如何深入研究數(shù)學(xué)題
——以一道考試填空題為例*

李廣修 (江蘇省無錫市第一中學(xué) 214031)

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們時常被告誡不能就題論題，可我們通常仍是難免就題論題．也許是因為教學(xué)任務(wù)繁重，無暇多做研究；也許是因為不知如何進(jìn)一步探索，無力深入研究；也許是因為還沒有認(rèn)識到經(jīng)常深入地研究一些數(shù)學(xué)題會對數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生積極影響．

1 統(tǒng)元識，識“好題”

實際上，抓住一些典型數(shù)學(xué)題，尤其是對一些大型考試中的數(shù)學(xué)題進(jìn)行“解麻雀”，可以促使我們擴(kuò)充個人的數(shù)學(xué)知識邊界，加深個人對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，精進(jìn)數(shù)學(xué)技能，強(qiáng)化應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識，從而達(dá)到“庖丁解?！钡木辰纾齺韺W(xué)生“技蓋至此乎”的感嘆．

之所以選擇大型考試中的題目，是因為一般而言大型考試能夠以課程標(biāo)準(zhǔn)為準(zhǔn)繩，從教材中挖掘試題素材；每道試題都有明確的測量指向，其考查要求具有較好的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，而且由設(shè)置適當(dāng)情境而提出數(shù)學(xué)問題，能夠有效地考查數(shù)學(xué)的必備知識、關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)；每道試題都是經(jīng)過斟酌又斟酌，精挑細(xì)選．特別是大型考試中初識便讓人耳目一新的試題，可把它作為“追獵”的對象．所謂的“好題”，就是能生“金蛋”的題：研究它，能促使我們產(chǎn)生好多新的認(rèn)識，能派生出一些新的問題刺激我們進(jìn)一步研究．

這里以2019-2020年度江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(二)的一道填空題為例，談?wù)勅绾螌σ坏罃?shù)學(xué)題進(jìn)行深入研究.

此題既綜合了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，又綜合了解析幾何、平面幾何、向量、不等式等內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合味道特別明顯．這類問題還是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，是近年高考數(shù)學(xué)中的熱點問題．

2 立深識，識要切

我們?nèi)绻匾韵滤悸纷鞒鲅芯?，便可以讓此題發(fā)揮出小中見大的作用，如此進(jìn)行，也可以舉一反三，觸類旁通．

第一步 研究題目意圖

要深入研究數(shù)學(xué)題，首先就要研究題目的意圖．為此，先通過適當(dāng)?shù)姆绞浇庾x題目的顯性含義，明晰題目的已知條件、求解目標(biāo)以及已知與未知的關(guān)系．就本題而言，要按其敘述一步一步地把圖、式、關(guān)系勾勒出來，從全局的角度去觀察，研判圖形結(jié)構(gòu)、量之間的關(guān)鍵關(guān)系，而不是點、線、三角形、四邊形、圓一個個看過去，變元一個個思量，只進(jìn)行孤立分析．要在看題和思考的過程中，通過想象各種符號、對象、運(yùn)算所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，充分發(fā)揮想象的直觀作用，感知整體，抓住要點與關(guān)鍵，暫不去考慮邏輯細(xì)節(jié)．繼而，要完完全全地把題目解答出來．在明確了解題切入口、路徑后，要制定詳細(xì)的解題方案并一步不落地執(zhí)行，以檢驗解題方案的可行性、優(yōu)劣度．只有通過這樣切實的解題實踐活動，才能清楚地知悉完成題目解答所需的知識、技能、思想方法是哪些，要有怎樣的認(rèn)知過程，也才能真正明白題目的意圖到底是什么，從而有效地選擇破題之策．

圖1

比如，圖形被完整地畫出來后(圖1)，要從整體上看，發(fā)現(xiàn)OMNO1，ON∥O1M，ON是△ABM的中位線，AM=2ON，AO1長度是3．于是點A是圓O：x2+y2=1與O2：(x-a)2+y2=9的公共點．這樣一來，問題就轉(zhuǎn)化為圓和圓有公共點的問題，其解題路徑以向量運(yùn)算或解析幾何為主渠道．至此，這道題的命制意圖就很清楚了：從數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)建了一個關(guān)于兩圓位置關(guān)系的綜合情境，提出了一個數(shù)與形結(jié)合的問題．

第二步 剖析試錯原委

反省解題發(fā)生錯誤的原委，是條件沒用全．可以把這樣的解題錯誤歸因于審題不細(xì)致，要把它作為一條經(jīng)驗教訓(xùn)來吸?。绻覀冊偕钊氲叵胍幌?，會有更多收獲：無論是在解題還是教學(xué)中，我們總是通過圖形的性質(zhì)、通過代數(shù)的整體化來求解直線與圓的位置關(guān)系問題，很少“硬求”兩圓的交點，而這里竟然就這么做了，好像也只有這么做才行的通．因此，本例又可以作為促進(jìn)我們端正對數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識的典型例子，它能讓我們認(rèn)識到解數(shù)學(xué)題既不可完全依賴數(shù)，也不可完全依賴形．這些思考也深刻揭示了剖析試錯原委的重要價值．

第三步 探討轉(zhuǎn)化等價

求證類問題是證明命題的“必要性”，也就是從已知、定義、公式、定理、公理、運(yùn)算律、運(yùn)算法則出發(fā)，邏輯性地推出結(jié)論．而對于求解類問題，不僅要求可以順推，還要求能夠逆推，即求解的結(jié)果要和已知等價，是充要條件．這就要求在解決問題時，每一步操作都能進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．有時解答出錯，原因就出在轉(zhuǎn)化不等價．解題的嚴(yán)密性對數(shù)學(xué)教師來講是基本素養(yǎng)的體現(xiàn)，也是非常重要的要求．

第四步 探索其他解法

不同解法對應(yīng)著對同一問題或知識的不同理解與表征，作為教師，我們多多少少能感受到一題多解對解題及教學(xué)的作用．下面，我們以此題為例探索其他解法．

首先，可以通過題目條件的要素探索解法．很明顯，題目中共線的條件較多，而數(shù)乘向量是解決點共線的銳利武器，不妨沿此方向進(jìn)行探索．

其次，可以通過問題的歸類尋求通性通法．作為一道數(shù)形結(jié)合問題，解析幾何的方法是解決數(shù)形轉(zhuǎn)換的有力工具，順著這條途徑可以獲得如下解法：

除此之外，我們還可以研究本題的各種解法所體現(xiàn)的共同思想、本題和曾經(jīng)解答過的某些題的共性，研究本題解法的可遷移性以及變式等．

3 再認(rèn)識，識升華

由上可知，對具有一定意蘊(yùn)的數(shù)學(xué)題作深入研究，有利于反思所教、溯本求源、回到產(chǎn)生知識的起點，溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，阻斷知識的碎片化，跳出題海，抽象出數(shù)學(xué)模式；有利于進(jìn)一步地掌握數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法，提升理性思維，促進(jìn)思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展；也有利于培養(yǎng)好奇、好問、好思的良好研究習(xí)慣，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力．要做到深入研究，我們就要有自覺意識，有獨立思考意識、批判意識，并為此付出持續(xù)努力．

抓初識是深入研究數(shù)學(xué)題的時機(jī)，抓“好題”則是深入研究數(shù)學(xué)題的選題標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)反映了深入研究的題目應(yīng)是有代表性的思想方法值得學(xué)習(xí)的這一要求．“弱水三千，只取一瓢飲”，單墫博士曾指出[1]：從大洋中舀一瓢水，細(xì)細(xì)品味，就可以知道大洋的成分．當(dāng)然，深入研究數(shù)學(xué)題的哪些方面、研究到什么程度，則應(yīng)量“題”裁衣、量力而行．成熟的、經(jīng)驗豐富的教師對大多數(shù)數(shù)學(xué)題都能“耳熟能詳”，而要深入研究數(shù)學(xué)題，則要注意以理論為指導(dǎo)，還要注意探求已得答案的意義．羅增儒教授曾經(jīng)形象化地指出[2]：解題前的分析如同在黑房間里摸索，而解題后的回顧如同拉開了房間的電燈，后者比前者多了很多信息，其中結(jié)論也是已知信息．