利用雙線性應(yīng)力-應(yīng)變模型求解管道爆裂壓力

杜改平

（太原鍋爐集團(tuán)， 山西 太原 030008）

引言

解析解在力學(xué)的各個領(lǐng)域都有價值，為數(shù)值模擬程序的建立以及實(shí)驗(yàn)程序和裝置的校準(zhǔn)提供了基礎(chǔ)。當(dāng)解析解不能用數(shù)學(xué)方法描述時，可以使用數(shù)值模型或?qū)嶒?yàn)測量等基本方案解決。如在缺口效應(yīng)區(qū)域，存在平板中圓形或橢圓形孔的應(yīng)力分布狀態(tài)的解[1]。數(shù)值模擬求解了較為復(fù)雜的切口形狀的解析解。在壓力容器領(lǐng)域中，對于承受內(nèi)部壓力的圓柱形容器有解析解。解在彈性和彈塑性區(qū)域都是已知的。在本文中，解析解以彈塑性容器中直至破壞的受壓圓柱容器的縮寫形式提供，從而可以為使用的雙線性材料模型計算爆破壓力。腐蝕引起的局部壁厚減薄，可以通過數(shù)值模擬來解決，該數(shù)值模擬通過具有理想幾何形狀的壓力容器的解析解進(jìn)行驗(yàn)證。

蒸汽鍋爐在目前的生產(chǎn)和應(yīng)用中使用非常廣泛，本文以鍋爐汽水管道的變徑管道為例，由于鍋爐在運(yùn)行過程中，會產(chǎn)生壓力和腐蝕破壞，以往對鍋爐管道形變分析通常以熱應(yīng)變進(jìn)行分析，本文對管道進(jìn)行數(shù)學(xué)模型分析和三維應(yīng)力分析，再進(jìn)行爆破試驗(yàn)和腐蝕件試驗(yàn)，從而得到一個符合實(shí)際情況的結(jié)果，對鍋爐管道在運(yùn)行工作狀態(tài)中起到參考作用，從而減少爆管情況的發(fā)生。

1 壓力容器的彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)的求解

在鍋爐汽水管道中，變徑管道通常使用合金鋼鑄造，連接處采用焊接，在實(shí)際運(yùn)行過程中，由于工質(zhì)水受熱在汽化過程中體積會發(fā)生膨脹，從而對管路系統(tǒng)造成一定的沖擊，導(dǎo)致管道容易發(fā)生一系列形變[2]。因此在彈塑性應(yīng)力和應(yīng)變的推導(dǎo)過程中，應(yīng)考慮到材料的不可壓縮（v=0.5）和材料的塑性應(yīng)變發(fā)生在總體積不變的情況，并且材料的體積變化始終是彈性變化的狀態(tài)。如圖1所示，z軸沿容器軸方向定向，r1和r2分別為彈性區(qū)域和塑性區(qū)域的邊界處的半徑。

圖1 內(nèi)壓作用下圓柱形容器壁單元受力及變形

根據(jù)小彈塑性變形理論（均勻各向同性材料的擴(kuò)展胡克定律），圖1為內(nèi)壓作用下圓柱形容器壁單元受力及變形。我們可以將方程寫成：

式中：εr為徑向應(yīng)變；εt為切向應(yīng)變；εz為軸向應(yīng)變；εi為正應(yīng)變；σr為徑向應(yīng)力；σt為切向應(yīng)力；σz為軸向應(yīng)力；σi為正應(yīng)力。

正應(yīng)力強(qiáng)度（有效應(yīng)力）與應(yīng)力偏差的第2個不變量有關(guān)，如公式（2）所示：

式中：τi為切應(yīng)力；I2為力矩；Dσ為應(yīng)力面積；σ1為徑向應(yīng)力；σ2為切向應(yīng)力；σ3為軸向應(yīng)力。

選擇法向應(yīng)力的強(qiáng)度，以獲得最大張力σ1=σi應(yīng)變強(qiáng)度（有效應(yīng)變）由以下公式給出：

式中：Dε為應(yīng)變面積；ε1為徑向應(yīng)變；ε2為切向應(yīng)變；ε3為軸向應(yīng)變。

式中：P0為中心受力；r1為內(nèi)徑；r3為外徑；r為中徑。

作用于上頁圖1元件上的平衡方程可寫為：

式中：dφ為角度變量；dσr為應(yīng)力變量；dr為半徑變量。

利用式（4）和式（5）求法向力方程：

式中：p1為內(nèi)部壓力；p2為外部壓力。

根據(jù)式（2）求應(yīng)力強(qiáng)度：

根據(jù)式（3）求應(yīng)變強(qiáng)度：

式中：u為變形量；du為單位變形量。

消去u，可得到應(yīng)變的微分方程：

式中：dεt為單位切向應(yīng)變

通過對式（9）求解，我們得到了以r2為半徑的封閉圓柱容器的基本方程：

式中：dεt為單位徑向應(yīng)變；σK為材料應(yīng)力臨界值；r2為形變半徑；G為材料剪切模量。

以σi=f（εi）的函數(shù)形式計算切向應(yīng)力和徑向應(yīng)力，圖2為拉伸有效解析雙線性材料模型。

式中：h為應(yīng)力比值。

將關(guān)系（12）放入等式（11），并應(yīng)用物理上清晰的邊界條件：

可以在彈性塑性區(qū)域r1≤r≤r2獲得徑向和切向應(yīng)力的關(guān)系：

圖2 雙線性材料模型參數(shù)

式中：σrp為塑性區(qū)域徑向應(yīng)力；σtp為塑性區(qū)域切向應(yīng)力。

通過方程得到了應(yīng)力和應(yīng)變之間的函數(shù)關(guān)系，作為后文比較依據(jù)。

2 爆破壓力求解

本節(jié)內(nèi)容將確定壓力容器的爆破壓力，由于鍋爐管道的爆管情況發(fā)生較多，本節(jié)內(nèi)容的管道是在沒有缺陷的情況下發(fā)生爆裂。為了確定爆破壓力，必須考慮容器的整個橫截面是否處于可塑狀態(tài)[3]，因?yàn)殄仩t管道受熱產(chǎn)生形變，在發(fā)生爆破的同時，管道壁溫度較高，管道通常處于可塑狀態(tài)?？梢孕薷耐茖?dǎo)方程：

對于雙線性材料模型（式12），使用應(yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度之間的關(guān)系，應(yīng)用塑化時的恒定體積條件（V=0.5）并根據(jù)邊界條件計算積分常數(shù)：

根據(jù)Hubert-Mises-Hencky準(zhǔn)則可以獲得破壞性壓力的結(jié)果關(guān)系：

式中：σred為爆破應(yīng)力。

同時根據(jù)式：

橫截面完全可塑化的爆破壓力：

本節(jié)得到了壓力容器發(fā)生過度塑性變形導(dǎo)致爆裂的數(shù)學(xué)模型，作為下文的比較依據(jù)。

3 爆破壓力的數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)解對比

利用有限元分析軟件ANSYS對管道模型進(jìn)行數(shù)值求解，該軟件有較豐富的情況模型和精確的分析結(jié)果[4]，首先選擇壓力容器的尺寸和形狀，尺寸采用130 t高壓鍋爐的主蒸汽下降管尺寸，并且外型存在焊接變徑，得到其具體數(shù)據(jù)使壓力容器在實(shí)驗(yàn)室條件下也能達(dá)到破壞壓力。選擇圓柱形管道的幾何形狀，使其在壓力下出現(xiàn)的塑性應(yīng)變發(fā)生在中間的錐形部分外底和焊縫區(qū)域。

在這個壓力容器模型中，實(shí)驗(yàn)分別測試了實(shí)驗(yàn)管道的幾何尺寸（管道縮窄的長度，管道中較粗和較薄部分的長度之比）對變形結(jié)果的影響。通過在規(guī)定焊接區(qū)域的節(jié)點(diǎn)的相同位移，分別模擬了容器底部與容器較厚部分之間的焊接效果。通過試驗(yàn)結(jié)果表明，焊接作業(yè)中所產(chǎn)生焊縫在焊縫質(zhì)量符合焊接標(biāo)準(zhǔn)的情況下[4]，對壓力容器的形變影響很小，對壓力容器錐形部分的變形影響不大，可以進(jìn)行忽略。

對材料進(jìn)行拉伸破壞實(shí)驗(yàn)，材料拉伸曲線（通過直接測量）重新計算的真實(shí)應(yīng)力近似為雙線性材料模型，如圖3。材料表現(xiàn)出正交各向異性行為，而且在材料的拉伸過程中，切向方向上的抗拉強(qiáng)度比在軸向方向上的抗拉強(qiáng)度高約10%。

圖3 用于有限元數(shù)值模擬的材料模型

測試壓力容器破裂壓力的兩個試件由150×8管道精車削制成，管道材料為碳素合金鋼，試件的尺寸內(nèi)徑為143 mm，壁厚為4 mm，焊接環(huán)面底部。實(shí)驗(yàn)過程中，首先通過電液脈動儀測得了破壞壓力容器試樣所需的油壓[5]。具體操作時在機(jī)架上夾緊直線液壓馬達(dá)（80/50/125），壓縮活塞面 5 026.5 mm2，將脈動器施加的力轉(zhuǎn)化為油壓。通過實(shí)驗(yàn)得到的破壞壓力的結(jié)果，以及143 mm內(nèi)徑和4 mm壁厚的解析關(guān)系的結(jié)果，和采用不同的比較準(zhǔn)則，以及采用有限元法建立的數(shù)值模型的結(jié)果如表1所示。

表1 爆破壓力結(jié)果

根據(jù)表1中顯示，對于圓柱容器的解析度和數(shù)值解的一致性較高，以及與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖鄬?yīng)的密閉圓柱形容器的解析解與數(shù)值也有很好的一致性[6]。實(shí)驗(yàn)確定的爆破壓力值比雙線性材料模型的解析解和數(shù)值解高出近4%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與Tresca準(zhǔn)則相比，Huber Mises-Hencky準(zhǔn)則的選擇與現(xiàn)實(shí)（對于給定類型的任務(wù)和材料）更符合實(shí)際情況。

4 有腐蝕缺陷的管子爆裂

采用與之前相同的壓力容器試樣，模擬管道在腐蝕情況下的爆裂情況。模擬情況主要有模擬面積為41 mm（25 mm寬）、24 mm、35 mm并且壁厚為壓力容器75%壁厚且方向是沿容器軸線方向減薄時的破裂壓力。所采用的材料模型、有限元模擬程序和爆破壓力的實(shí)驗(yàn)測量方法與之前的試驗(yàn)和模擬方法相同。表2為通過實(shí)驗(yàn)得到的腐蝕缺陷管道試樣的破裂壓力值。

表2 具有腐蝕缺陷的管道試樣破裂壓力的比較 MPa

最高的爆破壓力是通過實(shí)驗(yàn)獲得的真實(shí)壓力。因此可以認(rèn)為，用數(shù)學(xué)模型或者有限元分析得到的壓力可以進(jìn)行參考依據(jù)，并且存在一定的安全裕量。計算標(biāo)準(zhǔn)使用H-M-H分別以6.5%、10%和11%準(zhǔn)則的數(shù)值計算最接近這些真實(shí)值（使用Tresca準(zhǔn)則與實(shí)驗(yàn)值相比，破壞性壓力值的差異顯著）[7-8]。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系計算得出的爆破壓力值相差20%以上（標(biāo)準(zhǔn)DNV-RP-F101），相差30%以上（ASME B31G標(biāo)準(zhǔn)）。

根據(jù)ASME（美國機(jī)械工程師協(xié)會）標(biāo)準(zhǔn)（DNV）所獲得的相對較高的破裂壓力。然而，在數(shù)值模型中，所有的因素都可以被考慮進(jìn)去，以確定更接近其真實(shí)值的破壞性壓力。因此，數(shù)值模型是一種很好的工具，可以合法地幫助延長受損管段的使用壽命，從而建立更現(xiàn)實(shí)的安全價值[9]，防止破壞這些管段。通過本次試驗(yàn)和分析可以對鍋爐的汽水管路進(jìn)行預(yù)處理或者尺寸處理，保證其在運(yùn)行中的安全。