王愛斌
[摘? 要] 弱化概念教學(xué)的現(xiàn)象在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中普遍存在,這對于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性會產(chǎn)生巨大的負面影響,教師應(yīng)從回歸知識本源、反思學(xué)習(xí)過程、立足通性通法、滲透數(shù)學(xué)思想方法等多方面進行數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的內(nèi)涵并因此幫助學(xué)生樹立一種精神,養(yǎng)成一種氣質(zhì),深植一份思想內(nèi)涵.
[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí)教學(xué);概念教學(xué);知識本源;反思;通性通法;數(shù)學(xué)思想方法
從解題教學(xué)層面談高三復(fù)習(xí)教學(xué)有效性的觀點頗多,筆者結(jié)合自己的教學(xué)與體會主要從概念課的復(fù)習(xí)進行思考. 數(shù)學(xué)概念這一揭示現(xiàn)實世界空間關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的思維形式實際上就是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映. 與此同時,這一數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂與精髓也是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理與法則的邏輯基礎(chǔ).
不能圍繞數(shù)學(xué)概念核心進行的教學(xué)往往會使學(xué)生盲目進行大量的解題操練,導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要根基的同時也令廣大學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱.事實上,高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)也因為“題海戰(zhàn)術(shù)”的影響而存在弱化概念教學(xué)的現(xiàn)象,主要表現(xiàn)為:
1. 存在讓學(xué)生自主復(fù)習(xí)概念的教學(xué)行為. 這是受“先學(xué)后教”這一教學(xué)策略影響而形成的. 比如,有的教師在直線的方程這一內(nèi)容的教學(xué)中往往會設(shè)計以下表格并請學(xué)生自主填寫(表1).
2. 存在定義、性質(zhì)、公式直接告知或共同回憶的行為.比如,有的教師在復(fù)習(xí)“解斜三角形”這一內(nèi)容中往往會先要求學(xué)生回憶三角形內(nèi)角和、面積公式、正弦定理、余弦定理等概念或公式,然后進行針對性的反復(fù)練習(xí),對于定理的證明卻往往視而不見.
3. 存在就題論題的教學(xué)行為. 有的教師因為集體備課、統(tǒng)一習(xí)題的原因往往會在例題講評時形成就題論題的教學(xué)行為,例題背后隱藏的概念卻往往得不到應(yīng)有的挖掘. 很多教師在試卷講評課上順著題目序號一一講解的現(xiàn)象比比皆是,對于為何如此解題往往置之不理,知識拓展與提升嚴重缺乏的同時也令學(xué)習(xí)的效益大大降低.
4. 存在不揭示概念實質(zhì)的教學(xué)行為. 有的教師雖然在教學(xué)中能夠關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透,但對其實質(zhì)卻往往不能進行很好的揭示.
例:過點P(1,2)作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,則PA·PB的最小值是多少?此時直線l的方程如何?
此題的解法多樣:(1)設(shè)斜率,求得交點之后再運用基本不等式進行解題;(2)設(shè)斜率,求得交點之后再運用構(gòu)造平行向量工具進行解題;(3)設(shè)∠BAO=α并借助三角函數(shù)的有界性進行解題.解法眾多,但很多教師對于此題為何能進行“一題多解”卻往往不做解釋.再比如,求y=■的最值一題,很多教師對于此題為何能運用“數(shù)形結(jié)合”方法解題往往也不做解釋.
這些現(xiàn)象的產(chǎn)生基本都是因為教師對概念教學(xué)的認知不足而造成的,很多教師因為高一、高二對概念已經(jīng)進行過教學(xué)而在復(fù)習(xí)教學(xué)中不再重視. 但實際上,學(xué)生對概念不清的實際學(xué)習(xí)狀況往往會造成其復(fù)習(xí)的低質(zhì)低效.如何改變這一局面呢?
回歸知識本源
搞清基本概念、原理、方法的復(fù)習(xí)教學(xué)能使學(xué)生對知識本質(zhì)產(chǎn)生理解和感悟并構(gòu)建起知識間的聯(lián)系,使學(xué)生不斷完善知識的結(jié)構(gòu)并令知識體系的功能得到強化.
例:已知f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],且當m+n≠0時恒有■>0成立. (1)用定義證明f(x)在[-1,1]上為增函數(shù);(2)解不等式fx+■ 此題涉及函數(shù)單調(diào)性的復(fù)習(xí)以及函數(shù)單調(diào)概念中的某些內(nèi)在關(guān)系,比如假設(shè),①任取x1 教師在概念復(fù)習(xí)中應(yīng)突出其過程與對象的雙重性并體現(xiàn)其現(xiàn)實背景與寓意,使學(xué)生能夠在概念的形成、發(fā)展與應(yīng)用過程中獲得認知結(jié)構(gòu)的完善與思維能力的發(fā)展. 反思、優(yōu)化學(xué)習(xí)過程 引導(dǎo)學(xué)生在概念復(fù)習(xí)中進行已有知識基礎(chǔ)上的反思能使其不斷獲得新的知識經(jīng)驗并令學(xué)習(xí)過程得以優(yōu)化.比如,教師在“解斜三角形”的復(fù)習(xí)教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進行以下問題的思考:(1)直角三角形中的邊角關(guān)系如何?(2)正弦定理從直角三角形中可以提煉出來嗎?(3)正余弦定理的證明過程是怎樣的?(4)余弦定理和向量的數(shù)量積存在怎樣的關(guān)系呢?(可以將余弦定理的變形公式cosA=■看成為數(shù)量積的另一種表達形式b·c=bc·cosA=■的特殊情形) 這種優(yōu)化學(xué)習(xí)過程的教學(xué)方式能使學(xué)生熟練掌握知識的同時弄清知識的形成與發(fā)展,使學(xué)生能夠在概念的現(xiàn)實原型、抽象過程、形式表達、符號化運用等多個層面對概念形成理解與掌握. 立足通性通法 引導(dǎo)學(xué)生立足通性通法進行概念內(nèi)涵與外延的理解與掌握,能使學(xué)生更好地抓住問題的本質(zhì)并因此獲得更加完善、穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu). 比如,有學(xué)生會在判別式的二階行列式的復(fù)習(xí)中提出用“D=0,Dx≠Dy”判別線性方程無解,教師應(yīng)基于學(xué)生的這一認知與錯誤進行概念的復(fù)習(xí):用行列式解二元一次方程組,滿足D=0且無解,首先應(yīng)確定Dx或Dy中的一個為具體的非零值,另一個則包含字母,如x+ay=1,x+ay=2,Dx=1? a2? a=-a,Dy=1? 11? 2=1,則令a=-1即可舉出反例. 很多資料對函數(shù)值域這一高中重要的數(shù)學(xué)問題進行了方法的總結(jié),學(xué)生在配方法、分離法、換元法、逆求法等眾多方法中往往感覺零亂,教師應(yīng)幫助學(xué)生抓住問題的本質(zhì)及其中所滲透的思想方法并形成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法. 滲透數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)思想這一對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)認識,實際上是主體在數(shù)學(xué)認知過程中所提煉的基本觀點與根本想法. 例如,求y=■的最值.教師直接選擇數(shù)形結(jié)合的方法來解決此題必然會造成學(xué)生心頭的疑惑:“我怎會想不出來呢?”因此,在此題的解題教學(xué)中,教師可以做如下改進:首先運用萬能公式化歸成含有“tan■”的函數(shù)并啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生對繁雜過程中的題目結(jié)構(gòu)進行觀察和分析并運用變換主元的辦法由正余弦的有界性求解,引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)構(gòu)中隱藏的點坐標(cosx,sinx)聯(lián)想到圓并采取構(gòu)造斜率的方法來解題.數(shù)形結(jié)合方法在此時出現(xiàn)也就符合學(xué)生的思維發(fā)展了,學(xué)生也因此得到認知的深化與理解并對概念形成更好的掌握.同樣的,“過點P(1,2)作直線l與x軸、y軸的正半軸分別相交于點A和點B,求PA·PB的最小值及此時直線l的方程”一題中,教師引導(dǎo)學(xué)生對不同點坐標形式展開思考和選擇,也會得到不同的解題辦法. 教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中還應(yīng)盡量引導(dǎo)學(xué)生進行一題多解、一題多聯(lián)、一題多變,使學(xué)生能夠在嶄新的習(xí)題情境中學(xué)會更加敏銳地捕捉隱含信息并獲得更多的解題感悟.當然,學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的犯錯并不止在概念、公式、定理的理解不清上,還有一些非智力因素也會導(dǎo)致其學(xué)習(xí)出錯,教師應(yīng)及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤并對其出錯原因進行分析,使學(xué)生能夠清晰面對自己的計算錯誤、策略錯誤并及時獲得正確而簡捷的解法. 將知識簡單地教給學(xué)生在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中顯然是不合時宜的,教師對知識的理解方式并不一定為學(xué)生很好地接受,因此,教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中仍舊應(yīng)該重視概念教學(xué)并注重學(xué)生思維的啟發(fā),切忌將自己的直接操作來代替學(xué)生的思維,應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生充分感受、理解、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的內(nèi)涵并因此幫助學(xué)生樹立一種精神,養(yǎng)成一種氣質(zhì),深植一份思想內(nèi)涵,使學(xué)生在充分感受數(shù)學(xué)課堂的厚重感與力量感的同時建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心,在長才干、長智慧的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得數(shù)學(xué)思維能力與綜合素養(yǎng)的鍛煉和發(fā)展.
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版2020年8期