淺談點(diǎn)的移動(dòng)與函數(shù)圖象的平移之間關(guān)聯(lián)

蔣勤

摘 ?要：學(xué)生已在初一年級(jí)的時(shí)候?qū)W過平面直角坐標(biāo)內(nèi)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，以及圖形在平面坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)的規(guī)律都是“上加下減，左減右加”;但在學(xué)習(xí)了函數(shù)圖像后，特別是初三年級(jí)上冊(cè)第二十二章二次函數(shù)圖象后，函數(shù)圖象平移規(guī)律為“上加下減，左加右減”。點(diǎn)的平移和二次函數(shù)圖象的平移上下移動(dòng)規(guī)律一致，下面就探究左右平移的關(guān)聯(lián)以及解決方案！

關(guān)鍵詞：點(diǎn)圖形函數(shù);移動(dòng);規(guī)律

一、目標(biāo)和地位

點(diǎn)和函數(shù)圖像的平移在中考中占一定的比例;考查重點(diǎn)為在平面坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)以及函數(shù)的平移，從而得到新點(diǎn)和函數(shù)，并通過新點(diǎn)或新圖象解決問題。本篇文章在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的平移的基礎(chǔ)上，對(duì)比學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象的平移，發(fā)現(xiàn)規(guī)律不統(tǒng)一，從而繼續(xù)對(duì)兩者及研究。這是對(duì)平面直角坐標(biāo)系研究的延續(xù)。學(xué)生需要掌握點(diǎn)的平移和函數(shù)的平移，對(duì)于解函數(shù)的題很有用。

二、知識(shí)點(diǎn)的陳述，

（一）點(diǎn)平移的規(guī)律;

“例如圖（1），三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，3），B（3，1），C（1，2）.

解：如圖（2），所得三角形A1B1C1以及三角形A2B2C2都與三角形ABC的大小、形狀完全相同，三角形A1B1C1可以看作將三角形ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到.類似地，三角形A2B2C2可以看作將三角形ABC向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到.”

點(diǎn)的變化引起圖形移動(dòng)的規(guī)律：

（1）將點(diǎn)（x，y）的橫坐標(biāo)加上一個(gè)正數(shù)a，縱坐標(biāo)不變，即（x+a，y），則其新圖形就是把原圖形向右平移a個(gè)單位.

（2）將點(diǎn)（x，y）的橫坐標(biāo)減去一個(gè)正數(shù)a，縱坐標(biāo)不變，即（x-a，y），則其新圖形就是把原圖形向左平移a個(gè)單位.

（3）將點(diǎn)（x，y）的縱坐標(biāo)加上一個(gè)正數(shù)b，橫坐標(biāo)不變，即（x，y+b），則其新圖形就是把原圖形向上平移a個(gè)單位.

（4）將點(diǎn)（x，y）的縱坐標(biāo)加上一個(gè)正數(shù)b，橫坐標(biāo)不變，即（x，y-b），則其新圖形就是把原圖形向下平移b個(gè)單位.

（二）函數(shù)圖象平移的規(guī)律

一次函數(shù)圖象的平移

（1）直線y=kx+b（k≠0）向上或向下平移m（m>0）個(gè)單位時(shí)，解析式變?yōu)閥=kx+b+m或y=kx+b-m;（2）直線y=kx+b（k≠0）向左或向右平移m（m>0）個(gè)單位時(shí)，解析式變?yōu)閥=k（x+m）-b或y=k（x-m）+b。

口訣：“上加下減”，“左加右減”。

二次函數(shù)圖象的平移

一般地，拋物線y=a（x-h）2+k與y=ax2形狀相同，位置不同。把拋物線y=ax2向上（下）向左（右）平移，總結(jié)八個(gè)字“上加下減，左加右減”?？梢缘玫綊佄锞€y=a（x-h）2+k.

三、出現(xiàn)的問題;

出現(xiàn)練習(xí)題“求出函數(shù)y=-2（x+1）2+8的圖象的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象，并說明圖象是由拋物線y=-2x2經(jīng)過怎樣的平移得到的?！?，班上大部分同學(xué)都能根據(jù)函數(shù)圖象移動(dòng)的規(guī)律得到正確答案，有部分學(xué)生的答案和正確答案正好相反，但是平移的量一樣，就僅是方向正好相反。然后讓學(xué)生理解如何平移。對(duì)于拋物線y=-2（x+1）2+8，求這個(gè)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸的問題，可以用y=a（x-h）2+k對(duì)應(yīng)去找，注意字母與數(shù)字的對(duì)應(yīng)，其中h對(duì)應(yīng)-1，k對(duì)應(yīng)8，所以可以得出該函數(shù)的定點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，8），對(duì)稱軸為x=-1。對(duì)于函數(shù)圖像的移動(dòng)，是由函數(shù)圖像的平移要領(lǐng)“上加下減，左加右減”[1]該拋物線是由拋物線y=-2x2向左平移1個(gè)單位量，向上平移8個(gè)單位量得到。但是有學(xué)生提出：函數(shù)圖像也是由平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)個(gè)點(diǎn)組成的，為什么不能根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律完成呢？點(diǎn)的平移是“上加下減，左減右加”[2]，而現(xiàn)在函數(shù)圖像的平移是“上加下減，左加右減”，發(fā)現(xiàn)上下都是一樣的，可是左右是相反，且是互相矛盾的，為什么會(huì)不一樣呢？那我們能不能把點(diǎn)的平移和函數(shù)圖象的平移歸納總結(jié)成一個(gè)規(guī)律，研究清楚為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的不同呢？

四、解決問題;

（一）追根溯源，究其原因;

點(diǎn)在平面坐標(biāo)系內(nèi)的移動(dòng)的問題，運(yùn)用“上加下減，左減右加”[2]，而函數(shù)圖象的平移規(guī)律是“上加下減，左加右減”。它們左右移動(dòng)為什么方向不同呢？

我覺得函數(shù)圖象也是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)由一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)組成的，所以符合點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)律：“上加下減，左減右加”。假設(shè)函數(shù)y=kx+b（k≠0）上有一個(gè)點(diǎn)A（x，y）僅向左平移a個(gè)單位，則根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律有新的點(diǎn)B（x1，y），所以這兩個(gè)點(diǎn)之間存在著的關(guān)系是：x1=x-a，而原函數(shù)中并沒有自變量x1，只有自變量x;所以要把x1=x-a變?yōu)閤=x1+a才能帶入原函數(shù)y=kx+b中，得到新函數(shù)y=k（x1+a）+b。同理可得原函數(shù)y=kx+b（k≠0）向右平移得到新函數(shù)y=k（x1-a）+b（k≠0）二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的平移也是這樣的道理。這樣就是函數(shù)圖像平移規(guī)律為什么是“上加下減，左加右減”的原因。

（二）解決建議;

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)有規(guī)律“上加下減，左減右加”。即原點(diǎn)向上面為y軸的正半軸，即在y值上加一個(gè)數(shù)值，“上加”。原點(diǎn)向下為y軸的負(fù)半軸，即在y值上減一個(gè)數(shù)值，“下減”。在原點(diǎn)的左是x軸負(fù)半軸，即在x值上減一個(gè)數(shù)值，“左減”。原點(diǎn)向右為x軸的正半軸，即在x值上加一個(gè)數(shù)值，“右加”。所以有了“上加下減，左減右加”[2]。我覺得函數(shù)圖象的平移也可用這八個(gè)字進(jìn)行總結(jié)“上加下減，左減右加”[1]。這樣既符合平面直角坐標(biāo)系的規(guī)律也減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，這些問題不用學(xué)生分類處理，避免學(xué)生的知識(shí)混淆了。

五、總結(jié)

教無定法，教學(xué)生活學(xué)數(shù)學(xué)，教可以應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)。一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)以及在平面坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)點(diǎn)和圖形的規(guī)律都統(tǒng)一為“上加下減，左減右加”[2]。但是一次函數(shù)平移時(shí)，一次函數(shù)要對(duì)于為y=k（x1-），以及二次函數(shù)要對(duì)應(yīng)它的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-）2+h。我在以后的教學(xué)過程中，就用以上總結(jié)的結(jié)論進(jìn)行教學(xué)，這樣可以為學(xué)生減少困擾！所以在平面坐標(biāo)系內(nèi)所有平移的規(guī)律為“上加下減，左減右加”[2]，也是符合平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)和規(guī)律的！

參考文獻(xiàn)

[1] ?義務(wù)教育教科書-人教版九年級(jí)上冊(cè)第22.1.3;

[2] ?義務(wù)教育教科書-人教版七年級(jí)下冊(cè)第7.2.2;