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    數(shù)形結(jié)合 促進(jìn)有效建模

    2009-07-20 03:33
    關(guān)鍵詞:表象數(shù)學(xué)模型人教版

    金 勤

    數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡(jiǎn)化,運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,形成的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

    隨著新課程的不斷深入,在形成這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中,不少教師對(duì)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題解決方法的多樣化等格外重視,而忽視了學(xué)生思維的發(fā)展過(guò)程,使學(xué)生在數(shù)學(xué)模型建立過(guò)程中感到枯燥而乏味。本文就新課程實(shí)施過(guò)程中,如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,促進(jìn)學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,使數(shù)學(xué)的抽象性與其符號(hào)簡(jiǎn)練的特性二者有機(jī)相融,談一些粗淺的認(rèn)識(shí)。

    一、以形論數(shù),促進(jìn)有效建模

    數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程。其實(shí)是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程。學(xué)生首先將文字表述或是數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己的圖式,再由這一圖式轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào),從而建立起為學(xué)生自己所理解、接受的數(shù)學(xué)模型。但在常態(tài)教學(xué)過(guò)程中,我們常常發(fā)現(xiàn)低年級(jí)學(xué)生在充分感知后,教師忽視了引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地進(jìn)行適當(dāng)?shù)某橄螅吣昙?jí)學(xué)生則直觀感知不夠充分,抽象的過(guò)程太早太快。因此,要讓學(xué)生在充分直觀感知的基礎(chǔ)上,先將抽象的語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化成圖形,然后學(xué)會(huì)使用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)圖形,降低學(xué)生思維的難度,從而有效地幫助學(xué)生理解知識(shí)、構(gòu)建模型。

    課堂回放(一):人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊(cè)第108頁(yè)的“集合”。

    教師出示:三(1)班參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課外興趣小組學(xué)生名單

    師:從上表中,你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息?你又能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題?

    生1:參加語(yǔ)、數(shù)課外小組的同學(xué)一共多少人?

    師:誰(shuí)能解決這個(gè)問(wèn)題?

    生2:8+9=17(人)。

    生3:8+9-3=14(人)。

    師:究竟有多少人呢?誰(shuí)能用一幅圖來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題?看看誰(shuí)設(shè)計(jì)的圖既簡(jiǎn)單又明了。

    [分析:在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,教師選擇了“數(shù)形結(jié)合”的方法,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從獨(dú)立到交叉重復(fù)的過(guò)程,為幫助學(xué)生理解韋恩圖,而引導(dǎo)學(xué)生用圖來(lái)表示。原以為在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)積累了解決此類問(wèn)題的方法,或是在頭腦中已經(jīng)建立了某種有效的圖式,只需發(fā)揮表象的作用,便能在“不重復(fù)、不遺漏”的基礎(chǔ)上輕松建立起“集合”這一模型。而實(shí)際教學(xué)情況并非如此,學(xué)生對(duì)集合的特性及集合內(nèi)各元素的意義等難以理解。]

    課堂回放(二):人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊(cè)第108頁(yè)的“集合”。

    教師出示:下圖中的動(dòng)物至少可以分成幾類?

    生1:我認(rèn)為可以分成兩類,一類是游的,是1、3、5、6、9;還有一類是飛的,包括2、4、7、8、10。

    生2:老師,我也分成兩類,只是天鵝分到哪里去呢?

    ……

    師:誰(shuí)能用一幅圖來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題?看看誰(shuí)設(shè)計(jì)的圖既簡(jiǎn)單又明了,并說(shuō)說(shuō)你是怎么想的。

    [分析:“以形論數(shù)”正是將抽象的語(yǔ)言文字或是抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔明了的圖形,再由形的變化抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)。在學(xué)生能用圖形驗(yàn)證出其結(jié)果正確后,教師及時(shí)地跟進(jìn):“我們?nèi)绾斡盟闶奖硎灸?”這樣就把形和數(shù)緊密地聯(lián)系起來(lái),從而清晰有效地構(gòu)建起“集合”這一模型及其各部分屬性。]

    二、借數(shù)解形,促進(jìn)有效建模

    學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中,通常經(jīng)歷三個(gè)階段,即形象——表象——抽象。表象是形象思維與抽象思維間的橋梁,它是促進(jìn)形象思維向抽象思維的跨越與提升。表象是人腦對(duì)當(dāng)前沒(méi)有直接作用于感覺(jué)器官的,以前感知的事物形象的反映。

    課堂回放(三):人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)第132頁(yè)的“打電話”。

    教師出示:一個(gè)合唱隊(duì)共有15人,暑假期間有一個(gè)演出,老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員。如果用打電話的方式,每分鐘通知1個(gè)人,請(qǐng)幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案。

    [分析:學(xué)生在設(shè)計(jì)方案過(guò)程中,能夠自覺(jué)地將抽象的語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化為自己知識(shí)結(jié)構(gòu)中的圖形展開(kāi)研究。但是,面對(duì)學(xué)生設(shè)計(jì)的繽紛的“形”,教師忽視了還需要提升,以至于在“直觀世界”里隨著學(xué)生的思維運(yùn)行而無(wú)法理清思路。]

    課堂回放(四):人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)第132頁(yè)的“打電話”。

    教師出示:一個(gè)合唱隊(duì)共有15人,暑假期間有一個(gè)演出,老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員。如果用打電話的方式,每分鐘通知1個(gè)人,請(qǐng)幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案。并完成下表:

    [分析:同樣,學(xué)生在設(shè)計(jì)方案過(guò)程中,都能夠自覺(jué)地將語(yǔ)言文字轉(zhuǎn)化為圖形展開(kāi)研究。所不同的是,在第二次課堂教學(xué)過(guò)程中,教師有意識(shí)地設(shè)計(jì)了這樣一張表格,使學(xué)生在頭腦中形成相關(guān)的圖形表象之際及時(shí)地進(jìn)行抽象,獲得其潛隱著的共同的本質(zhì)特性。再以此類推,或可用算式計(jì)算所得,這就是數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型的構(gòu)建,同樣可以支撐學(xué)生在解決后續(xù)問(wèn)題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思考。]

    三、數(shù)形相融,促進(jìn)有效建模

    從數(shù)的認(rèn)識(shí)到扳手指計(jì)算,從數(shù)學(xué)模型的由來(lái)到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu),都離不開(kāi)思維的運(yùn)行。無(wú)論是從形象思維到表象思維再到抽象思維,整個(gè)過(guò)程中都滲透著由數(shù)思形、由形思數(shù)、數(shù)形相融、數(shù)形相通的數(shù)形結(jié)合思想。

    課堂回放(五):人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)第47頁(yè)的練習(xí)。

    出示:李大爺家有一塊菜地,這塊菜地的面積是多少?

    [分析:我們?cè)谟?jì)算這一組合圖形時(shí),可以將這組合圖形分成兩個(gè)長(zhǎng)方形,一個(gè)長(zhǎng)方形面積為21×9,另一個(gè)長(zhǎng)方形面積為19×9。于是,這組合圖形的面積計(jì)算便演變成了21×9+19×9=(21+19)×9。從而解釋證明了乘法分配律,這便是數(shù)與形的對(duì)照和交融。]

    課堂回放(六):人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)第121頁(yè)的練習(xí)。

    教師出示:要在五邊形的水池邊擺上花盆,使每一邊都有4盆花,可以怎樣擺?至少需要擺多少盆?

    師:在一個(gè)五邊形水池邊上擺花盆,每邊擺4盆,可以怎樣擺呢?

    生1:至少要20盆,每邊擺4盆,有5條邊也就是5個(gè)4,4×5=20(盆)。(圖一)

    生2:不對(duì)。在擺的時(shí)候,頂點(diǎn)的這一盆既是一條邊上的起點(diǎn),也是另一條邊上的終點(diǎn),所以應(yīng)該是15盆。(圖二)

    生3:我們可以看成每邊擺4盆,5條邊,就有4×5=20(盆),其中每個(gè)頂點(diǎn)上都重復(fù)計(jì)算了,要將這5盆去掉,所以是20-5=15(盆)。(圖三)

    生4:我們根據(jù)剛才這位同學(xué)的思路,可以看成每邊上擺2盆,那么5條邊就是2×5=10(盆),再加上每個(gè)頂點(diǎn)處擺的1盆,就一共有5+10=15(盆)。(圖三)

    生5:我可以把它看成底邊上擺4盆,兩條邊上擺2盆,兩條邊上擺3盆,頂點(diǎn)上擺一盆,一共是4+2+2+3+3+1=15(盆)。(圖四)

    ……

    師:你能否發(fā)現(xiàn)解決這類問(wèn)題要注意些什么?

    生6:無(wú)論是幾邊形,都要注意每頂點(diǎn)上的花盆不能重復(fù)擺……

    [分析:將奧數(shù)訓(xùn)練中的“植樹問(wèn)題”移到教材中,原本只需少數(shù)人掌握,而如今需要全班學(xué)生去了解,去構(gòu)建這種模型。于是,解決此類問(wèn)題最為有效的方法是我們思考的關(guān)鍵,而“數(shù)形結(jié)合”顯然是最有助于學(xué)生理解此類問(wèn)題的有效途徑。通過(guò)借助圖形,充分感知,在全方位、多角度思考過(guò)后,學(xué)生能獨(dú)立地對(duì)此類問(wèn)題以多種策略進(jìn)行充分的解釋。]

    總之,在實(shí)施新課程過(guò)程中,我們?cè)谂?chuàng)設(shè)情境、強(qiáng)化解決問(wèn)題策略多樣化的同時(shí),也應(yīng)該將傳統(tǒng)的數(shù)形結(jié)合思想滲透于其中,引導(dǎo)學(xué)生用自己知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中的數(shù)、式、形、表格、圖像等去描述所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型,在豐富感知的基礎(chǔ)上,積極地揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律,用簡(jiǎn)約、深刻的數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)起抽象的數(shù)學(xué)模型,自始至終享受著簡(jiǎn)約與抽象的數(shù)學(xué)之美。

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