建構(gòu)數(shù)學概念從“找不同”入手

【摘要】本文以《圓的認識》教學為例，論述構(gòu)建數(shù)學概念的方法，建議教師在組織教學活動時引導學生尋找不同之處，激發(fā)學生的探究熱情，幫助學生有效建構(gòu)數(shù)學概念，發(fā)展解決問題的能力，提升課堂教學實效。

【關(guān)鍵詞】《圓的認識》 小學數(shù)學 平面圖形 概念教學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）29-0098-02

在小學階段，圓的知識是圖形與幾何的重要組成部分。部編版教材將《圓的認識》安排在六年級下冊，這是學生學完長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等平面圖形之后學習的最后一種平面圖形。與長方形、正方形等平面圖形相比，圓與這些圖形既有相同之處，也有不同之處，其不同之處正是圓的本質(zhì)所在，也是概念教學的重中之重。學生通過之前的知識學習，已經(jīng)掌握了一些基本的數(shù)學思想方法，也具備了一定的抽象、比較、概括、推理能力。因此，引導學生聚焦圓的不同之處展開課堂探究，是基于學生的學情以及認知需求開展的，有助于激發(fā)學生的探究欲望，促進學生深入理解圓的概念本質(zhì)。基于此，筆者確定《圓的認識》的核心內(nèi)容是帶領(lǐng)學生尋找圓與其他平面圖形的不同之處，通過設(shè)計“找不同”，有效構(gòu)建數(shù)學概念，提升解決問題的能力。

一、觀察比較找不同，初步感知外在表征

新授課之初，筆者先出示3張可愛的卡通圖片，分別是企鵝、小猴、小貓，然后讓學生找出這幾張卡通圖片的相同和不同之處。學生指出它們的共同特征都是圓圓的。接著筆者引出課題——今天我們就來尋找圓的與眾不同。

先給學生出示如下圖形（圖1），要求學生找出與眾不同的一個圖形。

學生認為正方體是立體圖形，而其他的圖形是平面圖形，所以正方體與眾不同。筆者要求學生繼續(xù)在平面圖形中找出與眾不同的圖形，此時學生認為圓是不同的平面圖形。筆者追問：“你覺得圓是什么樣的？說說你的看法。”學生認為，圓也是平面圖形，但圓是由曲線圍成的，而其他圖形是由線段圍成的，所以與眾不同。

【教學思考】在小學數(shù)學概念教學中，同中求異是比較常見的課堂應用方法。通過比較可以讓學生獲得數(shù)學概念最本質(zhì)的內(nèi)涵，從而擴充自己的已有認知。對學生來說，從一年級開始就已經(jīng)認識了圓，在生活中也積累了一定的初步感知。因此，讓學生將圓與其他圖形進行比較，找出其中的與眾不同之處，是從學生已有的知識經(jīng)驗和認知水平出發(fā)，帶領(lǐng)學生經(jīng)歷比較和觀察的過程，拓展和補充已有的認知結(jié)構(gòu)。第一步讓學生通過比較找出與眾不同的圖形是正方體，幫助學生有效建構(gòu)平面圖形和立體圖形的數(shù)學概念。第二步讓學生比較找出圓是與眾不同的圖形，凸顯圓是由曲線圍成的平面圖形，初步感知圓的外在表征。

二、由表及里找不同，探究“一中同長”的內(nèi)涵

筆者提問：“想一想，生活中有哪些物體會設(shè)計成圓形？為什么？”學生指出自行車的車輪是圓形的，因為圓形是曲線圖形，沒有角，騎起來輕松，轉(zhuǎn)起來不顛簸。由此，筆者引導學生探究到底是不是這個原因。

筆者先讓學生分小組用圓規(guī)動手畫圓，并說出自己的方法，觀察畫圓需要注意什么。學生認為，畫圓的方法是要張開圓規(guī)的兩腳，把針尖固定在一個點上，另一只腳圍繞著固定點旋轉(zhuǎn)一周，就得到了圓。通過操作，學生積累了畫圓的經(jīng)驗：針尖不能動，圓規(guī)兩腳之間的距離不能變。接著筆者根據(jù)學生已有經(jīng)驗追問：“針尖固定的這個點叫什么？圓規(guī)兩腳之間的距離是什么？誰能畫出圓的直徑？”筆者指名學生上臺操作，大家一起討論。討論之后，學生得知，連接圓心和圓上任意一點的線段叫作半徑;過圓心，兩端在圓上的線段叫作直徑。至此，學生對圓心、半徑、直徑都有了直觀的認識。此時，筆者再讓學生畫出圓的直徑和半徑，比一比、量一量，看看有什么發(fā)現(xiàn)。經(jīng)過操作和思考，學生認為，半徑有無數(shù)條，長度都相等。因為在畫圓時，圓規(guī)兩腳之間的距離不變，所以圓的半徑長度相等;圓上有無數(shù)個點，和圓心連起來就會有無數(shù)條半徑。筆者出示學生畫出的大小不等的兩個圓追問：“這兩個圓的半徑也相等嗎？”學生認為不相等，因為只有在同一個圓或者是在同樣大的圓里半徑才相等。

筆者繼續(xù)提問：“古人用‘一中同長來概括圓的本質(zhì)，這里的‘一中是指什么？‘同長是指什么？你是怎么理解的？”學生認為，“一中”就是指圓心固定不動，“同長”就是指在同一個圓內(nèi)半徑都一樣長。

筆者再次引導學生思考：“現(xiàn)在我們再想一想圓到底有哪些與眾不同之處？”學生結(jié)合畫圓的操作過程，認為圓與其他平面圖形相比，不同之處在于：圓的中心到圓上任意一點的距離都相等，其他平面圖形沒有這樣的中心點。最后筆者追問：“為什么要把車輪設(shè)計成圓形呢？”學生認為，車輪設(shè)計成圓形，滾動時車軸到地面的距離就是半徑的長度，能夠始終相等，所以很平穩(wěn)。

【教學思考】圓的本質(zhì)在于半徑有無數(shù)條，長度都相等，也就是“一中同長”。正因為圓有這樣的與眾不同，所以生活中有很多物體才會設(shè)計成圓形。在課堂教學中，教師讓學生探究“車輪為什么設(shè)計成圓形”這個問題，其實就是在探究圓的本質(zhì)特征。學生通過用圓規(guī)畫圓，由表及里一步步向內(nèi)探究，逐步靠近圓的概念核心，深入圓心、半徑、直徑，最終理解“一中同長”的內(nèi)涵所在。通過找不同，最終找到了“車輪為什么是圓的”根本所在，進而對圓的內(nèi)在特征有了深刻的理解。

三、手腦并用找不同，理解圓的本質(zhì)特征

筆者給學生準備了一些圓形紙片，要求學生動手操作，想辦法找出圓形紙片的圓心。教學時，筆者先引導學生分組操作，并說說自己的做法。學生先把圓形紙片對折一次，得到一條折痕，這條折痕就是一條直徑，再從不同的方向?qū)φ垡淮?，又得到一條折痕（直徑），兩條直徑的交點就是圓心。筆者追問：“為什么說對折一次得到的折痕就是直徑呢？”學生指出，將圓形紙片畫出直徑，然后沿著直徑對折得到兩邊完全重合。所以，這條折痕就是直徑?！澳敲?，從對稱的角度來說，圓是哪種圖形？有多少條對稱軸？”筆者繼續(xù)追問。學生認為，圓是軸對稱圖形，對稱軸就是直徑所在的直線。直徑有無數(shù)條，所以圓的對稱軸也有無數(shù)條。由此，學生自然得出結(jié)論：“每條直徑都會通過圓心，所以任意兩條直徑的交點就是圓心?！?/p>

筆者再次引導學生思考：“想一想，從軸對稱這個特征來看，圓和其他平面圖形相比有什么與眾不同之處？”學生經(jīng)過討論和思考得出結(jié)論：“其他平面圖形可能有一條或者幾條對稱軸，但圓有無數(shù)條對稱軸。”

【教學思考】從“一中同長”這個特征延伸，就可以得出圓的本質(zhì)：任意一條直徑所在的直線都是對稱軸，無論繞著圓心旋轉(zhuǎn)多少度，都能和原圖形重合。為了讓學生深刻理解這一本質(zhì)，教師特意設(shè)計了“找圓形紙片圓心”的活動，給學生提供動手操作實踐的機會。學生通過動手和動腦，不但能夠深入理解圓的本質(zhì)特征，而且有效地提升了思維的邏輯性和深刻性。

四、聚焦應用找不同，加深拓展圓的外延

筆者再次出示問題：“如果沒有圓規(guī)，你能畫出圓嗎？”學生認為可以用圓形物體描畫出圓。筆者引導學生探討：“如果要在籃球場上畫一個圓，該怎么做？”學生認為，要用一根繩子固定緊，一個人拉住繩子的一頭不動，另一個人拉直繩子轉(zhuǎn)一圈?！澳侨绻_定一個圓形廣場的形狀，工程師應該怎么做呢？”教師再次提問，學生想出了不同的方法，有的認為可以用繩子來固定一頭，另一個人拉直繩子轉(zhuǎn)一圈;有的認為繩子太長，轉(zhuǎn)的時候繩子不容易拉直，所以這個方法不合適。最后，有學生提出，可以先確定一點作為圓心，再從圓心出發(fā)，確定若干個點，這些點到圓心的距離是相等的，確定了這兩點就能得到一個很大的圓。

此時筆者追問：“這里相等的距離是指什么？把到圓心距離相同的點集合起來能得到什么？”學生思考后認為，相等的距離其實就是圓的半徑，把這些到圓心距離相等的點集合在一起就能得到一條連貫封閉的曲線，也就是圓。

由此，學生認識到畫圓的這種方法，其實就是利用了圓與眾不同的特征，即“一中同長”的特征——圓有無數(shù)條半徑，而且這些半徑都相等。最后，筆者在結(jié)尾部分延伸拓展：古希臘數(shù)學家說過，在一切平面圖形中，圓是最美的。我們還會在接下來的學習中發(fā)現(xiàn)圓的與眾不同。

【教學思考】在小學數(shù)學課堂教學中，能否將所學的知識應用在現(xiàn)實生活中，這是最重要的一個教學要素。為了讓學生深刻理解“圓就是一個平面內(nèi)到定點等于定長的點的集合”這個與眾不同之處，筆者特意設(shè)計了讓學生在現(xiàn)實生活中畫圓的教學實踐活動。通過這個活動能夠豐富并加深學生對圓的概念的認知，并且在學生的動態(tài)生成中拓展了圓的外延，培養(yǎng)了學生的應用意識和實踐能力。

作者簡介：江翠敏（1975— ），女，廣西興業(yè)人，大學本科學歷，一級教師，主要從事小學數(shù)學教育教學工作。

（責編 林 劍）