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    高職數(shù)學(xué)教學(xué)中融入教育元素的實踐與研究
    ——以極限概念教學(xué)為例

    2020-10-17 07:19:48王詠芳
    黑龍江科學(xué) 2020年19期
    關(guān)鍵詞:散性趨向于記作

    王詠芳

    (蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 太倉 215411)

    1 極限概念的引入

    引例1:莊子(前369年—前286年,戰(zhàn)國)曾寫道:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭?!碑?dāng)n越來越大時,棰越來越短,逐漸趨于0,這里從直觀上體現(xiàn)了極限思想。

    引例2:劉徽(約公元225-295年,魏晉時代人)創(chuàng)造了用“割圓術(shù)”來計算圓周率的方法,從而開創(chuàng)了我國數(shù)學(xué)發(fā)展中圓周率研究的新紀(jì)元。他從圓內(nèi)接正六邊形算起,依次將邊數(shù)加倍,以致算到內(nèi)接正3 072邊形的面積,從而得到圓周率π的近似值3.1416,后人為了紀(jì)念劉徽,稱這個數(shù)值為“徽率”。這里他已經(jīng)把極限的思想應(yīng)用于近似計算,這種方法比歐洲早了1 000多年。

    利用兩個引例,以數(shù)學(xué)文化為背景,借助科學(xué)家們的真實事跡,引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察,善于思考,善于總結(jié)。

    2 極限概念的分析與解讀

    2.1 數(shù)列極限

    數(shù)列極限的(描述性)定義:在數(shù)列{xn}中,如果當(dāng)n無限增大時,xn無限地接近于確定的常數(shù)a,則稱當(dāng)n趨向于無窮大時,數(shù)列{xn}的極限為a,也叫做數(shù)列收斂于a;否則就稱數(shù)列是發(fā)散的。

    解讀1 “n無限增大”:就是要求數(shù)列必須是無窮數(shù)列,也就是說極限問題中的數(shù)列必須是無窮數(shù)列。

    解讀2 “確定的常數(shù)a”:是指唯一的常數(shù),而后面的“否則”是指a的不唯一或不確定。

    解讀3 數(shù)列的極限只有收斂或發(fā)散,二者只居其一也必居其一。發(fā)散的數(shù)列也可以叫做不收斂的、沒有極限的,還可以叫做數(shù)列極限不存在。

    解讀4 “無限地接近于”、“趨向(于)”:這是兩個相同意義的文字描述,也是描述性定義的缺陷和不精準(zhǔn)所在。用下面兩個收斂數(shù)列解說:

    解讀5 既然是總體的變化趨勢,那么數(shù)列的前有限項的變化:變項值、去除、添加等,對數(shù)列的極限不產(chǎn)生影響,即可以有下面的定理:

    定理 數(shù)列中去除、添加有限項后的新數(shù)列,其斂散性不變。

    試想一下:{xn}與{kxn}(k≠0)的斂散性有變化嗎?

    解讀6 數(shù)列的無窮多項的變化,將導(dǎo)致斂散性發(fā)生變化。

    數(shù)列3a,a,a,…;

    當(dāng)a=0時,數(shù)列3和數(shù)列4是數(shù)列2的兩個子數(shù)列,分別為奇數(shù)項子數(shù)列和偶數(shù)項子數(shù)列,也可以說是數(shù)列2去除無窮多項后的數(shù)列,因為數(shù)列2是收斂的,所以數(shù)列3和數(shù)列4都是收斂的。

    當(dāng)a=2時,數(shù)列3和數(shù)列4仍都是收斂的,若仍分別為奇數(shù)項子數(shù)列和偶數(shù)項子數(shù)列,則原數(shù)列是發(fā)散的。

    2.2 函數(shù)極限

    2.2.1 當(dāng)x→∞時的情形

    類似地,可定義函數(shù)f(x)在x→-∞時或在x→∞時的極限。

    解讀1 在描述性定義中,自變量趨于無窮(x→∞)時的函數(shù)極限與數(shù)列極限是相似的,主要區(qū)別是:函數(shù)中自變量可以不是正整數(shù),是實數(shù)范圍;自變量的變化不要求單調(diào)的。

    解讀2 記號“x→∞”稱為“x趨向于無窮(大)”,而實際上它細(xì)分為3種情形:x取正值無限增大,記作x→+∞,稱為“趨向于正無窮”;x取負(fù)值而無限增大,記作x→-∞,稱為“趨向于負(fù)無窮”;x可取正值也可取負(fù)值,而|x|無限增大,記作x→∞,稱為“趨向于無窮”。

    2.2.2 當(dāng)x→x0時的情形

    解讀1 自變量趨向于有限數(shù)(x→x0)是指自變量x并不要求等于(取到)x0,即:函數(shù)值f(x0)的有無或大小并不影響極限存在與否。

    3 極限符號的書寫

    總之,極限的概念是有眾多可以推敲的地方,是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的場所,是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的練兵場。在教學(xué)過程中恰到好處地融入一些教育元素,使學(xué)科教育與思政教育做到和諧統(tǒng)一,更好地實現(xiàn)既教書又育人。

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