考慮橡膠質(zhì)量的兩級(jí)局域共振子梁的振動(dòng)研究

同志學(xué)，齊小軍，李麗霞

（西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 引言

聲子晶體的出現(xiàn)為梁的振動(dòng)控制提供了新的思路。聲子晶體是一種具有帶隙特性的彈性常數(shù)及密度周期分布的材料或結(jié)構(gòu)。在帶隙頻率范圍內(nèi)，彈性波的傳播被抑制，這種特性使得在帶隙頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)被削弱，為振動(dòng)控制領(lǐng)域提供了新的想法。聲子晶體產(chǎn)生帶隙的機(jī)理有兩種：布拉格散射機(jī)理[1-3]和局域共振機(jī)理[4-7]。其中，布拉格散射型聲子晶體的帶隙頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)與晶格常數(shù)處于同一數(shù)量級(jí)，其一般需要較大的晶格常數(shù)才能獲得低頻帶隙，實(shí)現(xiàn)在低頻范圍的減振。2000 年，局域共振型聲子晶體首次被提出[7]，其實(shí)現(xiàn)了“小尺寸控制大波長(zhǎng)”，可以在較小的晶格常數(shù)下獲得低頻振動(dòng)帶隙，突破了布拉格散射機(jī)理的限制。局域共振型聲子晶體為低頻振動(dòng)控制開拓了新局面。

目前，一些學(xué)者將聲子晶體的局域共振思想引入到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，提出在梁、桿或軸上周期性地附加單級(jí)局域共振子結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了局域共振結(jié)構(gòu)可以獲得低頻范圍內(nèi)的振動(dòng)帶隙，實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)控制[8-10]。然而，這些研究全部專注于單個(gè)帶隙，這對(duì)于在實(shí)際工程中多個(gè)頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)控制具有局限性。近年來(lái)，多局域共振子的結(jié)構(gòu)被提出，發(fā)現(xiàn)其具有比單級(jí)局域共振子結(jié)構(gòu)更低的帶隙起始頻率和更寬更豐富的第二振動(dòng)帶隙[11]。但是，其在附加較大質(zhì)量的多局域共振子時(shí)獲得的第一振動(dòng)帶隙仍然較窄，第一和第二帶隙覆蓋的頻率范圍較小。

傳遞矩陣法被廣泛應(yīng)用于一維局域共振型聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算之中[12]。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者引入類似彈簧振子結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化原理模型研究了局域共振子結(jié)構(gòu)的帶隙特性[11]。但是，在利用傳遞矩陣法時(shí)將局域共振子中的橡膠簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的彈簧，忽略了橡膠質(zhì)量的影響，這使得獲得的帶隙結(jié)果與有限元法的計(jì)算的傳輸特性曲線結(jié)果出現(xiàn)了偏差。

首先給出一種兩級(jí)局域共振子歐拉梁，考慮局域共振子中橡膠的質(zhì)量，采用傳遞矩陣法研究了該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙特性。進(jìn)一步分析該算法的收斂性。采用有限元法計(jì)算了有限周期結(jié)構(gòu)的傳輸特性曲線。最后分析了材料密度對(duì)振動(dòng)帶隙的影響。

2 考慮離散彈簧質(zhì)量的傳遞矩陣法

考慮橡膠質(zhì)量的兩級(jí)局域共振子歐拉梁的簡(jiǎn)化原理模型，如圖1 所示。其將每一級(jí)由一個(gè)橡膠和散射體組成的局域共振子按原理簡(jiǎn)化為一個(gè)帶質(zhì)量的彈簧和集中質(zhì)量塊。圖1 所示第一級(jí)橡膠的質(zhì)量為MS1，徑向剛度為K1。第二級(jí)橡膠的質(zhì)量為MS2，徑向剛度為K2；第一級(jí)和第二級(jí)散射體的質(zhì)量分別為M1、M2。該歐拉梁的晶格常數(shù)為a。

圖1 考慮橡膠質(zhì)量的兩級(jí)局域共振子歐拉梁的簡(jiǎn)化原理模型Fig.1 Simplified Principle Model of Two-Stage Local Resonators Euler Beam Considering Rubber Mass

假設(shè)軸線只有y 方向的橫向位移y（x，t），則歐拉梁的橫向位移y（x，t）滿足下列彎曲振動(dòng)方程[8]：

式中：ρ，E—密度和彈性模量；A—梁的截面積；I—截面二次矩，梁的橫向位移為y（x,t），設(shè)橫向位移y（x,t）=X（x）exp（iωt），其中X（x）為振幅，ω 為角頻率。對(duì)于第n 段梁，彎曲振動(dòng)解可寫為如下形式[8]：

在宮廷文化中，獅子則代表著至高無(wú)上的帝王威儀，立于宮殿朝堂之前，見證著赫赫皇權(quán)。在民間習(xí)俗中，獅子同樣是吉祥的象征，是能辟邪的瑞獸，有驅(qū)邪、保平安的作用。因此在民間可以常?？吹綒馀傻母箝T前左右分別立有一獅子，銅門環(huán)上釘有獅面圖案。南北方的重要節(jié)假日都有舞獅的民俗活動(dòng)，還有眾多各異的獅王廟，皆可以看出獅子在傳統(tǒng)文化中有著舉足輕重的地位。

該結(jié)構(gòu)的考慮離散彈簧質(zhì)量的傳遞矩陣法的簡(jiǎn)化原理模型，如圖2 所示。根據(jù)連續(xù)質(zhì)量離散化分布的思想，將第一級(jí)和第二級(jí)橡膠分別均勻地離散為N1個(gè)相同的和N2個(gè)相同的彈簧振子串聯(lián)系統(tǒng)。其中，第一級(jí)和第二級(jí)橡膠的質(zhì)量分別離散為N1個(gè)相同質(zhì)量的振子和N2個(gè)相同質(zhì)量的振子；第一級(jí)和第二級(jí)橡膠的徑向剛度分別等效為N1個(gè)串聯(lián)彈簧和N2個(gè)串聯(lián)彈簧的等效剛度；第一級(jí)橡膠的第N1個(gè)和第二級(jí)橡膠的第N2個(gè)振子質(zhì)量分別附加到第一級(jí)和第二級(jí)散射體質(zhì)量上。因此，兩級(jí)局域共振子結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化原理模型可以被看作N（N=N1+N2）個(gè)彈簧振子的串聯(lián)系統(tǒng)。

圖2 兩級(jí)局域共振子歐拉梁的考慮離散彈簧質(zhì)量的傳遞矩陣法的簡(jiǎn)化原理模型Fig.2 Simplified Principle Model for Transfer Matrix Method of Two-Stage Local Resonators Euler Beam Considering Discrete Spring Mass

則第i（i=1，2，…，N）個(gè)彈簧振子的彈簧剛度ki為：

第i 個(gè)彈簧振子的質(zhì)量mi為：

在第n 個(gè)原胞的局域共振子中第i 個(gè)彈簧振子的縱向位移為Zni（t）=Vniexp（iωt），其中，Vn是振幅。第一個(gè)、第i（i=2，3，…，N-1）個(gè)和第N 個(gè)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程分別為：

由第（n-1）個(gè)原胞和第n 個(gè)原胞之間的位移、傾角、彎矩及剪切力連續(xù)得到：

因此，式（8）～式（11）寫成如下的矩陣形式：

由于梁是無(wú)限周期，所以矢量φn必須滿足Bloch 定理：

式中：q—波矢。

這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為特征值矩陣方程：

其中，T=K-1H，I 為4×4 的單位矩陣。通過(guò)求解矩陣的特征值，即可求得色散關(guān)系曲線。對(duì)于給定的ω 值，方程（14）得出相應(yīng)的q 值。如果q 值有虛部，則相對(duì)應(yīng)的波傳播不能通過(guò)梁。q 的虛部表示帶隙內(nèi)波的衰減特性。

3 數(shù)值計(jì)算與討論

兩級(jí)局域共振子歐拉梁的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖3 所示。兩級(jí)局域共振子由橡膠環(huán)和環(huán)狀散射體交替組成，每級(jí)局域共振子包括一個(gè)橡膠環(huán)和一個(gè)包覆在橡膠環(huán)外的環(huán)狀散射體。梁的內(nèi)徑為r0=0.007m，外徑為r1=0.01m。兩級(jí)局域共振結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：r2=0.015m，r3=0.0195m，r4=0.0245m，r5=0.029m。梁的材料為鋁，兩級(jí)散射體的材料都為銅，具體的材料參數(shù)，如表1 所示。周期結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)為a=0.05m。所有環(huán)的長(zhǎng)度為l=0.01m。

圖3 兩級(jí)局域共振子歐拉梁的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure Diagram of Two-Stage Local Resonators Euler Beam

對(duì)于第一級(jí)橡膠環(huán)的徑向剛度為[13]：

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material Parameters

3.1 算法收斂性

第一帶隙和第二帶隙的起止頻率隨彈簧振子數(shù)N 的變化規(guī)律，如圖4 所示。其中，將第一級(jí)橡膠和第二級(jí)橡膠等效為相同個(gè)數(shù)的彈簧振子（即N1=N2）的串聯(lián)系統(tǒng)計(jì)算。由圖可知，第一帶隙的起止頻率范圍隨著彈簧振子數(shù)N 的增加逐漸降低，當(dāng)N=6（N1=N2=3）時(shí)已經(jīng)基本趨于穩(wěn)定；第二帶隙的起止頻率隨著彈簧振子數(shù)N 增加到10（N1=N2=5）時(shí)基本保持不變。因此，該算法具有較好的收斂性。

圖4 帶隙的起止頻率隨彈簧振子數(shù)N 的變化Fig.4 The Changes of Start-Stop Frequency of Band Gaps with the Number of Spring-Mass N

3.2 振動(dòng)特性計(jì)算

采用考慮離散彈簧質(zhì)量的傳遞矩陣法，將第一級(jí)和第二級(jí)橡膠分別等效為5 個(gè)相同的彈簧振子串聯(lián)系統(tǒng)，即將兩級(jí)局域共振子結(jié)構(gòu)等效為N=10 個(gè)彈簧振子串聯(lián)系統(tǒng)，根據(jù)式（14）可以計(jì)算出兩級(jí)局域共振子歐拉梁的能帶結(jié)構(gòu)，如圖5 所示。圖5 中所示的實(shí)線為考慮離散彈簧質(zhì)量的傳遞矩陣法的計(jì)算結(jié)果，其第一帶隙頻率范圍為（163～390）Hz，第二帶隙頻率范圍為（570～632）Hz；其中所示的虛線為傳統(tǒng)傳遞矩陣法的計(jì)算結(jié)果，其帶隙范圍為（178～401）Hz 和（590～647）Hz。為了驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性，下面計(jì)算兩級(jí)局域共振子結(jié)構(gòu)的傳輸特性曲線。

圖5 采用不同算法計(jì)算的兩級(jí)局域共振子歐拉梁的能帶結(jié)構(gòu)Fig.5 Complex Band Structure of the Two-Stage Local Resonators Euler Beam Calculated by Different Methods

首先在patran 中建立8 個(gè)兩級(jí)局域共振子周期結(jié)構(gòu)，在該結(jié)構(gòu)的一端施加垂直于軸向的徑向加速度激勵(lì)，使得彎曲振動(dòng)沿著結(jié)構(gòu)的周期方向傳播，在另一端拾取加速度響應(yīng)，輸出響應(yīng)和輸入響應(yīng)的頻譜相比，即可得到傳輸特性曲線，如圖6 所示?？梢钥吹?，其獲得的帶隙頻率范圍為（166～390）Hz，（563～621）Hz。傳輸特性曲線具有平均約20dB 的振動(dòng)衰減量。

圖6 兩級(jí)局域共振子歐拉梁的傳輸特性曲線Fig.6 Transmission Characteristic Curve of Two-Stage Local Resonators Euler Beam

將傳統(tǒng)傳遞矩陣法和考慮離散彈簧質(zhì)量的傳遞矩陣法的計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果相比發(fā)現(xiàn)，考慮離散彈簧質(zhì)量的傳遞矩陣法比傳統(tǒng)傳遞矩陣法更好地吻合有限元的結(jié)果。但是在頻率較高的第二帶隙起止頻率處，提出算法與有限元法的結(jié)果之間存在一定的偏差，這主要是由于提出算法基于連續(xù)質(zhì)量離散化的思想在高頻處與有限元思想存在差異造成的。

為了分析附加相同質(zhì)量時(shí)，單級(jí)局域共振子結(jié)構(gòu)和兩級(jí)局域共振子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙特性，選擇單級(jí)局域共振子的結(jié)構(gòu)參數(shù)為r0=0.007m，r1=0.01m，r2=0.015m，r3=0.0256m，梁的參數(shù)設(shè)置與前文保持一致，單級(jí)局域共振子的材料也選擇銅。獲得的能帶結(jié)構(gòu)，如圖7 所示。其中虛線代表相同附加質(zhì)量的單級(jí)結(jié)構(gòu)的帶隙，頻率范圍為：（185～475）Hz，帶寬為290Hz；實(shí)線代表上文所述的兩級(jí)結(jié)構(gòu)的帶隙，其第一和第二帶隙的總帶寬為285Hz。由此可知，附加相同的質(zhì)量時(shí)，兩級(jí)結(jié)構(gòu)具有比單級(jí)結(jié)構(gòu)更低的帶隙起始頻率和覆蓋頻率范圍更高的第二帶隙，且總帶寬基本相同。

圖7 附加相同質(zhì)量時(shí)單級(jí)結(jié)構(gòu)和兩級(jí)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙特性Fig.7 Vibration Band Gap Characteristics of One-Stage Structure and Two-Stage Structure with the Same Mass Added

4 材料密度對(duì)帶隙特性的影響

梁和散射體的密度對(duì)帶隙的影響，如圖8～圖10 所示。由圖8 可知，第一和第二帶隙的截止頻率受梁的密度的影響比較大。隨著梁的密度逐漸升高，帶隙的截止頻率迅速降低，而起始頻率基本保持不變。這是因?yàn)槠鹗碱l率主要由兩級(jí)局域共振子的諧振頻率決定，與梁的密度無(wú)關(guān)。每一級(jí)散射體的密度對(duì)帶隙都有著一定的影響，如圖9～圖10 所示。隨著散射體密度的升高，散射體的質(zhì)量增大，導(dǎo)致散射體諧振頻率降低，因此帶隙頻率隨著下降。此外，由圖9 還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)著重關(guān)注于低頻第一帶隙時(shí)，隨著第一級(jí)散射體密度的減小，第一帶隙的起止頻率基本保持不變，這樣第一級(jí)散射體可以采用更小密度的材料來(lái)減小附加的局域共振子質(zhì)量。

圖8 梁的材料密度對(duì)帶隙特性的影響Fig.8 Effect of Material Density of Beam on Band Gap Characteristics

圖9 散射體的材料密度對(duì)第一帶隙的影響Fig.9 The Effect of the Material Density of the Scattering on the First Band Gap

圖10 散射體的材料密度對(duì)第二帶隙的影響Fig.10 The Effect of the Material Density of the Scattering on the Second Band Gap

5 結(jié)論

（1）考慮局域共振子中的橡膠質(zhì)量，采用考慮離散彈簧質(zhì)量的傳遞矩陣法比傳統(tǒng)傳遞矩陣法更好地與有限元法的結(jié)果相吻合，且具有較好的收斂性。

（2）在附加相同的質(zhì)量時(shí)，兩級(jí)結(jié)構(gòu)在（0～800）Hz 頻率范圍內(nèi)比單級(jí)結(jié)構(gòu)具有更低的帶隙起始頻率和更高頻率覆蓋范圍的第二帶隙，且第一、第二帶隙的總帶寬與單級(jí)結(jié)構(gòu)的基本相同。可以通過(guò)設(shè)計(jì)兩級(jí)局域共振結(jié)構(gòu)獲得更低的帶隙起始頻率和更高的頻率覆蓋范圍，控制帶隙頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)。

（3）隨著第一級(jí)散射體密度的降低，第一帶隙的起止頻率基本保持不變。因此，著重聚焦于低頻第一帶隙時(shí)，可以通過(guò)選擇密度較小的第一級(jí)散射體材料減少附加的局域共振子質(zhì)量。