高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題的解題技巧

范國(guó)棟

(江蘇省濱海中學(xué) 224000)

數(shù)列知識(shí)一直以來(lái)都是數(shù)學(xué)考核中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是每年高考的必考環(huán)節(jié)，若能夠掌握其中規(guī)律，適當(dāng)運(yùn)用一定的解題技巧，則能夠有效提高解題效率，增強(qiáng)解題的正確率.下文結(jié)合高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)列問(wèn)題類(lèi)型，逐一提出了相應(yīng)的解題技巧，以便于同學(xué)們能夠進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)，掌握解題思路，克服在數(shù)列問(wèn)題解題中遇到的困難.

一、錯(cuò)位相減法

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題的探索過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)，“錯(cuò)位相減法”是同學(xué)們使用頻率較高的一種解題方法.在解題過(guò)程中，若遇到等比數(shù)列求和問(wèn)題、等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘的求和問(wèn)題，就可以選擇錯(cuò)位相減法.一般情況下，建議在遇到數(shù)列問(wèn)題時(shí)首先運(yùn)用錯(cuò)位相減法，先在等式的兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，之后再將兩個(gè)等式相減，最后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)的總和公式求和，以此完成解題.在這一過(guò)程中，一定要先掌握數(shù)列的相關(guān)規(guī)律，才能夠更靈活的運(yùn)用解題方法.

舉例分析，題目為：

已知Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1,其中x≠0且x≠1,求和Sn.

分析：結(jié)合題目可知這一題目的通項(xiàng)為等差數(shù)列的通項(xiàng){2n-1}與等比數(shù)列的通項(xiàng){xn-1}之積，是{(2n-1)xn-1}.

該等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比x,得xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn.

之后，再將原式與該式兩邊相減，

可得到：

(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-(2n-1)xn.

之后，再利用等比數(shù)列的求和公式，

可以得到：

一般來(lái)說(shuō)，若需要推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式時(shí)，就可以使用此種解題方法.

二、倒序相加求和法

倒序相加求和法可以簡(jiǎn)單理解為：與數(shù)列首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和與首末兩項(xiàng)之和相等，則可以將“正”、“反”序兩個(gè)和式相加，得到常數(shù)列的和，則是可以將這種方法稱為“倒序相加求和法”.這種方法可以運(yùn)用于“求等差數(shù)列”的數(shù)列問(wèn)題中.

舉例分析，題目為：

求1+2+3+4+…+n的值.

解題：可以記

S=1+2+3+4+…+(n-1)+n，

S=n+(n-1)+…+4+3+2+1，

則可得到：

2S=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)

=n(n+1)，

結(jié)合上述題目與解題過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，在求1+2+3+…+n的過(guò)程中，反序相加求和是其基本的解題思想，綜合考量這一題目的對(duì)稱項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)稱項(xiàng)之和為n+1.因此，就不難以想到利用這種方法求解，這樣做能夠有效避免很多復(fù)雜繁瑣的解題步驟，只要同學(xué)們能夠?qū)Ω鱾€(gè)小項(xiàng)合理配對(duì)，就能夠有效求出公式之和.

三、并項(xiàng)求和法

在數(shù)列問(wèn)題的探索過(guò)程中，很多時(shí)候我們并不能夠幸運(yùn)地遇到能夠運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解的題目，此時(shí)可以結(jié)合題目的實(shí)際情況，比如：已知條件、求解方向、題目公式中的內(nèi)部規(guī)律等，把握題目的類(lèi)型，若發(fā)現(xiàn)這些項(xiàng)與特殊項(xiàng)之間存在聯(lián)系，有時(shí)可以選擇并項(xiàng)求和法進(jìn)行解題.并項(xiàng)求和法就是結(jié)合具體的數(shù)列，將題目中的某些具有關(guān)聯(lián)的項(xiàng)合并在一起，促使其具備某種特殊的性質(zhì).因此，使用合并求和法解題，則可以將題目中的項(xiàng)放到一起先求和，之后再解決“Sn”的問(wèn)題.

舉例分析，題目為：cos1°+cos2°+cos3°+cos4°+…+cos178°+cos179°，求Sn.

結(jié)合題目可知其內(nèi)在聯(lián)系為各項(xiàng)同名：“cos”，各角成等差數(shù)列，對(duì)稱兩項(xiàng)的角度的和為180°,則可以先尋找特殊項(xiàng)，之后利用合并求和法，先求各項(xiàng)之和，之后再求Sn.

具體過(guò)程為：

∵cosn°=-cos(180°-n°),

∴Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+(cos4°+cos176°)+…+(cos88°+cos92°)+cos90°=0.

四、分組求和法

分組求和法可以運(yùn)用到一些特殊的數(shù)列問(wèn)題解題過(guò)程中，比如：若某種數(shù)列無(wú)法從表面上發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律以此判定是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，則可以將數(shù)列根據(jù)一定方法進(jìn)行拆解，以便于掌握其中的內(nèi)在聯(lián)系，最終求解，這種數(shù)列問(wèn)題就可以使用分組求合法.

Sn=(2+4+6+…+2n)

結(jié)合數(shù)列問(wèn)題，同學(xué)們一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，若公式能夠滿足“拆分成若干項(xiàng)的和，且這些項(xiàng)的和能夠構(gòu)成等比數(shù)列或者等差數(shù)列”，就可以使用分組求求和法.

總而言之，數(shù)列問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)問(wèn)題體系中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是不少人解題過(guò)程中的“痛點(diǎn)”.因此，同學(xué)們要結(jié)合具體的數(shù)列問(wèn)題題目情況，根據(jù)已知條件與求解方向，靈活選擇使用上述的錯(cuò)位相減法、反序相加法求和法、合并求和法、分組求和法，從而克服解題過(guò)程中的困難，順利解題，在考試中取得良好的成績(jī).