例談數(shù)學(xué)思想在數(shù)列教學(xué)中的融合

林金德

摘 要：問題是數(shù)學(xué)的心臟，知識是數(shù)學(xué)的軀體，數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的靈魂. 數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識，是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，這就要在教學(xué)中注重挖掘數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)思想自然地滲透于教學(xué)之中。下面談?wù)勗跀?shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透。

關(guān)鍵詞：設(shè)計(jì)知識形成;融合觀察;猜想;歸納;抽象;概括

一、新課程要求“讓學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程”

強(qiáng)調(diào)了教學(xué)中要注重知識的形成過程. 因此，在數(shù)列的有關(guān)概念、公式教學(xué)中盡可能地引導(dǎo)學(xué)生對知識的形成過程進(jìn)行探究，滲透觀察、分析、猜想、歸納、抽象、概括、類比等數(shù)學(xué)思想方法。

比如，在等差數(shù)列概念形成過程的教學(xué)中，可以這樣設(shè)計(jì)：第一步，列舉一些問題情境;第二步，學(xué)生活動，即通過學(xué)生觀察，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一個(gè)問題情境中數(shù)的共同特點(diǎn);第三步，建構(gòu)數(shù)學(xué)，也就是歸納總結(jié)，形成等差數(shù)列的概念。

二、等差數(shù)列、等比數(shù)列教學(xué)過程中，融合累加法、疊乘法、倒序相加法、錯(cuò)位相加法等數(shù)學(xué)思想方法

（一）累加法和疊乘法

在等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)中要揭示出“累加法”， 在等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)中則要提煉出“疊乘法”. 當(dāng)然，在解決涉及形如an=an-1+f（n）或an=f（n）an-1（n≥2）給出的遞推數(shù)列問題時(shí)，也可以考慮累加法或疊乘法。

例1 ?已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解析 ?由已知an-an-1=3n-1，則a2-a1=31，a3-a4=32，a4-a3=33，…，an-an-1=3n-1，然后，將各式累加可求得。

（二）倒序項(xiàng)加法和錯(cuò)位相減法

在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)中要概括出“倒序相加法”， 在等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)中則要領(lǐng)悟出“錯(cuò)位相減法”的精髓.

例2 ?（1） 設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，

可求f（-5）+f（-4）+ … +f（0）+ … +f（5）+f（6） 的值.

（2）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解析 （1）通過觀察發(fā)現(xiàn)，待定式中自變量呈現(xiàn)對稱美，不難發(fā)現(xiàn)-5+6=-4+5=…

=0+1=1，由此發(fā)出“若自變量的和為1，則其函數(shù)值之和等于一個(gè)常數(shù)”的感悟. 很容易導(dǎo)出f（x）+f（1-x）=1. 于是該題可用“倒序相加法”求解，得出所求的值為6.

三、解決數(shù)列問題過程中，融合函數(shù)、方程、基本量、分類討論、化歸、極限等數(shù)學(xué)思想方法

（一）函數(shù)思想

數(shù)列是一種特殊函數(shù)，教學(xué)中要突出數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系. 關(guān)于等差數(shù)列，由通項(xiàng)公式和求和公式看出，an和Sn都是n的函數(shù)，當(dāng)d≠0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，Sn是n的二次函數(shù). 因此可以用一次、二次函數(shù)的有關(guān)知識來解決等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的問題. 遇到有關(guān)遞推不等式問題時(shí)可轉(zhuǎn)化為相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性問題.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{an}滿足：0

解析 ?先用數(shù)學(xué)歸納法證明0

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即00，則在

（0，1）上是增函數(shù)，又f（x）在[0，1]上連續(xù)，f（0）

（二）基本量思想和方程思想

等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中均含有四個(gè)量，運(yùn)用方程思想，知三求一. 在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列問題時(shí)，把首項(xiàng)及公差、公比視為等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量，可以根據(jù)條件列出方程或方程組，通過解方程求得所求的量.

例4 ?在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3……，an，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，……，bn，使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列. 記An=a1a2a3……an，Bn=b1+b2+b3+……+bn. 求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng).

解析（Ⅰ）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，……，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，……，bn，2. 則A1=a1=1·q ?A2=1·q·1·q2 ?A3=1·q·1·q2·1·q3

又∵an+2=1·qn+1=2得qn+1=2. An=q·q2…qn=（n=1，2，3…）.

又∵bn+2=1+（n+1）d=2 ?∴（n+1）d=1. B1=b1=1+d， ?B2=b2+b1=1+d+1+2d ， Bn=1+d+…+1+nd=1.5n.

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