一道高三聯(lián)考題的解法探究及推廣

崔麗影 (江蘇省連云港市外國語學(xué)校 222006)

在高三高考數(shù)學(xué)備考過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過對基本題型的探究透析數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，使學(xué)生完善自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，形成解決某類問題的思路、步驟，即問題解決的程序，提升數(shù)學(xué)思維的靈活性和深刻性，進(jìn)行有效的課堂教學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．本文以一道期中聯(lián)考題為例加以說明．

1 試題呈現(xiàn)

這是2020屆江蘇省連云港市十二所普通高中高三期中聯(lián)考試題的填空壓軸題，考查了解三角形中余弦定理、面積公式、三角函數(shù)關(guān)系，以及函數(shù)最值、平面向量、圓知識的交匯點等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，又考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，突出了能力立意，彰顯了數(shù)學(xué)思想方法．看起來背景熟悉、平淡無奇，實際上內(nèi)涵豐富．該題解題思路較多，從不同的角度去審視它可以得出一系列優(yōu)美解法，為學(xué)生提供了多樣化的選擇，是一道匠心獨運的好題．

2 思路及解法探究

(3)思維障礙：題目條件中沒有給出△ABC的邊長和角度，只是隱含給出腰上中線的長度．不少學(xué)生想到中線長度公式或中線向量形式的表示兩邊平方，從而造成了思維上的定勢，將解題帶到了錯誤方向，導(dǎo)致無功而返．

圖1

思路4 我們知道，一般在解三角形時都有這樣一個常識：遇到中點聯(lián)想中位線．故不妨取AB的中點E，連結(jié)DE，BD，CE,利用四邊形BCDE面積最大值進(jìn)行求解．

圖2

3 問題推廣

3.1 問題一般化

3.2 改變題設(shè)條件

3.3 題設(shè)和結(jié)論都改變

變式1 在△ABC中，三個內(nèi)角分別為A,B,C，AB=3，AC=6,角A的平分線AD的長為2，則∠A的大小為．

4 感悟與反思

在高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)中，解題教學(xué)是主旋律．但教師很容易陷入“就題論題”的教學(xué)誤區(qū)中，僅僅停留在把題目的答案求解出來，以至于課堂變得枯燥無味，缺乏新知的生成，學(xué)生思維能力的靈活性和深刻性很難得以進(jìn)一步提升．通過對該題解法和變式的探究，筆者對“如何在解題教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”有了進(jìn)一步的思考．

首先，關(guān)注解題基本模型，聚焦問題表征．知識表征是一個狀態(tài)量，是靜態(tài)的．學(xué)生的知識表征可以是語言、文字、圖象、公式、概念圖、知識結(jié)構(gòu)圖等．同一知識可以用多種方式來表征，教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇最佳的方式獲取表征知識，幫助學(xué)生更好地探索解決問題的思路，猜想結(jié)果，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．教師在此過程中引導(dǎo)學(xué)生思考解決思路的異同，通過類比歸納尋找解題模型，搭建問題線索，從問題表征的角度去比較問題解決思路的異同，形成解題程序．

其次，抓住通性通法，形成解題程序．通性通法是解決某類問題最合理的想法、最基本的思路、最普遍的操作程序．通過一題多解、多解歸一，讓學(xué)生掌握處理一個基本模型的方法，理解方法背后所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，知道如何應(yīng)用到其他情境中去，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)．變式訓(xùn)練變化的是題目，不變的是通性通法，通過對問題變式的探究和原問題的推廣，幫助學(xué)生掌握一類數(shù)學(xué)問題的解法，從而形成解題模塊．