一道含有積分上限函數(shù)的不等式證明方法探討

景慧麗,王兆強(qiáng)

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

引言

不等式的證明是高等數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)分析課程的重要組成部分.不等式的證明沒有固定模式，證明方法因題而異，靈活多變[1].另外，積分上限函數(shù)[2]是學(xué)員進(jìn)入大學(xué)階段學(xué)習(xí)接觸到的一個(gè)新的函數(shù)類型，大部分學(xué)員遇到有關(guān)積分上限函數(shù)的題目就無從下手，沒有思路.本文就某高校期末考試題中的一道含有積分上限函數(shù)的不等式的證明問題進(jìn)行探討，提出四種證明方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維.

1 利用函數(shù)的單調(diào)性證明

則F′(x)=4x3-f(x4)·4x3=4x3[1-f(x4)]

由題意可知f(x4)<1，所以1-f(x4)>0.因此，當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，所以F(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增，故對(duì)?x(0，+∞)，都有F(x)>F(0)；當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，所以F(x)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減，故對(duì)?x(-∞,0)，都有F(x)>F(0).

2 利用函數(shù)的極值和最值證明

注3 利用函數(shù)的極值和最值證明不等式的一般步驟是：首先構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)，這里輔助函數(shù)的構(gòu)造方法與利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一樣；然后求出F(x)的駐點(diǎn)，即令F′(x)=0，解該方程即可；最后求出函數(shù)F(x)在給定區(qū)間上的最值，即可證得不等式[6].

注4 第二種證法盡管是利用函數(shù)的極小值和最小值來證明的，但其實(shí)質(zhì)還是利用了函數(shù)的單調(diào)性.

3 利用定積分中值定理證明

因?yàn)楹瘮?shù)f(t)在閉區(qū)間[0,x4]上連續(xù)，所以由定積分中值定理知：至少存在一點(diǎn)使ζ[0,x4]使得

4 利用定積分的性質(zhì)證明

5 結(jié)語

以上就是該不等式的四種證明方法，比較這四種方法，最巧妙的是第三種證法，但學(xué)員用得最多的是第一種證法.由上述證明方法可以看出，一道題目往往可以用不同的方法、思路去求解，其知識(shí)點(diǎn)之間表面上看是相互獨(dú)立的，實(shí)際上它們之間是具有一定聯(lián)系的.另外，高等數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)分析課程中很多題目都可以用多種思路和方法來求解，如極限的計(jì)算、不定積分和定積分的計(jì)算、隱函數(shù)求導(dǎo)等等.在教學(xué)過程中，教員應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，合理設(shè)計(jì)一些一題多解的題目，鼓勵(lì)學(xué)員積極參與到教學(xué)活動(dòng)中，鼓勵(lì)學(xué)員敢于標(biāo)新立異、勇于提出問題、開展交流和討論，這樣才有利于學(xué)員突破思維的局限性，培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維[1].