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    2020年復(fù)旦大學(xué)強基計劃數(shù)學(xué)試題及其詳解

    2020-10-19 09:21:56甘志國
    數(shù)理化解題研究 2020年28期
    關(guān)鍵詞:繞點偶函數(shù)奇函數(shù)

    甘志國

    (北京市豐臺二中 100071)

    試題及其解答是筆者由華清園教育(http://gk.qhyedu.com/qhy/20200714/98185.html)等公開的內(nèi)容整理而成的.

    1.已知直線m:xcosα-y=0和直線n:3x+y-c=0,則( ).

    A.m和n可能重合

    B.m和n不可能垂直

    C.直線m上存在點P,使得直線n繞點P旋轉(zhuǎn)后與直線m重合

    D.以上都不對

    2.Given two sets A:{1,2,3,4,5} and B:{3,4,5,6,7},then the intersection set ofAandBis( ).

    A.{1,2} B.{3,4,5}

    C.{1,2,3,4,5,6,7} D.{6,7}

    3.若實數(shù)x,y滿足x2+2xy-1=0,則x2+y2最小值為____.

    5.Which number that number 5 is the cubic root of ?

    A.3 B.5 C.25 D.125

    7.已知拋物線x=3y2的焦點為F,若該拋物線在點A處的切線與直線AF的夾角為30°,則點A的橫坐標為____.

    12.在△ABC中,已知AB=9,BC=6,CA=7,則BC邊上中線長為____.

    14. 若關(guān)于x的實系數(shù)一元三次方程x3+ax2+4x+5=0有一個根是純虛數(shù),則a=____.

    A.0 B.1 C.-1 D.與a有關(guān)

    圖1

    18.如圖1所示,在凸四邊形ABCD中,∠BAC=∠BDC是∠DAC=∠DBC的____.

    A.充分不必要條件

    B.必要不充分條件

    C.充要條件

    D.既不充分也不必要條件

    19.如圖2所示,平面內(nèi)兩條直線l1,l2交于點O,M為該平面內(nèi)的任意一點.若點M到直線l1,l2的距離分別為p,q,則稱(p,q)是點M的“距離坐標”.p,q是已知的非負常數(shù),給出下列三個結(jié)論:

    圖2

    (1)若p=q=0,則“距離坐標”為(0,0)的點有且僅有1個;

    (2)若pq=0,且p+q≠0,則“距離坐標”為(p,q)的點有且僅有2個;

    (3)若pq≠0,則“距離坐標”為(p,q)的點有且僅有4個.

    其中正確結(jié)論的個數(shù)是____.

    A.0 B.1 C.2 D.3

    20.若函數(shù)f(x)=3x-3-x的反函數(shù)為y=f-1(x),則g(x)=f-1(x-1)+1在[-3,5]上的最大值和最小值的和為____.

    A.0 B.1 C.2 D.4

    21.若k>4,則直線kx-2y-2k+8=0與2x+k2y-4k2-4=0與兩條坐標軸圍成的四邊形面積的取值范圍是____.

    圖3

    22.如圖3所示,已知A,B,C,D四點共圓,且AB=1,CD=2,AD=4,BC=5,則PA=____.

    A.8 B.7 C.6 D.6或7

    24.給定5個函數(shù),其中3個是奇函數(shù)但不是偶函數(shù),2個是偶函數(shù)但不是奇函數(shù),則在這5個函數(shù)中任意取3個,其中既有奇函數(shù)又有偶函數(shù)的概率為____.

    25.方程5ρcosθ=4ρ+3ρcos2θ所表示的曲線形狀是____.

    26.在平面直角坐標系xOy中,把點(4,5)繞點(1,1)順時針旋轉(zhuǎn)60°,所得的點的坐標為____.

    27.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2=1,若|x+2y-a|+|a+6-x-2y|的值與x,y的取值無關(guān),則a的取值范圍是____.

    圖4

    28.某公司安排甲、乙、丙等7人完成除夕到大年初六共7天的值班任務(wù),每人值班一天.已知甲不值第一天,乙不值第二天,甲和丙在相鄰兩天值班,則不同的安排方式共有____種.

    29.若函數(shù)f(x)的圖象如圖4所示,則函數(shù)f(f(x))的圖象大致為____.

    29.解法1 B.設(shè)g(x)=f(f(x)).由f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱不關(guān)于坐標原點對稱,可得f(x)是偶函數(shù)不是奇函數(shù),所以可得g(x)也是偶函數(shù)不是奇函數(shù),從而可排除選項A,D.

    可得g(1)=f(f(1))=f(0)=-1<0,可排除選項C.

    31.方程3x+4y+12z=2020的自然數(shù)解的組數(shù)為____.

    32.已知m,n∈Z,且0≤n≤11.若22020+32021=12m+n,則n=____.

    A.4 B.7 C.10 D.13

    33.下列不等式恒成立的是 ( ).

    參考答案

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