n×n對稱矩陣空間的對稱基及其基秩不等式

馮妍妍，陳梅香，楊忠鵬，林志興

(1.莆田學院數(shù)學與金融學院，福建 莆田 351100；2.福建師范大學數(shù)學與信息學院，福建 福州 350007)

1 基本命題

(1)

則S0是按字典序排列的Sn×n(P)的對稱基且dimSn×n(P)=n2.

命題1和式(1)給出的Sn×n(P)的對稱基S0是眾所周知的．根據(jù)我們查閱文獻還沒有發(fā)現(xiàn)其他形式的對稱基(見文獻[8]習題1303，[9]習題3.3.5，[10]例3.29，[11]問題集2.3.37，[12]例754，[13]6.8.2節(jié)，[14]例6.21等)．按文獻[15]0.10節(jié)，[16]251頁約定有形式矩陣

(2)

由式(1)、(2)可得

引理1設S0是由式(1)所確定的Sn×n(P)的對稱基，則

A=(aij)=(S0)(a11，a12，…，a1n，a22，a23，…，a2n，…，an-1，n-1，an-1，n，ann)T∈Sn×n(P)，

(3)

(4)

(5)

命題2(見文獻[17]命題1) 設為實數(shù)域，()1≤i≤j≤n}由式(5)所確定，則S1是由對稱正定矩陣構成的Sn×n(P)的基(以下稱之為對稱正定基).

命題2大大地開闊了Sn×n(P)的基的多樣性的視野.

例1說明每個實對稱矩陣在對稱正定基S1下的坐標是文獻[17]沒有解決好的問題.

為了區(qū)別Pn×n中不同基，文獻[7]給出：

(6)

由命題1和2知Sn×n(P)上的對稱基是不唯一的，這樣類似于命題3，可有

命題4設S={Sij∈Sn×n()1≤i≤j≤n}是Sn×n()的任意對稱基，則

(7)

證明：由dimSn×n()及式(5)中每個都是對稱正定的，即知由式(1)知，S0中每個所以

即知式(7)成立．證畢.

與命題3及其基秩不等式(6)對照，自然產(chǎn)生一個疑問，對Sn×n()的對稱基的基秩不等式(7)來說，n2是不是可達的最大下界？

本文首先指出，對Sn×n(P)的對稱基的基秩不等式(7)來說，n2不是可達的最大下界．我們在首次給出Sn×n(P)的最小基秩的對稱基的基礎上，給出其基秩不等式，并證明了基秩不等式的最大下界和最小上界都是可達的；然后得到了每個對稱矩陣在最小基秩、最大基秩的對稱基下的線性組合的顯示表達式．作為應用可修正例1的表出.

2 主要結果

(8)

(9)

從式(8)知式(9)等價于

(10)

由式(10)可知

(y11+y12+y13+…+y1n)E11+(y22+y12+y23+…+y2n)E22+

(y33+y13+y23+y34+…+y3n)E33+…+

(ykk+y1k+y2k+…+yk-1，k+yk，k+1+…+yk，n)Ekk+…+

這樣由式(1)、(10)知式(9)等價于

(11)

從命題1和式(11)知

(12)

yij=0， 1≤i

(13)

應用式(13)并從式(12)可得y11=y22=…=ynn=0.

定理2設A=(aij)∈Sn×n(P)，由式(2)設

A=(S2)(z11，z12，…，z1n，z22，z23，…，z2n，…，zn-1，n-1，zn-1，n，znn)T，

(14)

則

(15)

證明：從式(1)、(8)知

(16)

由定理1和式(14)有

(17)

從式(3)、(4)、(16)和(17)，并注意到aij=aji，則對1≤i≤j≤n，有

即

(18)

從基的線性表出的唯一性，由式(17)、(18)就可得式(15)．證畢.

從式(1)、(4)知Sn×n(P)中每個對稱矩陣可表示為秩為1和秩為2的對稱矩陣的和.

命題5(見文獻[18]補充題7.3，[19]習題8.17，[20]習題8.3.5) 設A∈Sn×n(P)且r(A)=r，則A可表示為r個秩為1的對稱矩陣的和.

當然用式(1)確定的對稱基是達不到將命題5中的A表示為秩為1的對稱矩陣的和的目的的．相對命題5，應用定理2可得

定理3設S為Sn×n(P)的對稱基，對稱基S0、S1、S2分別由式(1)、(5)、(8)所確定，則

(19)

由定理3及其證明知Sn×n(P)的對稱基的基秩不等式與命題3有相似的性質，即Sn×n(P)的對稱基的基秩不等式的最大下界、最小上界都是可達的，且所熟知的Sn×n(P)的對稱基S0并不是基秩最小的對稱基.

定理4設Sn×n(P)的對稱基S1如式(5)，A=(aij)∈Sn×n(P)，且令

A=(S1)(z11，z12，…，z1n，z22，z23，…，z2n，…，zn-1，n-1，zn-1，n，znn)T，

(20)

則

(21)

證明：由式(5)知Sn×n(P)的對稱基S1中

即

(22)

從式(22)可得

(23)

(24)

從式(4)、(24)得

即

(25)

由式(20)、(25)就可得式(21)．證畢.

從式(20)并令n=3可修正文獻[17，例1]得到A=S12+S13+S23-2S33.