信區(qū)間，至多有5%和1%的情況下?lián)p失會(huì)大于估算的VaR值.

假設(shè)資產(chǎn)損益服從正態(tài)分布，在95%和99%置信區(qū)間計(jì)算出VaR值.當(dāng)天的VaR值是基于過(guò)去的250個(gè)交易日的數(shù)據(jù)，不包括當(dāng)天的數(shù)據(jù)（圖1）.采用方差-協(xié)方差法計(jì)算VaR的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便，缺點(diǎn)是回報(bào)率必須滿足正態(tài)分布的假設(shè).

1.2歷史模擬法

歷史模擬法是采用歷史收益計(jì)算各風(fēng)險(xiǎn)因子在過(guò)去一段時(shí)間的分布和變化，找出風(fēng)險(xiǎn)因子與資產(chǎn)組合價(jià)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)映射關(guān)系模擬資產(chǎn)組合在未來(lái)的損益分布，得到既定置信水平下的最低收益，計(jì)算VaR值.

歷史模擬法無(wú)需假設(shè)資產(chǎn)回報(bào)率服從某一特定的分布，假設(shè)以往的損益能夠繼續(xù)用來(lái)反映下一期間的損益分布情況，當(dāng)天的VaR值對(duì)應(yīng)的是過(guò)去N個(gè)歷史回報(bào)率中第P個(gè)分位點(diǎn)的值.用2011年1月14日之前的250個(gè)交易日的數(shù)據(jù)，估算之后962個(gè)交易日當(dāng)天的VaR值（圖2）.可以看出，VaR值相對(duì)穩(wěn)定，這是因?yàn)殡S著時(shí)間的推移，只有當(dāng)新的極端事件進(jìn)入獲取樣本的窗口期時(shí)，才有可能導(dǎo)致相應(yīng)分位點(diǎn)的VaR值變化.當(dāng)市場(chǎng)發(fā)生波動(dòng)時(shí)，這種方法算出的VaR值不能立刻將這些波動(dòng)反映出來(lái).標(biāo)準(zhǔn)的歷史模擬法假設(shè)歷史的每一天影響都占有相同權(quán)重，且這種影響是永遠(yuǎn)不變的，這要求預(yù)測(cè)者要人為判定一個(gè)時(shí)間跨度，具有很強(qiáng)的主觀性，顯然是不合理的.歷史模擬法的優(yōu)點(diǎn)是各方面限制條件少，不研究資產(chǎn)收益分布，不設(shè)置參數(shù)，不考慮尖峰厚尾，應(yīng)用簡(jiǎn)便，且可以處理非線性組合;缺點(diǎn)是計(jì)算的隨意性較大，樣本數(shù)量的大小會(huì)直接影響VaR計(jì)算的精確性，且容易遺漏對(duì)極端事件的預(yù)測(cè).

1.3蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation，MCS）法蒙特卡洛模擬方法需要選擇適當(dāng)?shù)碾S機(jī)模型利用計(jì)算機(jī)大量模擬出風(fēng)險(xiǎn)因子未來(lái)的變化路徑，運(yùn)用估值公式算出每條對(duì)應(yīng)路徑的資產(chǎn)價(jià)值，反復(fù)重復(fù)模擬過(guò)程，盡可能多地模擬風(fēng)險(xiǎn)因子的變化路徑并估算相應(yīng)資產(chǎn)價(jià)值，使估計(jì)的結(jié)果更加接近資產(chǎn)未來(lái)?yè)p益分布，最后算出VaR值.[1]蒙特卡洛模擬法的優(yōu)點(diǎn)在于其不受資產(chǎn)的歷史收益分布制約，也不受限于線性假設(shè)、正態(tài)分布等假設(shè);缺點(diǎn)是依賴模型設(shè)計(jì)，存在模型風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算機(jī)模擬易產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生偏差.

2改進(jìn)的VaR算法

股市收益存在自身的特點(diǎn)，這些特點(diǎn)使得上述三種方法計(jì)算VaR值都具有一定局限性.Engle建立了ARCH模型，它能夠持續(xù)處理金融時(shí)間序列的異方差性，刻畫金融資產(chǎn)的波動(dòng)性，從而更好地?cái)M合資本市場(chǎng)的特征.[2]ARCH模型通過(guò)自回歸過(guò)程描述干擾項(xiàng)的方差序列，如果序列殘差被證實(shí)存在自相關(guān)性，還需嵌入ARMA模型（即在均值方程中加入滯后項(xiàng)）來(lái)消除金融時(shí)間序列的相關(guān)性.ARCH模型設(shè)定為：

rt=c+et;et～N（0，S2t）.（1）

Var（et）=γ+α1e2t-1+α2e2t-2+…+αpe2t-p.（2）

αt=σtεt.（3）

其中，干擾項(xiàng)et是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，滿足均值為0、方差為s2t的正態(tài)分布.

由于ARCH模型在描述資產(chǎn)收益率的波動(dòng)時(shí)對(duì)參數(shù)要求極為嚴(yán)苛，為了適應(yīng)參數(shù)數(shù)量難以解決的問(wèn)題，Bollerslev提出GARCH模型，舍棄e2t-1，采用σ2t.GARCH（p，q）模型減少了ARCH的待估參數(shù)量，使計(jì)算的準(zhǔn)確性大大提高.[3]GARCH模型最常用的一種建模是GARCH（1，1）模型[4]：

rt=c+et.（4）

σ2t=α0+α1α2t-1+β1σ2t-1.（5）

Bollerslev提出對(duì)干擾項(xiàng)采用T分布更能刻畫金融序列尖峰厚尾的特征.T假設(shè)下的GARCH（1，1）模型設(shè)定為：

rt=c+et;et～T（k）.（6）

σ2t=α0+α1α2t-1+β1σ2t-1.（7）

其中，干擾項(xiàng)et服從k個(gè)自由度的T分布.

3數(shù)據(jù)選取與分析

結(jié)合上證股票收益的厚尾、波動(dòng)性等特征，引入GARCH（1，1）進(jìn)行VaR估值，應(yīng)用stata14.0和matlab R2021a軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

3.1描述性統(tǒng)計(jì)與分布特征

選擇日連續(xù)復(fù)合收益率，將收盤價(jià)的自然對(duì)數(shù)取一階差分：

rt=lnPt-lnPt-1.（8）

其中，rt代表t日上證綜指日連續(xù)復(fù)合收益率，Pt是t日上證綜指收盤價(jià).

本研究樣本起止時(shí)間為2010年1月4日至2014年12月31日，共計(jì)1 212個(gè)交易日的上證綜指收盤價(jià)，通過(guò)公式（8）計(jì)算其收益率.圖3描述了這段時(shí)間上證綜指收益率波動(dòng)情況.可以看出，其收益率在-0.06～0.05波動(dòng)，波動(dòng)較大時(shí)，收益虧損曾4次低于-0.05，而正收益只有3次超過(guò)0.04;上證綜指收益率還表現(xiàn)出較弱的波動(dòng)叢聚性，即收益率的小幅波動(dòng)跟隨小幅波動(dòng)，大幅波動(dòng)跟隨大幅波動(dòng).

表1描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（峰度是3，偏度是0），上證綜指收益嚴(yán)重左偏（偏度-0.291 3<0），說(shuō)明收益率低于均值的時(shí)間超過(guò)收益率高于均值的時(shí)間，這是較貼合實(shí)際的.因?yàn)?008年全球金融危機(jī)后，全球股市低迷，我國(guó)股市也受到影響，2008年之后的最初幾年，上證股票都處于震蕩調(diào)整時(shí)期，收益率偏低;峰度5.113>3反映了收益率相對(duì)正態(tài)分布的尖峰特征.為使論述更為嚴(yán)密，應(yīng)用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)和Jarque-Bera type檢驗(yàn)考察上述結(jié)論.

K-S檢驗(yàn)和J-B檢驗(yàn)上證綜指收益是否服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，K-S檢驗(yàn)結(jié)果為0.053，P值為0.002，在5%顯著水平下拒絕服從正態(tài)分布;J-B檢驗(yàn)結(jié)果（表2）無(wú)論是峰度、偏度還是聯(lián)合檢驗(yàn)，都在1%水平，顯著拒絕服從正態(tài)分布，驗(yàn)證了上證綜指日連續(xù)復(fù)合收益率分布的非正態(tài)性.

3.2模型設(shè)定

基于上證綜指的各種特征，筆者用GARCH（1，1）模型計(jì)算VaR.首先，對(duì)殘差進(jìn)行序列相關(guān)性檢驗(yàn)，如果殘差不具有序列相關(guān)性，則只需要考慮GARCH模型，否則需要嵌入ARMA模型來(lái)消除序列的相關(guān)性.ARMA過(guò)程檢驗(yàn)結(jié)果P值為? 0.788 8，說(shuō)明加入ARMA過(guò)程前后結(jié)果不存在顯著區(qū)別，接受原假設(shè)，即不需要嵌入ARMA過(guò)程，可以直接用ARCH模型.其次，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行異方差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗(yàn).對(duì)殘差滯后1階到滯后20階進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn).結(jié)果顯示，在5%的顯著性水平上不能拒絕原假設(shè)，可認(rèn)為不存在ARCH效應(yīng)，說(shuō)明所選樣本期的波動(dòng)叢聚性較弱，故只需要考慮GARCH模型.考慮用T假設(shè)替換正態(tài)分布假設(shè)，并檢驗(yàn)替代前后模型結(jié)果是否發(fā)生顯著差異.使用LR檢測(cè)，顯示結(jié)果P值為0.000 0，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明T假設(shè)下的GARCH模型與正態(tài)假設(shè)下的GARCH模型差異顯著.使用信息準(zhǔn)則檢測(cè)，顯示T假設(shè)下aic值為-7 410.4，小于正態(tài)假設(shè)下aic值-7 335.2;T假設(shè)下bic值為-7 384.9，小于正態(tài)假設(shè)下bic值-7 314.8.說(shuō)明T假設(shè)下的GARCH（1，1）模型效果更好.

使用GARCH（1，1）模型進(jìn)行回歸，得到T統(tǒng)計(jì)量自由度為4.967 3≈5，驗(yàn)證T（1）分布下的GARCH（1，1）和T（5）分布下的GARCH（1，1）是否存在顯著差異.設(shè)定T的自由度為5，求出T（5）的極大似然值為3 710.187;T（1）的極大似然值為3 710.188，用似然比檢驗(yàn)結(jié)果，得到P值為0.965 4，說(shuō)明使用T（1）分布下的GARCH（1，1）和T（5）分布下的GARCH（1，1）得到的結(jié)果差異不顯著，可以用T（1）分布下的GARCH（1，1）模型來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.

表3顯示了模型的回歸結(jié)果，得到以下回歸方程：

rt=0.000 078+et.（9）

σ2t=0.000 001 56+0.025 7α2t-1+0.965α2t-1.（10）

其中，rt=lnPt-lnPt-1，參數(shù)α1+β1=0.025 7+0.965=0.990 7<1，滿足約束條件，模型有效，可用于上證綜指的分析與預(yù)測(cè).

4VaR值的計(jì)算與回測(cè)

考慮到2008年金融危機(jī)及其后續(xù)影響，股市的波動(dòng)較劇烈，若選取的檢驗(yàn)期過(guò)長(zhǎng)，可能會(huì)破壞樣本的一致性，故本文選取2011年1月14日之前的250個(gè)交易日上證綜指日收盤價(jià)的觀測(cè)值作為測(cè)試窗口期，從2011年1月14日到2014年最后一個(gè)交易日作為測(cè)試時(shí)間段（檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)共計(jì)962個(gè)）來(lái)估算當(dāng)天的VaR值.

本文用三種方法計(jì)算了在給定測(cè)試窗口期內(nèi)兩個(gè)不同置信區(qū)間的VaR值，再通過(guò)VaR值回測(cè)評(píng)估不同VaR值計(jì)算方法.假如置信區(qū)間為95%，那么理論上應(yīng)該只有5%的當(dāng)日實(shí)際損失超過(guò)VaR值，且這5%的情況不應(yīng)該聚集在某一特定時(shí)間.倘若損失超過(guò)VaR值的情況集中出現(xiàn)在某一時(shí)段，則表明這5%的情形并非在時(shí)間上是相互獨(dú)立的，而且常用的計(jì)算方法得出的VaR值應(yīng)該是對(duì)于市場(chǎng)的變化反映比較緩慢（置信區(qū)間為99%時(shí)情況相同）.

本文分別把95%和99%的置信區(qū)間下的三種方法算出的VaR值以及相應(yīng)時(shí)間的回報(bào)率畫在同一個(gè)圖中進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖4和圖5.

圖4和圖5表明，當(dāng)回報(bào)率出現(xiàn)負(fù)值的時(shí)候，損失才可能會(huì)超過(guò)VaR值.T假設(shè)下GARCH（1，1）法計(jì)算的VaR值在這個(gè)時(shí)段內(nèi)更加貼近也更準(zhǔn)確地反映了回報(bào)率的趨勢(shì).因此，在采用T假設(shè)GARCH（1，1）法計(jì)算時(shí)，資產(chǎn)的損失較少有突破VaR值的情況.

5結(jié)論

設(shè)計(jì)一種基于GARCH（1，1）模型的改進(jìn)VaR算法（簡(jiǎn)稱g-VaR）.g-VaR將GARCH（1，1）模型引入VaR值計(jì)算，描述上證綜指收益的波動(dòng)性和尖峰厚尾特征，采用T假設(shè)下的GARCH（1，1）模型計(jì)算VaR值.回測(cè)檢驗(yàn)結(jié)果顯示，g-VaR能更好地檢驗(yàn)上證綜指收益率，預(yù)測(cè)上證綜指風(fēng)險(xiǎn)，模型有效.

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編輯：吳楠