遵循數(shù)學(xué)抽象規(guī)律 提高法則教學(xué)效率
——以去括號(hào)法則為例*

韓詩(shī)貴 (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 214177)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的整個(gè)過(guò)程[1]．大到一個(gè)數(shù)學(xué)體系的公理化、解決實(shí)際問(wèn)題的模型化，小到一個(gè)概念的定義、一個(gè)證明的方法，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)抽象．從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程就是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程．史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念或命題的抽象過(guò)程大體可以分為三個(gè)階段，或者說(shuō)三個(gè)層次：第一是簡(jiǎn)約化階段，把握事物關(guān)于數(shù)量或者圖形的本質(zhì)，把繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，給予清晰表達(dá)；第二是符號(hào)階段，去掉具體內(nèi)容，利用符號(hào)和關(guān)系術(shù)語(yǔ)，表述已經(jīng)簡(jiǎn)約化的事物；第三是普適化階段，通過(guò)假設(shè)和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律[2]．

日常教學(xué)中，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念與法則的形成都伴隨著數(shù)學(xué)抽象，常常會(huì)經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的不同形式和不同階段．根據(jù)抽象規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)流程，組織活動(dòng)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、使核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落地的需要．本文以蘇科版教材七年級(jí)(上)第3章第5節(jié)“去括號(hào)”為例，結(jié)合D市青年教師評(píng)課時(shí)執(zhí)教這節(jié)課的不同教學(xué)過(guò)程，談?wù)勅ダㄌ?hào)法則中的數(shù)學(xué)抽象及相應(yīng)的教學(xué)建議．不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正．

1 從數(shù)學(xué)抽象的視角分析去括號(hào)法則

1.1 抽象的簡(jiǎn)約階段

抽象的簡(jiǎn)約階段，是用數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言清晰表達(dá)的階段．通常要經(jīng)歷對(duì)同一類事物的觀察、分析、比較等過(guò)程，從中抽取關(guān)于數(shù)量、空間形式或結(jié)構(gòu)關(guān)系方面的共同屬性，舍棄非本質(zhì)屬性，最后用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言進(jìn)行闡述，從而形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念或結(jié)論．譬如，去括號(hào)法則的教學(xué)，常常經(jīng)歷具體數(shù)的運(yùn)算過(guò)程，計(jì)算：(1)5+(2-1)，5+2-1；(2)-6+(-4+3)，-6-4+3；(3)-9.5-(-5-7)，-9.5+5+7…，進(jìn)而得到等式(1)5+(2-1)=5+2-1；(2)-6+(-4+3)=-6-4+3；(3)-9.5-(-5-7)=-9.5+5+7…在此基礎(chǔ)上，學(xué)生觀察各組等式兩邊符號(hào)的變化情況，并用語(yǔ)言概括發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．在分析與比較上述等式的過(guò)程中，抽取從左到右符號(hào)的變化規(guī)律，即括號(hào)前是“+”，去括號(hào)之后，括號(hào)內(nèi)的各數(shù)的符號(hào)不變，而括號(hào)前是“-”時(shí)，去括號(hào)之后，括號(hào)內(nèi)各數(shù)的符號(hào)改變．這是簡(jiǎn)約化過(guò)程，或者說(shuō)是抽象概括的過(guò)程，也是從感性的具體到理性的抽象、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的過(guò)程．通過(guò)觀察、分析、比較不同的數(shù)與式及其恒等變形，根據(jù)它們反映的共同規(guī)律，進(jìn)行簡(jiǎn)約化處理.像這樣的現(xiàn)象在初中代數(shù)教學(xué)中隨處可見(jiàn)，尤其是法則與公式的教學(xué)，常常是不能省略的過(guò)程．

1.2 抽象的符號(hào)階段

抽象的符號(hào)階段，是用字母或數(shù)學(xué)符號(hào)表示結(jié)論的階段．我們知道，數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)晶，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．符號(hào)作為一種特殊的語(yǔ)言，有其自身的獨(dú)特之處，譬如，精確、簡(jiǎn)約、形式化等，它便于邏輯論證和交流，提高了思維的效率，具有其他形式不可替代的優(yōu)越性．去括號(hào)法則在經(jīng)歷簡(jiǎn)約化之后，用含有字母的式子表示概括的結(jié)果，這一過(guò)程即為抽象的符號(hào)階段．如，用字母符號(hào)表示法則的一般性結(jié)論．即(1)a+(-b+c)=a-b+c；(2)a-(-b+c)=a+b-c．這里的“a”“b”“c”，從形式上看，就是一個(gè)字母，但在這里的真實(shí)含義可以表示一個(gè)具體的數(shù)，也可以表示單獨(dú)一個(gè)字母或其他整式，甚至可以是復(fù)雜的代數(shù)式．但是單從符號(hào)的形式上看不到它的真實(shí)含義，這一點(diǎn)也正說(shuō)明了符號(hào)的抽象性．在數(shù)學(xué)概念與命題的教學(xué)中，抽象的符號(hào)化是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然過(guò)程，也常常是教與學(xué)必不可少的過(guò)程．

1.3 抽象的普適階段

抽象的普適階段，是指數(shù)學(xué)命題經(jīng)歷應(yīng)用、推理等過(guò)程，明晰抽象的結(jié)論所適用的范圍．譬如，在去括號(hào)法則形成之后，為了幫助學(xué)生理解法則的適用范圍和適用的模式，常常會(huì)安排適量的、有針對(duì)性的練習(xí)，這是抽象普適化的一個(gè)過(guò)程，也是促進(jìn)學(xué)生理解法則的過(guò)程，不僅要理解法則中符號(hào)的變化規(guī)律，還要理解法則中“a”“b”“c”的具體意義．xy-(2x2-3)=xy-2x2+3，在這里“a”“b”“c”表示的是一個(gè)式子，或一個(gè)數(shù)，而在 2b-[ab-(3ab-2a)]-7a中，如果先去中括號(hào)，那么“a”“b”“c”還可能表示一個(gè)多項(xiàng)式．去括號(hào)法則的練習(xí)與應(yīng)用是根據(jù)法則進(jìn)行演繹推理的過(guò)程，是學(xué)生理解與掌握法則的過(guò)程，也是學(xué)生接受抽象的普適化過(guò)程．

通常情況下，去括號(hào)法則的教學(xué)應(yīng)該經(jīng)歷上述三個(gè)抽象階段，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，也符合認(rèn)知規(guī)律．但是因?yàn)槿ダㄌ?hào)這一知識(shí)點(diǎn)安排在“代數(shù)式”這一章，去括號(hào)之前剛剛學(xué)習(xí)了代數(shù)式、代數(shù)式的值、合并同類項(xiàng)等知識(shí)，所以蘇科版教材先通過(guò)賦予字母具體的數(shù)字，求代數(shù)式的值，然后在比較不同代數(shù)式值的結(jié)果中歸納去括號(hào)法則，這是整體編排的需要，同時(shí)也彰顯了知識(shí)的發(fā)展規(guī)律：因?yàn)楹喜⑼愴?xiàng)的需要，所以才研究去括號(hào)，有了去括號(hào)法則，才能簡(jiǎn)化代數(shù)式．教材在法則簡(jiǎn)約化的過(guò)程中也融合了法則符號(hào)化的部分過(guò)程．實(shí)際上，學(xué)生第一次見(jiàn)到“a+(-b+c)”“a-b+c”“a-(-b+c)”“a+b-c”等式子與經(jīng)歷簡(jiǎn)約化后的認(rèn)識(shí)是完全不一樣的，第一次見(jiàn)到的式子僅僅是一個(gè)代數(shù)式而已，而經(jīng)歷簡(jiǎn)約化之后，“a+(-b+c)=a-b+c”“a-(-b+c)=a+b-c”才是一個(gè)抽象的結(jié)論和抽象的法則．

2 從數(shù)學(xué)抽象的視角審視不同的教學(xué)流程及其建議

在D市青年教師執(zhí)教“去括號(hào)法則”的評(píng)課活動(dòng)中，所有教師均創(chuàng)設(shè)了實(shí)際問(wèn)題的情境，列出 含有括號(hào)的代數(shù)式，進(jìn)而提出研究去括號(hào)的必要性．在探究法則的過(guò)程中，多數(shù)教師的流程大致如下：

第一步，字母取不同的數(shù)求代數(shù)式的值，得到表1或與表1類似的數(shù)據(jù)(學(xué)生自主獲得或教師直接提供)；

表1

第二步，問(wèn)題1：你發(fā)現(xiàn)了什么？

第三步，問(wèn)題2：你能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解釋這個(gè)法則的合理性嗎？

第四步，用文字語(yǔ)言概括結(jié)論；

第五步，運(yùn)用去括號(hào)法則進(jìn)行整式運(yùn)算，即去括號(hào)法則的應(yīng)用．

這樣的處理基本是按照教材的順序，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也遵循了數(shù)學(xué)抽象的層次性．不同教師課堂教學(xué)的差異體現(xiàn)在細(xì)節(jié)的處理上.當(dāng)然，細(xì)節(jié)的處理影響了教學(xué)的效果，也反映了教師的教學(xué)理念與教學(xué)基本功．

在所有教師的教學(xué)中，去括號(hào)法則的探索只有教師M與其他教師不同．在他的教學(xué)中，跳過(guò)了通過(guò)數(shù)字的計(jì)算發(fā)現(xiàn)結(jié)論的環(huán)節(jié)，直接通過(guò)演繹推理證明去括號(hào)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式子．如，a+ (-b+c)=a+(+1)(-b+c)=a+(+1)(-b)+(+1)(+c)=a-b+c①，以及a-(-b+c)=a+(-1)(-b+c)=a+(-1)(-b)+(-1)(+c)=a+b-c．依據(jù)乘法分配律進(jìn)行形式化的推理，得到“a+(-b+c)=a-b+c”和“a-(-b+c)=a+b-c”．因?yàn)樘^(guò)了具體數(shù)字的計(jì)算與體驗(yàn)，縮短了法則的發(fā)現(xiàn)與探究的過(guò)程，所以課堂上學(xué)生有更多時(shí)間用于去括號(hào)的練習(xí)．

關(guān)于教師M對(duì)這一環(huán)節(jié)的處理，筆者以為值得商榷．首先，運(yùn)用乘法分配律能推導(dǎo)式子①嗎？為什么不是a+(-b+c)=a+(+1)(-b+c)=a+[(+1)(-b)+(+1)(+c)]=a+(-b+c) ②，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度審視，等式②的過(guò)程是否更合理一些呢？利用分配律可得，a-(-b+ c)=a+(-1)(-b+c)=a+[(-1)(-b)+ (-1)c]=a+(b-c) ③，這樣的變形可以接受．也就是說(shuō)，如果等式①成立，那么能夠得到a-(-b+c)=a+(b-c)=a+b-c．可見(jiàn)，用乘法分配律證明去括號(hào)的兩個(gè)結(jié)論的邏輯起點(diǎn)是+(-b+c)= -b+c ④．問(wèn)題在于如何讓學(xué)生理解這個(gè)邏輯起點(diǎn)？若等式④成立是否就說(shuō)明了去括號(hào)法則的正確性呢？有數(shù)學(xué)家曾說(shuō)過(guò)：不要試圖去證明符號(hào)法則的邏輯必要性，更不要把不可能的證明講得似乎成立．歷史上大多數(shù)學(xué)家遇到的困難，恰恰正是今天學(xué)生會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙，試圖利用邏輯演繹的冗長(zhǎng)語(yǔ)言來(lái)消除這些困難是不可能成功的．其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)的數(shù)與代數(shù)部分，像這樣的情況還有很多，如數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律、因式分解，等等，其實(shí)只要舉例說(shuō)明、學(xué)生能夠接受就行，無(wú)需從邏輯上進(jìn)行嚴(yán)格的證明．其次，剛升入七年級(jí)的學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)還停留在感性的、具體的階段，初次認(rèn)識(shí)用字母表示具體的數(shù)，關(guān)于字母的形式化的抽象思維尚未形成，此時(shí)，形式化的推理對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生而言是有障礙的.跳過(guò)數(shù)字計(jì)算發(fā)現(xiàn)結(jié)論的階段，使學(xué)生對(duì)去括號(hào)法則的理解失去了感性的基礎(chǔ)和抽象的過(guò)程，也就失去了熟悉法則和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的機(jī)會(huì)，必然會(huì)增加學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，而彌補(bǔ)這一缺陷，許多教師的策略只有大量練習(xí)、重復(fù)練習(xí)．

從數(shù)學(xué)抽象的視角看，理解數(shù)學(xué)需要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)形成中的數(shù)學(xué)抽象的層次與過(guò)程，理解學(xué)生需要了解不同年齡階段的學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，而理解教學(xué)需要遵循數(shù)學(xué)抽象的規(guī)律，設(shè)計(jì)符合學(xué)生抽象能力的教學(xué)活動(dòng)．厘清數(shù)學(xué)命題的不同抽象階段與抽象過(guò)程，才能有的放矢，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力才能從不自覺(jué)走向自覺(jué)．這是提高教學(xué)效率的需要，更是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的需要．