代數(shù)與幾何的統(tǒng)一結(jié)合

馮虎 柳迪 殷航　劉曉帥　秦成遠(yuǎn)

摘 要：數(shù)學(xué)的歷史和文化博大精深，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。在數(shù)學(xué)發(fā)展的近千年歷史中，世界數(shù)學(xué)先后經(jīng)歷了古代數(shù)學(xué)時(shí)期、初等數(shù)學(xué)時(shí)期、高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)期以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期。數(shù)學(xué)不是哪一個(gè)國(guó)家、哪一個(gè)時(shí)期的發(fā)明創(chuàng)造，而是全世界幾千年的智慧結(jié)晶。如果將整個(gè)數(shù)學(xué)體系比作汪洋大海，我們?nèi)缃袼鶎W(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)僅有一勺水之多?；仡檾?shù)學(xué)的發(fā)展歷程，我們可以感知到螺旋式發(fā)展的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)殿堂能如此輝煌，其充滿了巧合，也充滿了曲折。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)歷史;數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的發(fā)展主要由四個(gè)時(shí)期組成。其中包括古代數(shù)學(xué)時(shí)期（數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期）、初等數(shù)學(xué)時(shí)期（常量數(shù)學(xué)時(shí)期）、高等數(shù)學(xué)時(shí)期（變量數(shù)學(xué)時(shí)期）以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期。在數(shù)學(xué)體系這四個(gè)時(shí)期的發(fā)展中，涌現(xiàn)了很多的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家甚至是藝術(shù)家。

首先我將按照歷史的發(fā)展順序，從古代數(shù)學(xué)時(shí)期介紹數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的發(fā)展過程。何為古代數(shù)學(xué)時(shí)期？這一時(shí)期大概從人類文明的起源到公元前六世紀(jì)。古代數(shù)學(xué)時(shí)期主要以非洲尼羅河流域的古埃及文明和亞洲的美索不達(dá)米亞平原的古巴比倫文明為載體。通過對(duì)古巴比倫遺跡的發(fā)掘，人們發(fā)現(xiàn)了一種寫于泥板書上的文字——楔形文字。通過對(duì)這些文字的研究，人們驚奇的發(fā)現(xiàn)古巴比倫人竟然使用了60進(jìn)制計(jì)數(shù)法，這是有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算最早的記錄了。后來研究人員偶然間發(fā)現(xiàn)了藏于莫斯科國(guó)立藝術(shù)館的古埃及紙莎草書，該書通過象形文字記錄了古埃及人驗(yàn)算幾何的過程，古埃及人甚至得出了圓周率約為3.1605，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的一次偉大壯舉。

經(jīng)過文明交流和不斷發(fā)展，以古希臘文明為代表的初等數(shù)學(xué)時(shí)期將數(shù)學(xué)的發(fā)展推向了新的高潮。這一時(shí)期，古希臘數(shù)學(xué)家引入了常量的概念。古希臘以其哲學(xué)文明于世界，因此其數(shù)學(xué)家多是哲學(xué)家。這些先賢們將哲學(xué)與數(shù)學(xué)結(jié)合起來，通過哲學(xué)推理數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)解釋哲學(xué)。當(dāng)然，在這一時(shí)期，涌現(xiàn)了很多位有文字記載的哲學(xué)和數(shù)學(xué)大咖，這些大咖們可以說的是同根同源，也是因?yàn)槿绱?，古希臘數(shù)學(xué)得到了一脈相承的發(fā)展。說起古希臘哲學(xué)家，我們不得不提被譽(yù)為“科學(xué)與哲學(xué)之祖”、“古希臘七賢”之一的泰勒斯，他最早引入了命題證明思想。泰勒斯也以其望星空思索而不慎墜坑的軼事被后人所津津樂道。

畢達(dá)哥拉斯師承泰勒斯，被譽(yù)為“智慧之神”、“音樂之祖”。其最大成就是成立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，該學(xué)派影響了古希臘哲學(xué)和數(shù)學(xué)數(shù)百年的發(fā)展歷程。畢達(dá)哥拉斯定律想必大家一定不會(huì)陌生，其于中國(guó)的勾股定理遙相呼應(yīng)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信仰“萬物皆數(shù)”，他們世界由整數(shù)構(gòu)成，并專攻于整數(shù)、三角形、矩形和完全數(shù)的研究。這一局限性，也導(dǎo)致后來的希帕蘇斯在發(fā)現(xiàn)無理數(shù)后，被學(xué)派長(zhǎng)老以詆毀信仰為由投入大海的悲情故事。然而，希帕蘇斯雖死，其思想?yún)s動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信仰，導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。由于當(dāng)時(shí)不能合理解釋代數(shù)和幾何中無理數(shù)存在的問題，代數(shù)和幾何分道揚(yáng)鑣獨(dú)自發(fā)展。

代數(shù)與幾何分離后，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也就此分為兩個(gè)派系。一個(gè)派系專攻于代數(shù)學(xué)，另一個(gè)派系則專攻于幾何學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派桃李滿希臘，柏拉圖作為著名的哲學(xué)家也為數(shù)學(xué)的發(fā)展揮灑了智慧，柏拉圖學(xué)成歸來，自成一派，稱之為“學(xué)園派”，他是第一位把嚴(yán)密推理法則加以系統(tǒng)化的人，其開創(chuàng)了演繹法研究。亞里士多德作為柏拉圖得意門生，師承學(xué)園派探究哲學(xué)與真理的思想，提出了邏輯學(xué)，其矛盾律和排中律待定了辯證思想的基石。找到了正確的方法，后來的數(shù)學(xué)家就可以站在了巨人的肩膀上，探索更高更深的成就?！皫缀沃浮睔W幾里得的《幾何原本》、“數(shù)學(xué)之神”阿基米德、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線輪》，這三駕馬車一起將古希臘的幾何學(xué)，甚至是世界幾何學(xué)送上了頂峰。自此，與代數(shù)相分離的幾何近乎到達(dá)了頂峰。“代數(shù)之父”丟番圖的《算術(shù)》和托勒密的《大匯編》，也使得古希臘的代數(shù)學(xué)熠熠生輝。在同時(shí)期的古中國(guó)，以劉徽、祖沖之、張衡為代表的的數(shù)學(xué)家，《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》和《孫子算法》數(shù)學(xué)著作也使得數(shù)學(xué)在中國(guó)蓬勃發(fā)展。

隨著歐洲進(jìn)入黑暗的中世紀(jì)，西方數(shù)學(xué)仿佛停止了脈搏。公元前六世紀(jì)到公元十五之間近兩千年時(shí)間里，西方數(shù)學(xué)隨著古希臘的興盛而到達(dá)頂峰，隨著古希臘的衰敗而迅速墮落。中世紀(jì)的西方，數(shù)學(xué)近乎沒有發(fā)展。到了公元十五時(shí)，以達(dá)·芬奇等為代表的文藝復(fù)興由意大利席卷歐洲，撼動(dòng)了神權(quán)至上的觀念，人們逐漸歸于對(duì)自然科學(xué)的思考。弗朗西斯·培根提出了新哲學(xué)，以啟迪人們的思想。在新思潮的引領(lǐng)下，數(shù)學(xué)進(jìn)入高等數(shù)學(xué)時(shí)期，其也被稱為“變量數(shù)學(xué)時(shí)期”?！敖馕鰩缀沃浮钡芽栕钕忍岢隽恕督馕鰩缀巍罚兄皹I(yè)余數(shù)學(xué)家之王”和“近代數(shù)論之父”之稱的費(fèi)馬先后提出了《概率論》、《數(shù)論》。分離兩千多年的代數(shù)和幾何又重新走到了一起，這一創(chuàng)舉推動(dòng)了數(shù)學(xué)飛速發(fā)展。帕斯卡發(fā)明了第一臺(tái)機(jī)械計(jì)算器，自此機(jī)械和數(shù)學(xué)產(chǎn)生了千絲萬縷的聯(lián)系。通過對(duì)費(fèi)馬著作的研究，帕斯卡提出了“帕斯卡三角形”、完善了《概率論》。通過惠更斯、德薩格、沃利斯以及巴羅等數(shù)學(xué)家的積淀，已經(jīng)奠定了高等數(shù)學(xué)時(shí)期輝煌的基礎(chǔ)。

隨著“最多產(chǎn)數(shù)學(xué)家”歐拉、拉格朗日、拉普拉斯師徒三人的橫空出世，高等數(shù)學(xué)時(shí)期到達(dá)了頂峰。數(shù)學(xué)可以解釋幾乎但當(dāng)時(shí)一切的問題，如物理學(xué)、哲學(xué)、天體學(xué)以及化學(xué)等?！暗诙喈a(chǎn)數(shù)學(xué)家”柯西提出了《柯西不等式》、《復(fù)變函數(shù)》，奠定了電磁學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。高處不勝寒，出道即巔峰?！叭褐浮辟ち_瓦，“最后一個(gè)數(shù)學(xué)全才”龐加萊開拓了數(shù)學(xué)的邊界。數(shù)學(xué)空前繁榮，再無一人可以改變整個(gè)數(shù)學(xué)體系，也很難在數(shù)學(xué)的每個(gè)分支有所建樹。“數(shù)學(xué)王子”高斯創(chuàng)立了哥廷根學(xué)派，提出了“非歐幾何”的思想，通往數(shù)學(xué)殿堂之路，從此高不可攀。

然而，已近乎完美的數(shù)學(xué)體系在十八世紀(jì)的元年出現(xiàn)了危機(jī)！在第二次數(shù)學(xué)家大會(huì)上，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾博特提出了二十三個(gè)數(shù)學(xué)問題，這二十三個(gè)問題顛覆了數(shù)學(xué)家們的認(rèn)知，其“希爾伯特空間”問題是現(xiàn)有數(shù)學(xué)難以解決的。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)就此出現(xiàn)，難道數(shù)學(xué)將就此止步不前嗎？

答案是否定的，歷史的車輪滾滾，現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)家們已經(jīng)在微觀數(shù)學(xué)、宏觀數(shù)學(xué)和宇觀數(shù)學(xué)中有了長(zhǎng)足發(fā)展。量子力學(xué)、非歐幾何、相對(duì)論，這些不都是數(shù)學(xué)桂冠上閃耀的寶石嗎？

作者簡(jiǎn)介：

馮虎（1998-），男，民族：漢，籍貫：陜西省漢中市，學(xué)歷：本科研究方向：機(jī)械電子工程。