基于ARFIMA模型的鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)研究

陳 雪，申建紅,2*，徐文慧，朱 琛

(1.青島理工大學(xué) 管理工程學(xué)院，山東 青島 266520；2.山東省高校智慧城市建設(shè)管理研究中心，山東 青島 266520)

近年來，隨著我國(guó)城鎮(zhèn)化步伐的加快，建筑產(chǎn)業(yè)不斷發(fā)展，工程承包企業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈。鋼材作為工程建設(shè)的主要原材料，其價(jià)格直接影響著工程承包企業(yè)的成本和利潤(rùn)?？茖W(xué)合理地運(yùn)用價(jià)格預(yù)測(cè)技術(shù)，準(zhǔn)確把握鋼材價(jià)格的變化趨勢(shì)，是工程承包企業(yè)制定合理采購策略和庫存優(yōu)化的依據(jù)。

目前，國(guó)內(nèi)外針對(duì)鋼材價(jià)格的預(yù)測(cè)研究相對(duì)薄弱。陳海鵬等人綜合考慮螺紋鋼原材料結(jié)算價(jià)與貨幣匯率等因素對(duì)螺紋鋼價(jià)格變動(dòng)的影響，提出了一種基于嶺估計(jì)法的線性回歸預(yù)測(cè)模型，通過與未來螺紋鋼的交易價(jià)格進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，得到該模型預(yù)測(cè)精度較高[1]。陳希等人針對(duì)鋼材價(jià)格變動(dòng)性較大的現(xiàn)象，利用Levenberg-Marquardt方法改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)模型，同時(shí)結(jié)合1990—2008年的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示所建立的鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)模型有較好的預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度[2]。胡六星為提高工程造價(jià)效率以鋼材價(jià)格為研究對(duì)象，在提煉出其趨勢(shì)項(xiàng)的基礎(chǔ)上利用殘差序列建立了自回歸移動(dòng)平均模型(Auto-Regressive Moving Average Model，ARMA)，并應(yīng)用該模型對(duì)鋼材價(jià)格進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，同時(shí)結(jié)合真實(shí)價(jià)格進(jìn)行精度驗(yàn)證，得到其預(yù)測(cè)結(jié)果誤差低于5%[3]。王雪飛等人通過建立差分自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average model，ARIMA)，對(duì)多種鋼材價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該模型的短期預(yù)測(cè)效果較好[4-5]。王松等人應(yīng)用廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型與ARMA模型相結(jié)合的組合模型對(duì)近十六年Myspic鋼材價(jià)格的變動(dòng)率進(jìn)行實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)鋼材價(jià)格的時(shí)間序列中含有著明顯的長(zhǎng)短記憶特征[6]。Kaijian He等人對(duì)初始時(shí)間序列進(jìn)行空間重構(gòu)，并采用曲線去噪方法分離和剔除噪聲干擾，實(shí)現(xiàn)了對(duì)原始時(shí)間序列中的動(dòng)態(tài)混沌數(shù)據(jù)特征進(jìn)行建模。其所提出的模型在統(tǒng)計(jì)上比傳統(tǒng)的標(biāo)桿模型具有更強(qiáng)的魯棒性[7]。Tsung-Yin Ou等人提出了一種極限學(xué)習(xí)機(jī)器(ELM)法與灰色關(guān)聯(lián)分析(GRA)法相結(jié)合的材料價(jià)格組合預(yù)測(cè)模型，其預(yù)測(cè)能力優(yōu)于ARIMA和GARCH模型，可以更準(zhǔn)確、快速地預(yù)測(cè)原材料價(jià)格[8]。

目前關(guān)于鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)的研究只考慮了鋼材價(jià)格變動(dòng)的短記憶性，并未考慮其價(jià)格變動(dòng)的長(zhǎng)記憶性對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。為此，本文從螺紋鋼價(jià)格時(shí)間序列出發(fā)，引入鋼材價(jià)格變動(dòng)的長(zhǎng)記憶性指標(biāo)，從而建立了基于分?jǐn)?shù)差分自回歸移動(dòng)平均(Autoregressive fractionally integrated moving average，ARFIMA)模型的鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)模型，通過對(duì)鋼材價(jià)格時(shí)間序列變動(dòng)特性的分析并借助MATLAB軟件編程進(jìn)行了鋼材價(jià)格的預(yù)測(cè)[9]。并利用ARFIMA模型和ARIMA模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，ARFIMA模型的鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度更高。

1 基本模型

1.1 ARMA及ARIMA模型

ARMA模型可認(rèn)為由自回歸模型(AR)和移動(dòng)平均模型(MA)組成，通常可記為ARMA(p,q)，其形式為：

Xt=φ0+φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+

εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

(1)

式中：{εt}是白噪聲序列，p為自回歸模型階數(shù)，q為移動(dòng)平均模型階數(shù)，φ1,φ2,…,φp和θ1,θ2,…,θq為參數(shù)，且φp≠0,θq≠0。

若使用后移算子B表示，ARMA模型可簡(jiǎn)寫為：

Φ(B)Xt=Θ(B)εt

(2)

BXt=Xt-1

(3)

ARMA模型適合于分析平穩(wěn)時(shí)間序列，即其均值不受時(shí)間影響且方差收斂的狹義平穩(wěn)過程。目前，由于多數(shù)時(shí)間序列呈現(xiàn)出非平穩(wěn)性，因此ARMA模型不再適用。而ARIMA模型則適用于分析非平穩(wěn)時(shí)間序列，它是在ARMA模型的基礎(chǔ)上加入差分處理，通過剔除時(shí)間序列中非平穩(wěn)趨勢(shì)，得到平穩(wěn)時(shí)間序列，從而展開分析研究。其模型ARIMA(p,d,q)形式為：

φ(L)(1-L)dXt=θ(L)εt

(4)

式中：L為滯后算子，d為差分參數(shù)，{εt}是白噪聲序列，φ(L)和θ(L)分別為p階與q階平穩(wěn)的滯后算子，可表示為：

φ(L)=1-φ1L-φ2L2-…-φpLp

(5)

θ(L)=1-θ1L-θ2L2-…-θqLq

(6)

式中：p,d,q均為非負(fù)整數(shù)。

1.2 ARFIMA模型

在ARIMA模型中，當(dāng)0

(7)

對(duì)于任何d>-1的實(shí)數(shù)，上式都可以用一個(gè)超幾何函數(shù)表示為：

(8)

式中：Γ(x)為Gamma函數(shù)。差分參數(shù)d可以通過赫斯指數(shù)(H)來確定[10]，d=H-0.5。

對(duì)于一個(gè)由N個(gè)數(shù)值組成的時(shí)間序列集合Xt，將其劃分成長(zhǎng)度為n的m個(gè)子序列，并將這m個(gè)子序列的均值都定義為：

(9)

式中：xk,l為第l個(gè)時(shí)間序列中第k個(gè)觀測(cè)量。

計(jì)算每個(gè)子序列的累計(jì)均值離差為：

(10)

根據(jù)上式，計(jì)算出每個(gè)子序列的極差為：

(11)

則其重標(biāo)極差均值可表示為：

(12)

式中：Sl表示第l個(gè)子序列的標(biāo)準(zhǔn)差為：

(13)

如果時(shí)間序列滿足：

(R/S)n=αnH

(14)

則該時(shí)間序列符合赫斯特率，式中，α為系數(shù)，H為赫斯指數(shù)。其中H可以由公式(14)兩側(cè)取對(duì)數(shù)，并結(jié)合最小二乘法擬合得到。當(dāng)0≤H<0.5時(shí)，則表示時(shí)間序列具有反持久性，其表現(xiàn)出強(qiáng)烈的異變特性；當(dāng)H=0.5時(shí)，則表示時(shí)間序列為隨機(jī)序列；當(dāng)0.5

因此，ARFIMA模型能夠避免過度差分，最大限度地保留時(shí)間序列在低頻處的信息，更適用于具有長(zhǎng)記憶性的時(shí)間序列分析研究。

2 基于ARFIMA模型的鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)

本文在借助SPSS軟件缺失值分析功能對(duì)鋼材價(jià)格原始數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)齊的基礎(chǔ)上，通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)、長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)、數(shù)據(jù)擬合等過程利用ARFIMA模型對(duì)青島市直徑為18 mm的HRB400螺紋鋼價(jià)格進(jìn)行了分析預(yù)測(cè)，同時(shí)結(jié)合ARIMA模型對(duì)該鋼材價(jià)格的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

2.1 原始數(shù)據(jù)處理

本文數(shù)據(jù)選用青島市2014年1月1日到2019年6月30日直徑18 mm的HRB400鋼材價(jià)格作為研究對(duì)象。共采集到樣本數(shù)據(jù)1 875個(gè)，由于各種因素導(dǎo)致收集的原始數(shù)據(jù)存在部分缺失，共缺失131個(gè)。

為保證預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文采用SPSS軟件缺失值分析功能對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，并在此基礎(chǔ)上將數(shù)據(jù)補(bǔ)齊。其中單變量統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1，通過SPSS數(shù)據(jù)分析中的多變異分析(MVA)得到鋼材價(jià)格變動(dòng)時(shí)間序列服從正態(tài)分布，且多變量檢驗(yàn)(Little's MCAR)的顯著性水平小于5%，由此可判斷原始數(shù)據(jù)為隨機(jī)缺失型數(shù)據(jù)。本文采用期望-最大似然估計(jì)法(EM)對(duì)存在缺失的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行填補(bǔ)。

表1 單變量統(tǒng)計(jì)

2.2 ARFIMA模型

利用經(jīng)數(shù)據(jù)處理后的鋼材日價(jià)格共得到287個(gè)周價(jià)格樣本作為初始時(shí)間序列，記為Xt。圖1為利用SPSS軟件對(duì)該時(shí)間段內(nèi)青島市直徑為18 mm的HRB400螺紋鋼價(jià)格數(shù)據(jù)繪制的時(shí)序圖，其價(jià)格在早期呈現(xiàn)出下降趨勢(shì)，后期呈現(xiàn)出上升趨勢(shì)，初步識(shí)別為非平穩(wěn)時(shí)間序列。并利用單位根檢驗(yàn)-ADF方法檢驗(yàn)時(shí)間序列Xt是否含有單位根。

圖1 螺紋鋼價(jià)格時(shí)序圖

單位根檢驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，初始時(shí)間序列Xt檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于各個(gè)臨界值，此時(shí)原假設(shè)成立，即認(rèn)為初始時(shí)間序列Xt是非平穩(wěn)時(shí)間序列。

圖2 時(shí)間序列Xt的ADF檢驗(yàn)結(jié)果

2.3 長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)

圖3為時(shí)間序列Xt的自相關(guān)函數(shù)圖，圖中表明鋼材價(jià)格的變動(dòng)沒有明顯的季節(jié)性變化，且自相關(guān)系數(shù)逐漸減小呈緩慢下降的趨勢(shì)，在滯后80階后才開始小于0，表現(xiàn)出長(zhǎng)期相關(guān)特性，可初步判斷時(shí)間序列Xt含有一定程度的長(zhǎng)記憶性。根據(jù)公式(8)—公式(13)計(jì)算得到H為0.835，赫斯指數(shù)大于0.5進(jìn)一步表明時(shí)間序列Xt確實(shí)具有較強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性。

圖3 時(shí)間序列Xt自相關(guān)函數(shù)圖

2.4 模型建立

將樣本數(shù)據(jù)分為兩部分，取2014年1月1日到2019年5月12日的周價(jià)格數(shù)據(jù)，即前280個(gè)樣本數(shù)據(jù)作為建模序列，記為Yt，用來構(gòu)建ARFIMA模型和確定模型參數(shù)。取2019年5月13日至2019年6月30日的周價(jià)格數(shù)據(jù)，即后7個(gè)樣本數(shù)據(jù)用來驗(yàn)證所建立的ARFIMA模型的可行性與精確度。

應(yīng)用R/S分析法求得時(shí)間序列Yt的赫斯指數(shù)為0.835，則所建模型中的分?jǐn)?shù)差分參數(shù)d為0.335。對(duì)時(shí)間序列Yt進(jìn)行分?jǐn)?shù)差分剔除其中存在的長(zhǎng)記憶性，從而獲得只含有短記憶的時(shí)間序列，記為Zt。圖4為時(shí)間序列Zt的時(shí)序圖，由圖可知經(jīng)分?jǐn)?shù)差分后的時(shí)間序列Zt中的數(shù)據(jù)基本圍繞基準(zhǔn)線零線進(jìn)行上下波動(dòng)，并不存在顯著的趨勢(shì)或周期，此時(shí)可初步判斷時(shí)間序列Zt已達(dá)到平穩(wěn)。

圖4 時(shí)間序列Zt時(shí)序圖

采用ADF方法檢驗(yàn)時(shí)間序列Zt是否還含有單位根，結(jié)果如圖5所示，可以看出經(jīng)過分?jǐn)?shù)差分處理后的時(shí)間序列Zt檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于各個(gè)臨界值，此時(shí)可判斷該時(shí)間序列為平穩(wěn)時(shí)間序列。通過利用混成檢驗(yàn)(LB)法對(duì)該時(shí)間序列純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn)，可知在前6階和前12階延遲下Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值均小于0.05，于是時(shí)間序列Zt為純隨機(jī)序列的假設(shè)不成立，即認(rèn)為時(shí)間序列Zt屬于非白噪聲序列。

圖5 時(shí)間序列Zt的ADF檢驗(yàn)結(jié)果

通過分?jǐn)?shù)差分處理后的時(shí)間序列Zt的自相關(guān)系數(shù)在滯后2階時(shí)其值小于2倍的標(biāo)準(zhǔn)差，同時(shí)偏自相關(guān)系數(shù)在滯后1階時(shí)其值小于2倍的標(biāo)準(zhǔn)差，于是可以確定模型參數(shù)p=2,q=1。由此可建立模型為ARFIMA(2,0.335,1)，并對(duì)時(shí)間序列Zt進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，同時(shí)采用LB檢驗(yàn)其殘差序列，可知在前6階和前12階延遲下Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值均大于0.05，此時(shí)認(rèn)為該殘差序列是白噪聲序列，即可表明ARFIMA(2,0.335,1)是顯著有效的。為了與ARIMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，本文同時(shí)利用ARIMA模型對(duì)時(shí)間序列Yt進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，模型參數(shù)對(duì)比如表2所示。

表2 ARFIMA和ARIMA模型參數(shù)估計(jì)值

2.5 模型預(yù)測(cè)

為了驗(yàn)證ARFIMA模型的適用性，根據(jù)以上模型參數(shù)估計(jì)，確定以ARFIMA(2,0.335,1)模型對(duì)直徑為18 mm的HRB400鋼材價(jià)格進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)。圖6為ARFIMA(2,0.335,1)模型的擬合預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值的比較，結(jié)果顯示ARFIMA(2,0.335,1)具有很好的擬合效果。

本文通過分別利用ARIMA模型和ARFIMA模型對(duì)2019年5月13日至2019年6月30日，7周的鋼材周價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，同時(shí)結(jié)合7周的真實(shí)值進(jìn)行累計(jì)差值和相對(duì)誤差的精度驗(yàn)證，如表3所示。從表中可以看出，ARIMA模型預(yù)測(cè)值較真實(shí)值的累計(jì)差值為777元，平均相對(duì)誤差為2.08%；ARFIMA模型預(yù)測(cè)值較真實(shí)值的累計(jì)差值為175元，平均相對(duì)誤差為0.38%。綜上所述，在鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)中ARFIMA模型較ARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果精度更高。

表3 ARFIMA模型和ARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果

圖6 ARFIMA(2,0.335,1)模型預(yù)測(cè)擬合圖

3 結(jié)論

本文以2014年1月～2019年6月青島市直徑18 mm的HRB400鋼價(jià)格數(shù)據(jù)為樣本，建立了ARFIMA(2,0.335,1)鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)模型，并與ARIMA模型進(jìn)行對(duì)比分析，得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

1)ARFIMA模型中的分?jǐn)?shù)差分較ARIMA模型的整數(shù)差分能更好地保證鋼材價(jià)格原始時(shí)間序列信息的完整性，避免有效信息的缺失。

2)螺紋鋼價(jià)格時(shí)間序列具有較強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性，ARFIMA模型在保持ARIMA短期預(yù)測(cè)精度的基礎(chǔ)上，充分考慮了鋼材價(jià)格變動(dòng)的長(zhǎng)記憶性。

3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，ARFIMA模型預(yù)測(cè)值較真實(shí)值平均相對(duì)誤差僅為0.38%，相較于ARIMA模型的鋼材價(jià)格預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度提高了1.7%，且模型擬合度更高、預(yù)測(cè)效果更穩(wěn)定。對(duì)于房地產(chǎn)企業(yè)及時(shí)掌握市場(chǎng)動(dòng)向，降低庫存資金占用率，制定短期鋼材采購計(jì)劃有一定的參考意義。