芻議現(xiàn)象教學理念下數(shù)學實驗教學

黃雪林

[摘? 要] 《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）明確指出：在教學實踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何學. 有人說“教什么”比“怎么教”更重要，但“怎么教”在課堂教學中也是很重要的. 基于現(xiàn)象的數(shù)學實驗教學不僅僅是培養(yǎng)了用數(shù)學的眼光觀察實驗現(xiàn)象，更多的是用數(shù)學的思維思考數(shù)學本質(zhì)和用數(shù)學的語言刻畫實驗的數(shù)學內(nèi)涵.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學實驗;現(xiàn)象教學;數(shù)學核心素養(yǎng);實驗探究

由于實驗教學不僅在激發(fā)學生學科興趣，培養(yǎng)學生觀察能力、動手能力和萌發(fā)創(chuàng)新意識有其明顯優(yōu)勢，還是論證理論知識和猜想的有效方式，故實驗教學在自然科學學科的課堂教學中被廣泛應(yīng)用. 《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）明確指出：在教學實踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何學，引導學生會學數(shù)學，養(yǎng)成良好的學習習慣;努力激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，促使更多的學生熱愛數(shù)學. 實驗教學也在近些年進入高中數(shù)學課堂，區(qū)別于傳統(tǒng)教學理念下數(shù)學實驗課，現(xiàn)象教學理念下的數(shù)學實驗課盡量由學生自己設(shè)計數(shù)學實驗方案并動手操作，側(cè)重于在觀察直觀的實驗現(xiàn)象中自然地生成數(shù)學知識，讓學生在探究過程中深度學習并實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的落實.

高中數(shù)學在一部分學生看來具有高度抽象、難學難懂、枯燥乏味、與實際生活無關(guān)的特征. 基于這樣的影響下不少學生對高中數(shù)學的學習產(chǎn)生畏懼感，不想學甚至是害怕學. 在高中數(shù)學課堂教學中開展數(shù)學實驗教學的目的是為了促使每一個學生都積極地參與到課堂中來，共同探究，合作思考. 數(shù)學實驗課開展的實質(zhì)就是幫助學生在“做數(shù)學”的過程中“學數(shù)學”.

實驗案例一：探究雙曲線的標準方程

愛因斯坦曾經(jīng)說過：“想象比知識更重要. ”

現(xiàn)行的高中數(shù)學教材給出的雙曲線軌跡的探究基本都是“拉鏈模型”，作為一名初學雙曲線的學生看到雙曲線的定義PF1-PF2=2a（c>a>0）距離的差為定值的動點軌跡就能想到用“拉鏈”去探究？甚至能想到把“拉鏈”的一端剪去2a的長度？應(yīng)該說是不太可能的，但是學生已有的基本活動經(jīng)驗里有沒有到兩定點的距離差為定值的點的軌跡模型？初中探究過中垂線的軌跡，其本質(zhì)是到兩定點的距離相等的點的軌跡，此時的差是定值0，其數(shù)學表達就是PF1-PF2=0. 我們能不能從探究中垂線的軌跡中得到啟發(fā)制定出探求差不為0的動點軌跡，假設(shè)A，B是長為4的線段AB的兩個端點，動點P到兩端點的距離差是定值3，實驗的設(shè)計由特殊情況出發(fā)便于培養(yǎng)學生特殊到一般的數(shù)學思維，更重要的是具體數(shù)值簡化探究. 回顧了中垂線的探究過程，學生能夠自然地生成尺規(guī)探究的設(shè)計方案. 以A，B為圓心畫圓，半徑為r1，r2，且r1-r2=3，改變圓的半徑，兩圓的交點就是使得PA-PB=3的動點. （實驗活動過程可以使用實驗網(wǎng)格紙，尺規(guī)畫圖探究;也可以利用幾何畫板探究.）個人建議學生使用尺規(guī)作圖探究，經(jīng)歷自主探究的過程可以實現(xiàn)深化實驗現(xiàn)象的數(shù)學化，圖像本身的探究就是雙曲線概念、方程和性質(zhì)的直觀化過程.

數(shù)學實驗的設(shè)計不應(yīng)該脫離學生的基本活動經(jīng)驗，“從天而降”的活動情景不利于學生對新知識的自然生成. 尺規(guī)探究雙曲線的軌跡是建立在學生已掌握了中垂線的定義和圖像、圓的標準方程和性質(zhì)、橢圓的標準方程和性質(zhì)，這些知識都可以幫助學生自然地構(gòu)建兩圓半徑差為定值的交點的探究方案. 由具體的數(shù)值（特殊化）易于構(gòu)建的特征方便學生完成實驗的操作，無形中形成特殊到一般的數(shù)學素養(yǎng).

教師可以進一步提出能不能探究初中學習過的反比例函數(shù)圖像，和高中學習的雙曲線是不是一回事？以y=■為例. 實驗進一步深化對雙曲線概念理解，坐標系是人類賦予雙曲線的，人類建立的坐標系不同雙曲線的方程形式也會發(fā)生改變，反比例函數(shù)是雙曲線建系方式發(fā)生改變的情況下的方程形式. 通過這樣的方式真正實現(xiàn)初中知識與高中知識的整合，綻放核心素養(yǎng)之花.

實驗案例二：變量A，ω，φ與函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像的關(guān)系

弗賴登塔爾曾經(jīng)說過“數(shù)學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的.”本課題開展前學生已有的基本活動經(jīng)驗是“五點法”繪制三角函數(shù)的圖像，在研究本課題時可以理解y=sinx是A=1，ω=1，φ=0時y=Asin（ωx+φ）的特殊形式. 學會控制變量，在研究參量A，ω，φ對函數(shù)圖像的關(guān)系顯得非常重要.

學生可以應(yīng)用已學的“五點法”手工作圖研究參量對函數(shù)的影響. 考慮到“五點法”手工作圖非常耗時，并且在研究過程中也很不方便，大部分學生都存在作圖不標準的情況，對于實驗研究來說是非常不利的. 如何設(shè)計這個實驗案例，能讓枯燥的課堂生動有趣起來？讓學生能夠在獲取數(shù)學新知的同時真實地感受到數(shù)學實驗探究的快樂.

由于本節(jié)課探究的是參量A，ω，φ對函數(shù)圖像的關(guān)系，通過實驗的探究獲取參量與圖像平移、翻折間的關(guān)系. 在實驗探究的過程中可以使用幾何畫板和EXCEL等作圖軟件輔助完成作圖過程，搭建實驗研究平臺.

控制變量是本實驗的主要設(shè)計思路，分組設(shè)計變量A，ω，φ進行實驗的探究活動. 設(shè)計三組實驗數(shù)據(jù)進行簡單的探究活動y=sinx，y=2sinx，y=■sinx，y=sinx，y=sin2x，y=sin■，y=sinx，y=sinx-■，y=sinx+■.初步感知變量A，ω，φ與正弦函數(shù)圖像的關(guān)系. 直接利用幾何畫板演示y=sinx→y=sin2x→y=sin2x+■→y=2sin2x+■和y=sinx→y= sinx+■→y=sin2x+■→y= 2sin2x+■的變化過程，并讓學生歸納兩個變化過程的相同點與不同點. 這樣的實驗探究活動對學生理解變量A，ω，φ與正弦函數(shù)圖像的關(guān)系與“滿堂灌”的效果肯定是不一樣的.

實驗案例三：同角三角函數(shù)的關(guān)系

歐拉曾說：“今天人們所知道的數(shù)學的知識，很多都是由觀察所發(fā)現(xiàn)的，并且早在用嚴格論證確認其真實性之前就發(fā)現(xiàn)了，甚至到現(xiàn)在還有許多關(guān)于數(shù)學的知識是我們所熟悉而不能證明的，只有觀察才使我們知道這些知識. ”

在人類文明不斷進步發(fā)展的過程中，數(shù)學實驗對數(shù)學學科發(fā)展的前進起著巨大的推動作用，人類早期的很多數(shù)學結(jié)論和定理都是通過實驗得出的. 數(shù)學家們常常在數(shù)學實驗的幫助下發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學規(guī)律和新的數(shù)學公式，再通過對實驗結(jié)果進行嚴格的邏輯演繹推理，給出證明. 可以這樣說在人類的數(shù)學的發(fā)現(xiàn)中，數(shù)學實驗肩負著重要的發(fā)現(xiàn)作用.

在研究同角三角函數(shù)的關(guān)系時，學生已有的數(shù)學知識是初中學習的直角三角形中的銳角三角函數(shù)并且掌握得非常好，最近發(fā)展區(qū)中還有任意角的概念（將三角形中的角擴充到直角坐標系中研究角）和任意角三角函數(shù)的概念.

教師拋出問題：已知sinα=■，請你設(shè)計方案解決cosα和tanα.

學生分組給出的實驗方案主要分為幾何探究和代數(shù)探究兩個方向，幾何探究有建立直角三角形（勾三股四弦五）的不完全探究，根據(jù)任意角和三角函數(shù)的定義建立直角坐標系探究的不同方案. 經(jīng)歷過直角三角形的不完全探究，能夠深化理解任意角和任意角的三角函數(shù)的概念，效果顯然優(yōu)于教師單方面的灌輸. 再進一步引導學生由特殊值向一般情況探究，由特殊點P（4，3）或P（-4，3）到P（x，y）是否也存在sin2α+cos2α=1的關(guān)系？學生依然有幾何探究的方案，直接在幾何畫板中計算探究;也可以根據(jù)任意角三角函數(shù)定義進行代數(shù)探究，sin2α+cos2α=■■+■■=1. 教師可以提出單位圓中正弦線和余弦線的幾何意義對幾何方案進行優(yōu)化，單位圓中的任意一點P（x，y）也可以表述為P（cosα，sinα）到坐標原點的距離都是1，根據(jù)兩點間的距離公式快速得到sin2α+cos2α=1. 在深化理解了sin2α+cos2α=1后，學生同樣可以從幾何和代數(shù)兩個方向探究出tanα=■，其效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)教學方式.

實驗教學的最大特點是數(shù)學現(xiàn)象的直觀性，幫助學生對源于生活的素材進行數(shù)學研究，實現(xiàn)生活素材“數(shù)學化”和“再創(chuàng)造”，對源于生活的數(shù)學知識的研究有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情. 現(xiàn)象教學理念下的實驗教學不是一個簡單的知識傳輸過程，也不是一個被動的回答問題過程，而是真實地幫助學生“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言表達世界”（史寧中）. 親身經(jīng)歷對數(shù)學現(xiàn)象的迷茫、疑惑、猜想、試驗、論證、表達等過程，是知識教學和問題教學所難以比擬的. 學生所生成的基本活動經(jīng)驗、數(shù)學應(yīng)用意識等等，比具體的知識和技能更有價值，這些就應(yīng)該是學生“把教材內(nèi)容都忘記后還剩下的部分”（愛因斯坦），也可以說這些就是核心素養(yǎng).

數(shù)學實驗教學是現(xiàn)象教學的一種表現(xiàn)形式，是對數(shù)學課堂教學有效的補充與促進，而不是替代和否定. 現(xiàn)象教學在針對不同類型的知識教學上有不同的教學手段，其獨特的優(yōu)勢表現(xiàn)在使用非常靈活且廣泛. 開展實驗教學可以起到“畫龍點睛”的作用，而不是“畫蛇添足”. 在教學中，充分發(fā)揮數(shù)學實驗的優(yōu)勢，注意揚長避短，實現(xiàn)信息技術(shù)和數(shù)學教學合理的整合. 數(shù)學實驗課程的開設(shè)在中學階段還是一個較為新穎的事物，需要廣大中學數(shù)學教師對其不斷研究和實踐. 我們不難發(fā)現(xiàn)，無論是新授課的導入、關(guān)鍵知識點的講授、研究性學習的指導，數(shù)學實驗課程都發(fā)揮著重要的建設(shè)性作用，并且在《普通高中課程標準》（2017年版）中給出了不少數(shù)學實驗課程的優(yōu)秀課例. 我校嘗試在現(xiàn)象教學模式下開設(shè)數(shù)學實驗課對推進高中數(shù)學核心素養(yǎng)的落實具有的創(chuàng)新意義，并為高中數(shù)學實驗課程開辟出自己的舞臺.