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    最優(yōu)控制問(wèn)題數(shù)值方法研究分析

    2020-10-20 06:13:56張倩
    科技風(fēng) 2020年27期
    關(guān)鍵詞:研究展望最優(yōu)控制

    摘 要:微分方程最優(yōu)控制在科學(xué)和工程中具有廣泛的應(yīng)用背景,它的數(shù)值求解方法一直是近年來(lái)非?;钴S的研究分支。對(duì)該問(wèn)題的提出和研究意義進(jìn)行了闡述,對(duì)國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展動(dòng)態(tài)做了分析,并且總結(jié)了幾個(gè)需要解決的關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題。

    關(guān)鍵詞:最優(yōu)控制;數(shù)值方法;研究展望

    1 研究背景和意義

    偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題作為一個(gè)非?;钴S的研究分支,在實(shí)際工程領(lǐng)域與計(jì)算科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,例如,在液體流、大氣流、電磁場(chǎng)以及放射熱源和激光技術(shù)等許多方面都需要借助流體最優(yōu)控制模型來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題。許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,例如,癌癥治療過(guò)程中的熱處理、低溫超導(dǎo)激光能量的爆破和混凝土大壩的最優(yōu)溫度控制,都涉及求解偏微分方程描述的最優(yōu)控制問(wèn)題。這類問(wèn)題需要求解一個(gè)目標(biāo)泛函的最小值,并且目標(biāo)泛函中的控制變量要滿足偏微分方程描述的某個(gè)物理過(guò)程和一些其他約束條件。該問(wèn)題是無(wú)窮維空間的求最優(yōu)解問(wèn)題,不能用計(jì)算機(jī)精確求解,為了準(zhǔn)確而快速求解這類問(wèn)題,數(shù)值計(jì)算方法的研究就變得特別重要。隨著人工智能的迅速發(fā)展,偏微分方程最優(yōu)控制在人工智能領(lǐng)域也扮演了重要角色。如何利用已有的算法和理論,構(gòu)造更加高效簡(jiǎn)便的數(shù)值計(jì)算方法或研發(fā)數(shù)值計(jì)算軟件,應(yīng)用到生物醫(yī)藥、人工智能、工業(yè)制造等也是亟待解決的問(wèn)題。

    為了準(zhǔn)確且高效地求解偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題,計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)W者們對(duì)該類問(wèn)題數(shù)值方法的研究顯得尤為重要。關(guān)于最優(yōu)控制問(wèn)題數(shù)值方法的研究已經(jīng)取得了一批有意義的工作,但是,在如何構(gòu)造高精度的數(shù)值格式方面的研究還相對(duì)較少,特別是針對(duì)復(fù)雜幾何區(qū)域問(wèn)題或界面問(wèn)題??焖俑咝У臄?shù)值方法由于其能大大提高計(jì)算精度和計(jì)算效率等優(yōu)點(diǎn),具有重要的理論價(jià)值和更加實(shí)際的意義[1]。

    2 研究現(xiàn)狀和發(fā)展動(dòng)態(tài)分析

    自從Lions對(duì)偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題做出開(kāi)創(chuàng)性理論,此類問(wèn)題的計(jì)算方法成為了大量計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)者的研究熱點(diǎn)問(wèn)題。目前對(duì)PDE最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值求解思路主要有兩種:第一種是先優(yōu)化后離散,即先利用Lagrange乘子方法推導(dǎo)出最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性條件,這個(gè)最優(yōu)性條件包含狀態(tài)方程、伴隨方程和變分不等式,由于最優(yōu)性條件是無(wú)窮維的,然后需采用一定的數(shù)值方法(如:有限元方法、有限體積元方法和譜方法等)進(jìn)行離散,變成有限維的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題;第二種思路是先離散后優(yōu)化,即先利用數(shù)值離散方法對(duì)原最優(yōu)控制問(wèn)題(目標(biāo)泛函、控制方程和約束條件)進(jìn)行離散,得到離散的最優(yōu)控制問(wèn)題,然后再利用優(yōu)化算法逼近最優(yōu)解。不論上面兩種方法選哪種,數(shù)值離散都是不可缺少的,因此好的離散方法對(duì)求出最優(yōu)解是至關(guān)重要的。針對(duì)偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題,數(shù)值方法的研究主要圍繞優(yōu)化算法、離散、先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì)這幾個(gè)方面,并且出現(xiàn)了許多的研究成果,相關(guān)理論和誤差估計(jì)如文獻(xiàn)[2]所示。與控制無(wú)約束的最優(yōu)控制問(wèn)題相比,控制帶約束(如逐點(diǎn)約束,不等式約束和積分約束)的最優(yōu)控制問(wèn)題,其理論分析和計(jì)算方法都更為復(fù)雜和困難,一些學(xué)者進(jìn)行了超收斂方法研究,并對(duì)積分型帶約束橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題,得到了有限元最優(yōu)誤差估計(jì)和超收斂分析。對(duì)于帶間斷系數(shù)的最優(yōu)控制問(wèn)題,相關(guān)的文獻(xiàn)很少[3]。Apel[4]考慮了帶間斷系數(shù)的橢圓分布控制問(wèn)題,其中的擴(kuò)散系數(shù)在不同的Lipschitz區(qū)域取值不同。為了避免界面處收斂階的損失,采用了分級(jí)網(wǎng)格方法。文獻(xiàn)[3]采用了浸入有限元方法處理界面。對(duì)拋物型最優(yōu)控制問(wèn)題的研究,研究工作者考慮了具有逐點(diǎn)約束的全離散有限元逼近。關(guān)于拋物最優(yōu)控制的半離散混合有限元逼近,還有學(xué)者利用RTO有限元逼近狀態(tài)變量、分片常數(shù)逼近最優(yōu)控制,并進(jìn)行了誤差估計(jì)。隨后出現(xiàn)了線性和半線性拋物最優(yōu)控制問(wèn)題全離散混合有限元方法,關(guān)于具有逐點(diǎn)控制約束和積分控制約束的線性、半線性拋物方程及雙曲方程最優(yōu)控制問(wèn)題的相關(guān)研究隨后也出現(xiàn)了很多[5]。

    針對(duì)流體控制問(wèn)題,從有限元方法出發(fā),許多學(xué)者做了探索,提出了各種各樣的高精度離散格式,例如非協(xié)調(diào)有限元方法[6]、自適應(yīng)有限元方法和混合有限元方法等。劉文斌等人給出了Stoke方程分布最優(yōu)控制問(wèn)題的后驗(yàn)誤差估計(jì),為自適應(yīng)有限元方法求解流體控制問(wèn)題鋪平了道路。陳燕萍等人采用勒讓德伽略金方法數(shù)值求解Stoke方程分布控制問(wèn)題,通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)牧魉俸蛪毫Φ碾x散空間,使得離散方程組的系數(shù)矩陣系數(shù),對(duì)流體控制問(wèn)題譜方法分析的超收斂性研究有著重要的參考價(jià)值。

    帶有界面的最優(yōu)控制問(wèn)題也一直是計(jì)算數(shù)學(xué)家研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。目前,比較青睞的做法是使用與界面無(wú)關(guān)的網(wǎng)格來(lái)離散。在對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行剖分時(shí),網(wǎng)格不需要擬合界面,即,允許界面穿過(guò)剖分單元的內(nèi)部,這在文獻(xiàn)中經(jīng)常稱為非擬合網(wǎng)格,例如最簡(jiǎn)單的一致網(wǎng)格。利用這種網(wǎng)格求解流體界面問(wèn)題有很多優(yōu)點(diǎn),比如說(shuō),網(wǎng)格的生成很簡(jiǎn)單,即使對(duì)于幾何形狀非常復(fù)雜的界面也不需要花費(fèi)大量的時(shí)間來(lái)生成網(wǎng)格;如果界面隨著時(shí)間移動(dòng),不需要對(duì)每一時(shí)間層重新生成網(wǎng)格,極大地減少了算法的復(fù)雜度和計(jì)算時(shí)間。浸入邊界方法將一個(gè)具有幾何形狀復(fù)雜且不停跳動(dòng)的心臟模擬放到一個(gè)矩形盒中,利用Dirac delta函數(shù)作為源分布取代原來(lái)復(fù)雜的邊界條件。浸入邊界方法雖然簡(jiǎn)單、具有魯棒性,但它是一個(gè)正則化的方法,只有一階精度。圍繞提高浸入邊界方法的精度,不少學(xué)者做了很多的研究工作。Lin等人[7]針對(duì)穩(wěn)態(tài)二維Stokes界面問(wèn)題提出了基于間斷Galerkin的矩形Q1/Q0浸入界面有限元方法。該方法把速度和壓力聯(lián)合在一起,通過(guò)耦合的界面跳躍條件構(gòu)造浸入界面有限元空間。這也意味著,離散空間里的速度和壓力也是耦合在一起的,這增加了程序?qū)崿F(xiàn)的難度。該方法的穩(wěn)定性和最優(yōu)收斂精度只是通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)去說(shuō)明,其理論證明目前還欠缺。接著,Lin等人[8]利用該方法求解了帶有移動(dòng)界面的二維Stokes問(wèn)題。該方法的穩(wěn)定性、收斂性、以及如何推廣到三維Stokes、Navier-Stokes界面問(wèn)題還有待研究。

    3 研究展望

    仍然有很多待解決的關(guān)鍵問(wèn)題:(1)最優(yōu)控制問(wèn)題求解區(qū)域?yàn)榄h(huán)形域時(shí),有限體積方法中傳統(tǒng)的一致網(wǎng)格使得計(jì)算代價(jià)太昂貴,構(gòu)造一個(gè)合適的計(jì)算網(wǎng)格,用最小的代價(jià)取得預(yù)期的計(jì)算精度是求解過(guò)程中比較關(guān)鍵的一個(gè)問(wèn)題。(2)對(duì)于邊界控制問(wèn)題,最優(yōu)控制的正則性降低,限制了我們使用有限元空間的多項(xiàng)式次數(shù),為了得到整體超收斂的結(jié)果,采用一定的插值后處理技巧是比較關(guān)鍵的問(wèn)題。(3)由于系數(shù)在界面處產(chǎn)生間斷,偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題的解跨過(guò)界面上有跳躍,而且其導(dǎo)數(shù)也不連續(xù),在構(gòu)造計(jì)算網(wǎng)格時(shí),允許界面穿過(guò)某些單元的內(nèi)部,這樣如果在這些單元上面還用傳統(tǒng)的多項(xiàng)式函數(shù)去逼近,則逼近效果不好,甚至?xí)霈F(xiàn)錯(cuò)誤。如何在這些單元上構(gòu)造出好的逼近函數(shù)是需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。(4)如果考慮非穩(wěn)態(tài)且界面移動(dòng)的情形,那么溫度場(chǎng)在時(shí)間方向上也存在著跳躍。在離散時(shí)間導(dǎo)數(shù)的時(shí)候,如果使用傳統(tǒng)的時(shí)間離散方法,比如說(shuō)Crank-Nicolson格式,那么離散精度會(huì)損失,甚至不能得到正確的結(jié)果。如何修正傳統(tǒng)的Crank-Nicolson格式,使得精度不損失也是需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

    參考文獻(xiàn):

    [1]龔偉,劉會(huì)坡,嚴(yán)寧寧.最優(yōu)控制問(wèn)題的有限元高精度分析及其應(yīng)用——獻(xiàn)給林群教授80華誕[J].中國(guó)科學(xué):數(shù)學(xué),2015,45(7):953-974.

    [2]F.Trltzsch.Optimal control of partial differential equations:theory,methods,and applications,volume 112.American Mathematical Soc.,2010.

    [3]張倩.幾類PDE約束最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值方法研究[D].南京師范大學(xué),2016.

    [4]T.Apel and D.Sirch.A priori mesh grading for distributed optimal control problems.In Constrained Optimization and Optimal Control for Partial Dif-ferential Equations,pages 377-389.Springer,2012.

    [5]蘇夢(mèng)雅.橢圓偏微分方程分布與Neumann邊界控制約束問(wèn)題的有限體積元方法[D].南京師范大學(xué),2019.

    [6]覃燕梅,李輝,馮民富.Navier-Stoke方程最優(yōu)控制問(wèn)題的一種非協(xié)調(diào)有限元局部穩(wěn)定化方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2016,037(008):842-855.

    [7]S.Adjerid,N.Chaabane,L.Lin.An immersed discontinuous finite element method for Stokes interface problems,Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.,2015,293,170-190.

    [8]S.Adjerid,N.Chaabane,L.Lin,and P.Yue.An immersed discontinuous finite element method for the Stokes problem with a moving interface,J.Comput.Appl.Math.,2019,362,540-559.

    作者簡(jiǎn)介:張倩(1988—),女,漢族,河南中牟縣人,博士,講師,研究方向:偏微分方程數(shù)值解。

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