定積分的概念教學(xué)研究

吳鳳珍

摘 要：定積分是工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，無論從概念本身到實際應(yīng)用，還是從計算方法到思想方法，均有著舉足輕重的地位。本文對定積分的概念的教學(xué)做了深入的研究，突出了直觀式、啟發(fā)式教學(xué)，著重體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想，不再拘泥于解題技巧.

關(guān)鍵詞：定積分 概念 直觀式 啟發(fā)式 數(shù)學(xué)文化

定積分的概念是學(xué)習(xí)定積分的基礎(chǔ)，它上承導(dǎo)數(shù)、不定積分，下啟定積分的應(yīng)用、重積分、曲線積分、曲面積分等.定積分的概念本身體現(xiàn)了微積分的基本思想方法-極限思想方法。通過定積分概念的學(xué)習(xí)，可培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問題的能力、一定的邏輯推理能力、比較熟練的運(yùn)算能力和自學(xué)能力，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)和修養(yǎng)。多年來的教學(xué)實踐表明，定積分的概念的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說是一個難點，這一部分內(nèi)容是學(xué)生在大一學(xué)的，大二開設(shè)的數(shù)學(xué)后繼課程及一些專業(yè)課中都要用到這一部分內(nèi)容，但是到大二時，大部分學(xué)生都記不起定積分的核心思想，更談不上用了。因此，如何進(jìn)行定積分概念的教學(xué)，是一個很值得研究的課題.本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談?wù)勗诙ǚe分概念的教學(xué)中所采取的改革措施及體會。

一、復(fù)習(xí)極限思想，做好鋪墊

極限貫穿于微積分的始終，是微積分的靈魂.定積分就是一種具有特定結(jié)構(gòu)的極限，所以，不知道什么是極限，沒有理解極限思想，就不可能理解定積分。學(xué)生盡管在此之前學(xué)過極限的定義及運(yùn)算，也學(xué)過特殊的極限-導(dǎo)數(shù)，但真正理解極限思想的不多，在講定積分的概念之前，必須先復(fù)習(xí)極限。在講課之前，可通過問題導(dǎo)入復(fù)習(xí)極限。譬如，設(shè)計這樣一個問題：已知變速直線運(yùn)動的路程，如何求瞬時速度。大部分學(xué)生可能這樣回答：瞬時速度就是路程對時間的導(dǎo)數(shù)，這時可進(jìn)一步追問，什么是導(dǎo)數(shù)呢？它是如何產(chǎn)生的呢？讓學(xué)生回顧導(dǎo)數(shù)的概念，進(jìn)而加深對極限的理解，為定積分概念的學(xué)習(xí)做好鋪墊。[1]

二、真正認(rèn)識曲邊梯形

曲邊梯形面積的求法是定積分部分的核心知識，而學(xué)生須先正確認(rèn)識曲邊梯形。對于標(biāo)準(zhǔn)的曲邊梯形，學(xué)生往往能正確識別，而哪些不標(biāo)準(zhǔn)的，學(xué)生識別起來就比較困難。教學(xué)中，首先這樣引入問題：我們已經(jīng)會求三角形、矩形、梯形等規(guī)則的幾何圖形的面積，但是實際問題中遇到的圖形往往是不規(guī)則的（展示一些不規(guī)則圖形的圖片），如何求不規(guī)則的幾何圖形的面積呢？最基本的規(guī)則圖形是三角形，曲邊梯形是最基本的不規(guī)則圖形，那什么是曲邊梯形呢？教師給出曲邊梯形的定義，然后給學(xué)生展示一些具體的圖片，讓學(xué)生判斷它們是否曲邊梯形。通過具體的練習(xí)使學(xué)生明白，曲邊梯形的兩條互相平行的兩條直邊中的一條（或兩條）可縮為一個點，但它的底邊和曲邊是必須存在的。像下面的兩個圖形也是曲邊梯形。

還應(yīng)使學(xué)生明確，有些規(guī)則的幾何圖形，也稱為曲邊梯形。譬如直角三角形、矩形、直角梯形。如果一個平面圖形不是曲邊梯形，可以通過作輔助線，將其面積化為曲邊梯形面積的和或差，因此曲邊梯形是最基本的平面圖形，只要曲邊梯形的面積會求了，任意平面圖形面積的求解問題就解決了。[2]

三、直觀演示，化抽象為具體

學(xué)生知道了曲邊梯形的定義后，提出問題：如何求曲邊梯形面積的精確值呢？請同學(xué)們回顧我國三國時期的數(shù)學(xué)家劉徽是如何求出圓的面積的精確值的。學(xué)生們都積極回答，這時播放割圓術(shù)的動畫，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得出結(jié)論：要求圓面積的精確值，先求其近似值，欲求整體的近似值，先求部分的近似值。如何求圓面積的近似值呢？數(shù)學(xué)家劉徽是這樣做的：先把圓分割為許多小扇形，用三角形面積作為小扇形面積的近似值，再把所有小扇形的面積的近似值相加，就得到圓面積的近似值，這個近似值的精確度是與分割有關(guān)的，分割越細(xì)，近似值就越接近于精確值，因此，圓面積的精確值就是近似值當(dāng)分割無限細(xì)密時的極限。以上過程歸結(jié)為四個步驟：分割-近似-求和-取極限。在此基礎(chǔ)上，師生共同分析類比得出曲邊梯形面積的求解步驟。

求解步驟用數(shù)學(xué)語言表述如下：

[分割]在區(qū)間[a，b]中任意插入n-1個分點，

把區(qū)間[[a，b]分成個小區(qū)間

它們的長度依次為

過每個分點作平行于軸的線段，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形。

[近似]在第個小區(qū)間上任取一點，用以為底，為高的小矩形面積近似代替這個小區(qū)間對應(yīng)的曲邊梯形的面積，類似地，其它每個小區(qū)間上對應(yīng)的曲邊梯形的面積都可以用小矩形面積代替。

[求和]把所有小矩形的面積加起來就得到大的曲邊梯形面積的近似值，即：

[取極限]曲邊梯形面積的精確值就是在分割無限細(xì)密條件下近似值的極限，如何用數(shù)學(xué)語言表示分割無限細(xì)密呢？有的同學(xué)說分割無限細(xì)密就是小區(qū)間的個數(shù)無限多，有的同學(xué)說分割無限細(xì)密就是小區(qū)間的長度無限小。到底哪種說法正確呢？這時再請學(xué)生仔細(xì)觀察動畫，并指出分割無限細(xì)密就是每個小區(qū)間的長度無限小，而不是小區(qū)間的個數(shù)無限多。并直觀演示小區(qū)間的個數(shù)無限多與每個小區(qū)間的長度無限小不是等價的。例如固定一個小區(qū)間不動，把無限多個點都放在這個小區(qū)間外，這時就不能保證分割無限細(xì)密。如何表示無限細(xì)分呢？我們可以把每個小區(qū)間的長度計算出來，取其中最大的那個，記為：

則

關(guān)于變速直線運(yùn)動的路程問題，引導(dǎo)學(xué)生類比解決。

四、概括共性，抽象定義

在分析完兩個實例后，設(shè)置問題“如果我們拋開以上問題各自的實際意義，只從數(shù)學(xué)的角度看，這些問題有什么共性？”在學(xué)生回答之后師生共同總結(jié)出這兩個實際問題的如下共性：

（1）解決的方法相同，都是采用極限的思想方法，先化整為零，再積零為整，用極限將近似轉(zhuǎn)化為精確;

（2）處理的步驟是統(tǒng)一的，都是“分割、近似、求和、取極限”四步;

（3）所得結(jié)論的形式是一樣的，都是一個特定結(jié)構(gòu)的“和式極限”。

在自然界具有類似情況的實際問題非常普遍，比如變力作功問題，旋轉(zhuǎn)體的體積，經(jīng)濟(jì)中的累積量等等，它們都可以歸結(jié)為相同結(jié)構(gòu)的和式的極限，由此就可以得到定積分的定義。[3]

定積分是一個十分抽象的概念，應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點：

（1）定積分中的“積”就是無限求和的意思，這個“積”是通過一個和式的極限來實現(xiàn)的。要求學(xué)生用極限思維來理解，明確這類問題的本質(zhì)屬性;

（2）這個和式的極限與區(qū)間的分法及的選取無關(guān);

（3）定積分是一個極限值，只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與變量的選擇無關(guān)，要與不定積分的概念區(qū)分開來。

對定義分析完之后，接下來設(shè)置問題：“定積分在幾何上有什么意義？”有了前面的知識基礎(chǔ)，學(xué)生們很容易回答這個問題。我們從面積問題開始又回到面積問題，緊扣主題，學(xué)生印象深刻。

五、介紹數(shù)學(xué)文化，激發(fā)興趣

微分和積分是互逆運(yùn)算，它們是從兩個幾何問題引出的，即求曲線切線的斜率引出導(dǎo)數(shù)，從求曲邊梯形的面積引出積分。歷史上積分的思想產(chǎn)生要早于微分，我國數(shù)學(xué)家劉徽（公元225年到公元295年），他的割圓術(shù)就包含了“無限細(xì)分，無限求和”的定積分思想，這種思想最早可追溯到古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的計算面積和體積的方法，后來逐步形成求面積、求曲線斜率的重要結(jié)論。但兩者之間是彼此獨立的，17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（1646年-1716年）和英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓（1643年-1727年）才在前人的研究結(jié)果基礎(chǔ)上創(chuàng)立了微積分學(xué)，將兩者聯(lián)系起來，從而使微積分得到了迅猛發(fā)展。

本節(jié)課改革了傳統(tǒng)的教學(xué)方法，采用新的教學(xué)方法和模式，教學(xué)一開始先復(fù)習(xí)極限，然后再創(chuàng)設(shè)問題情境引入新課，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在介紹完曲邊梯形的定義之后，沒有馬上講曲邊梯形面積的計算，而是通過實例加深學(xué)生對曲邊梯形的認(rèn)識，為后面學(xué)習(xí)一般平面圖形面積的計算掃清了障礙。在學(xué)習(xí)兩個引例時，采用直觀式、啟發(fā)式、討論式、類比的教學(xué)方面，化解了難點，收到了良好的教學(xué)效果。最后關(guān)于定積分?jǐn)?shù)學(xué)文化的介紹更激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。[4]

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第2版）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[3]金晶亮，等.高等數(shù)學(xué)課程中定積分概念教學(xué)設(shè)計[J].高等函授學(xué)報，2011，（5）：14-17.

[4]王彥軍.高職學(xué)生定積分概念教學(xué)中的點滴體會[J].甘肅科技，2008，（17）：199-200.