高中教師資格考試中解析幾何試題分析與思考

潘春娟，鄭 晨

2010年5月，國務院常務會議審議并通過了《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》（以下簡稱《規(guī)劃綱要》）提出：“完善并嚴格實施教師準入制度，嚴把教師入口關.國家制定教師資格標準，明確教師任職學歷標準和品行要求［1］.同年10月，國務院辦公廳發(fā)布《關于開展國家教育體制改革試點的通知》（國辦發(fā)〔2010〕48 號）提出：“開展教師資格考試改革和教師資格定期注冊試點，建立中小學新任教師公開招聘制度和辦法，探索建立教師退出機制［2］.”2011年9月，教育部率先在浙江、湖北兩省開展中小學教師資格考試改革試點工作.2013年8月，《中小學教師資格考試暫行辦法》（教師〔2013〕9 號）規(guī)定：從2015年開始，我國實行師范生與非師范生教師資格認定方式的并軌［3-4］.我國教師資格的考核與認證工作逐步走向規(guī)范之路.師范生在畢業(yè)時可自動獲取教師資格證的時代一去不復返.從改革發(fā)展歷程來看，教師資格證書制度的確立逐漸明確了教師資格考試認證程序、考核內(nèi)容、評價機制等問題，逐步奠定了教師資格考試施行的基礎，構建了教師資格考試的現(xiàn)實地位和總體框架，建立科學、公平、權威的國家教師資格考試制度.

通過對相關文獻的查閱對比，國內(nèi)研究者更多比較了美國教師資格考試及教師資格認證與我國教師資格相關政策的差異與啟示.從目前的研究成果來看，缺少面向各類學科在具體考試中的研究分析.以數(shù)學學科為例，在高中數(shù)學教師“數(shù)學學科知識與教學能力”的試卷中主要考查學生對大學及高中數(shù)學學科知識的掌握和運用，以及數(shù)學教學知識的理解情況.多數(shù)研究主要對試卷中各個模塊進行分析，但是對于某一知識點在考試中的詳細分析鳳毛麟角. 因此本文選擇對2015—2019年10 套真題進行分析，主要針對解析幾何部分的內(nèi)容，通過對學科知識與教學能力試卷整體框架、考查要求的解讀，明確命題方向；通過對解析幾何試題與題目數(shù)量情況、試題分值分布情況分析，通曉知識模塊的重點難點；通過對解析幾何典型問題的解題分析，明了解題思路和方法；以期能對課程建設與教學改革提供一些啟示［5-6］.

1 教師資格考試中解析幾何問題的情況分析

1.1 學科知識與教學能力試卷整體框架分析

中學教師資格考試的筆試部分包括“教育知識與能力”“綜合素質(zhì)”“學科知識與教學能力”三門科目.其中“學科知識與教學能力”要求教師必須掌握大學、高中學科知識、課程知識、教學知識、教學技能知識［7］.依托于考試大綱，對4 個模塊的題型、分值、總分值、分值比例進行具體分析［8］.試題總體框架如表1所示.

表1 高中數(shù)學“學科知識與教學能力”試題總體分析框架

1.2 解析幾何考查要求分析

教師資格考試大綱是考試命題的重要依據(jù)，也是考生進行備考的重要參考標準.明確考綱要求，分析考查內(nèi)容，厘清要求中的重點和難點是一項非常重要的任務. 通過對2015—2019年高中數(shù)學“學科知識與教學能力”試題的系統(tǒng)分析，發(fā)現(xiàn)考綱中解析幾何部分主要考查兩部分內(nèi)容，一是高等數(shù)學基礎知識，其中包括空間坐標與向量、空間平面與直線、曲線及曲線方程三個模塊；二是高中數(shù)學學科知識，其中包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線3 個模塊.具體如表2 所示.

1.3 解析幾何題型與題目數(shù)量情況分析

在2015—2019年高中數(shù)學“學科知識與教學能力”試題中，解析幾何總計出題量為32題，（包括2017年下半年14 題的兩個問題，2019年上半年和下半年第10 題的兩個問題）.其中該部分內(nèi)容以選擇題的形式考查13 次，命題數(shù)量為1～2 題；以簡答題的形式考查13次，命題數(shù)量為1～2 題；以解答題的形式考查3 次，每次命題數(shù)量為1 題；以案例分析的形式考查2 次，分別在2018年上半年和2019年下半年各命1 題；以教學設計形式僅考查1次，在2018年下半年命1 題.具體題目數(shù)量分布情況如表3 所示.

表2 考綱中解析幾何知識點分解表

表3 2015—2019年試題各題型考查次數(shù)統(tǒng)計表

從考綱分析中可以窺見，解析幾何部分內(nèi)容主要從高等數(shù)學角度和高中數(shù)學學科知識角度進行命題.在高等數(shù)學基礎知識三個模塊中，空間坐標系與向量共出現(xiàn)5 次，在2019年下半年、2018年下半年、2018年上半年以選擇題的形式出現(xiàn)4 次；在2017年下半年以簡答題的形式出現(xiàn)1 次.空間平面與直線共命題9 次，在2016年下半年和2019年下半年以選擇題的形式出現(xiàn)2 次；在2016—2019年上半年以簡答題的形式出現(xiàn)5 次；在2018年上半年以案例分析的形式出現(xiàn)1 次；在2018年下半年以教學設計的形式出現(xiàn)1 次.曲面及曲線方程共命題10 次；在2015年下半年、2016—2018 上半年以選擇題的形式出現(xiàn)4 次；在2015—2016 下半年、2018年上半年和2019下半年以簡答題的形式出現(xiàn)4 次；在2017年下半年以解答題的形式出現(xiàn)2 次.

高中數(shù)學學科知識三個模塊中，直線與方程模塊在近五年沒有命題.圓與方程模塊共命題3 次，其中在2019年上半年以選擇題的形式出現(xiàn)1 次；在2018年下半年以簡答題的形式出現(xiàn)1 次；在2019年下半年以案例分析的形式出現(xiàn)1 次.圓錐曲線模塊共命題5次，在2015年上半年和2017年下半年以選擇題的形式出現(xiàn)2 次；在2015年上半年以解答題的形式出現(xiàn)1 次、2017年下半年、2019年下半年以簡答題的形式出現(xiàn)2 次.具體題型分布情況如表4 所示.

1.4 解析幾何試題分值分布情況分析

從高中數(shù)學“學科知識與教學能力”考綱要求中可以發(fā)現(xiàn)，解析幾何內(nèi)容是教師資格考試必考內(nèi)容.在2015 上半年選擇題考查5分、解答題考查10 分，總計15 分，占試卷總分的10%；2015年下半年至2017年上半年，以及2019年上半年選擇題考查5 分、簡答題考查7分，總計12 分，約占試卷總分的9%；2017年下半年選擇題考查5 分、簡答題考查14 分、解答題考查10 分，總計29 分，約占試卷總分的19%；2018年上半年選擇題考查10 分、簡答題考查14 分、案例分析考查20 分，總計34 分，約占試卷總分的23%；2018年下半年考察選擇題5 分、簡答題7 分、教學設計30 分，總計42分，約占試卷總分的28%；2019年下半年考察單選題15 分、簡答題7 分、案例分析20 分，總計42 分，約占試卷總分的29%.在2015—2019年的十套真題中解析幾何部分內(nèi)容是必考內(nèi)容，其中單選題總計考查65 分、簡答題考查77 分、解答題考查20 分、案例分析考查40 分、教學設計考查30 分.歷年真題題型分值統(tǒng)計如表5 所示.

表4 2015—2019年試題各知識點題型與數(shù)量統(tǒng)計表

表5 2015—2019年試題題型與分值統(tǒng)計表

在高等數(shù)學基礎知識3 個模塊中，空間坐標系與向量共命題27 分，在2019年下半年、2018年下半年、2018年上半年以選擇題的形式命題20 分；在2017年下半年以簡答題的形式命題7 分.空間平面與直線共命題88 分，在2016年下半年和2019年下半年以選擇題的形式命題10 分；在2016—2019年上半年以簡答題的形式出現(xiàn)28 分；在2018年上半年以案例分析的形式命題20 分；在2018年下半年以教學設計的形式命題30 分.曲面及曲線方程共命 題51 分；在2015年 下 半年、2016—2018年上半年以選擇題的形式命題20 分；在2015—2016年 下 半 年、2018年 上 半年 和2019年 下 半年以簡答題的形式命題21 分；在2017年下半年以解答題的形式命題10 分.

高中數(shù)學學科知識3 個模塊中直線與方程模塊在近5年命題零分.圓與方程模塊共命題32 分，其中在2019年上半年以選擇題的形式命題5 分；在2018年下半年以簡答題的形式命題7 分；在2019年下半年以案例分析的形式命題20 分.圓錐曲線模塊共命題34 分，在2015年上半年和2017年下半年以選擇題的形式命題10 分；在2015年上半年以解答題的 形 式 命 題10 分、2017年 下 半年、2019年 下半年以簡答題的形式命題14 分.歷年真題知識點分值分布統(tǒng)計如表6 所示.

2 試卷中解析幾何典型問題解題分析

表6 2015—2019年試題各知識點與分值統(tǒng)計表

在對2015—2019年高中數(shù)學“學科知識與教學能力”試題量化分析的同時，對試題中的典型問題進行了歸納與總結.由表4、表6可知，解析幾何考查最多的是空間平面與直線模塊.主要考查了以下幾個問題：求解曲面的切平面方程；掌握直線與平面、兩平面的位置關系，重點考查通過求法向量的思路來解題的思想.因為求解過程比較繁瑣，這些知識點主要借助簡答題題型來考查.曲面及曲線方程模塊要求學生掌握旋轉(zhuǎn)體體積公式，在求曲面方程時，往往與矩陣知識結合進行命題.空間坐標與向量模塊主要考查學生對向量的定義、性質(zhì)、數(shù)量積的理解，以及與實數(shù)運算的區(qū)別.圓與方程模塊要求學生掌握垂徑定理、射影定理、相交弦定理，并能夠利用幾何知識解釋代數(shù)問題（如借助幾何直觀來闡述均值不等式等），充分體現(xiàn)了對數(shù)形結合的思想的重視.圓錐曲線模塊主要考查對橢圓、雙曲線、拋物線的概念、定義、性質(zhì)的掌握，并能區(qū)分三者之間的差別.

本文以2004年人教版高中數(shù)學教材［9］和呂林根、許子道編著的《解析幾何》（第四版）為例［10-11］對具體例題進行分析.

第一種題型是來源于教材中的例題演變.

例1（2019年上半年第10 題）在空間直角坐標系下，試判斷直線與直線的位置關系，并求這兩條直線間的距離.

本題考查空間兩直線的位置關系，該題原型來源于《解析幾何》的第三章第七節(jié)第3小節(jié)例題2.原題是：已知證明此兩直線為異面直線，并求l1與l2間的距離與它們的公垂線方程.考題的解題思路是：已知l1方程表達式，先通過二階行列式來求得方向向量，X1:Y1:= 1:(-1):1，再確定直線上一點，令x= 0，則有y= 0,z= -1，故(x1,y1,z1) =（0,0,-1）是直線上一點，而l2的方向向量為(2,1,1)，而直線過點(1,1,1)，從而有所以兩直線為異面直線.而書中原題l1,l2不必用二階行列式來確定，可直接確定其方向向量v1= {1,-1,0 }，再確定兩直線上的點，通過三階行列式確定兩直線異面.

在高中課標中要求學生要掌握平面兩直線的位置關系，在高等數(shù)學課程《解析幾何》中，要求學生掌握空間兩直線的位置關系，由此可見大學幾何的學習是高中幾何內(nèi)容的延伸.通過對兩題的對比，分析兩題的異同，讓學生體會考題來源于教材常規(guī)內(nèi)容的變形，學生在今后的學習過程中，需要認真解讀教材中的例題，嘗試對例題進行變式思考、分析，同時，教師在教學中應側(cè)重培養(yǎng)學生對知識的靈活運用，舉一反三.

第二種題型來源于教材中的習題演變.

例2（2017年上半年選擇題第3 題）母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是（C）.

選項為A.橢圓柱面3x2+ 2z2= 16；B.橢圓柱面x2+ 2y2= 16；C.雙曲柱面3y2-z2=16；D.雙曲柱面y2- 2z2= 16.

本題考查的是柱面方程，來源于《解析幾何》的第四章第一節(jié)課后習題第1 題的演變.

本題主要考查學生對柱面、準線、母線概念的理解，以及學生對柱面方程求法的掌握情況.具體要求學生利用已知條件，會求柱面方程表達式.教材中的每一道習題都是經(jīng)過專家反復斟酌設計的，每道題都有一定的目的和作用，較好地反映了教學目標和學生所應達到的能力要求.因此，教師和學生應從教材入手，鉆研教材中的例題與習題，明確出題意圖，把握習題與考題之間的內(nèi)在聯(lián)系，總結方法，通過變式給學生呈現(xiàn)出全面的數(shù)學思考過程，建立完整的認知結構.

第三種題型來源于教材中對性質(zhì)的理解與掌握.

例3 （2017年下半年簡答題13 題）簡述向量的數(shù)量積運算與實數(shù)乘法運算的區(qū)別.

本題主要考查學生對向量的數(shù)量積運算與實數(shù)乘法運算性質(zhì)的本質(zhì)認識，同時也考查學生分析問題與解決問題的能力，尤其是學生對向量與實數(shù)知識的綜合理解能力.向量的數(shù)量積運算與實數(shù)乘法運算最明顯的區(qū)別是向量數(shù)量積運算不僅涉及向量的長度，還涉及向量的方向，實數(shù)的乘法運算滿足消去律，向量的數(shù)量積則不滿足消去律.將兩個知識點進行對比，加深對知識的理解，在認知結構中建立知識網(wǎng)絡，提升學生的解題水平和思維水平.

3 基于對解析幾何試題統(tǒng)計與分析的思考

通過對試題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在對解析幾何試題的考查中側(cè)重對空間平面與直線、曲面及曲面方程的考查，及時分析解析幾何試題的考查重點可以明確國家對師資質(zhì)量的基本要求，也可以對解析幾何內(nèi)容的教學產(chǎn)生導向性的作用.通過對試題的分析可以確定，教師資格考試中解析幾何內(nèi)容的考查點仍可以進一步拓展，這將對今后教師的教學以及學生的學習給予更多的啟發(fā).

3.1 試題立足基礎，強調(diào)知識融合

從考試大綱和本文第二部分對試題考查知識點的分析中可以看到，基礎知識的理解與應用是考查的根本所在.考試中對知識點的考查基本遵循以下條件：首先，考查的知識內(nèi)容嚴格按照考試大綱規(guī)定的范圍，絕不超綱.題目的考核意圖相當明確，具有層次性；其次，通過考題進一步強化知識主干，重點知識重點考查.從近年試題考查的主干知識模塊可以發(fā)現(xiàn)：空間平面與直線、曲面及曲線方程仍舊是命題的重中之重.試題中對基礎知識的考查既能覆蓋全體，又能突出重點，體現(xiàn)對數(shù)學思維考查的全面性和針對性.

教師資格考試另一個趨向是注重學科知識的內(nèi)在聯(lián)系，強化知識點之間的融合、滲透和靈活應用，并且這種融合以多種形式出現(xiàn)，如同一模塊知識點的融合，不同模塊知識點的對比，以及結合跨專業(yè)、跨學科知識體系的相互融合進行命題，這種命題趨向考查了學生對知識結構理解的貫通性，同時也考查了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和綜合能力.

3.2 注重貼近實際，密切聯(lián)系教材

教師資格考試不僅考查學生對于知識的積累是否達到考核要求，同時也以數(shù)學知識為橋梁，間接考查學生的遷移能力和應用能力.通過一些貼近生活，密切聯(lián)系教材的考題，實現(xiàn)對學生運用數(shù)學知識分析和解決問題能力的考察，從而進一步引導學生關注社會、生活實踐，培養(yǎng)學生實際應用的能力.同時通過對近年的試題分析發(fā)現(xiàn)，部分題目能在教材上找到“影子”，考核的知識點基于課本，形式與難度又高于課本.因此，在大學解析幾何內(nèi)容的教學中，要重視對教材內(nèi)容進行進一步挖掘，教師在教學過程中可以借助教材中的題目進行改編，對習題再次加工與重新打磨，提升學生的分析能力與解題能力.從試題考核題型與題量來看，對于該部分內(nèi)容試題的考核比重不會發(fā)生明顯變化，但對學生探究能力的考查力度會逐漸加大.

3.3 夯實教師教學基本功，突破教學難點

教師在日常教學中可以結合學科知識與教學能力考試要求，有針對性的調(diào)整教學設計，同時，要結合高中數(shù)學課程標準，建立高中數(shù)學內(nèi)容與高等數(shù)學內(nèi)容之間的知識整合.教學應從教材出發(fā)，結合考試中的考點，突出培養(yǎng)學生的思維能力和學科素養(yǎng).從教材出發(fā)，重視使用教材，培養(yǎng)學生的思維能力和運算能力，加深學生對概念的發(fā)生、發(fā)展過程的理解，建構數(shù)學模型.對于習題課的教學，應梳理相關知識體系，分析知識點間內(nèi)在聯(lián)系，總結規(guī)律.真正落實基本知識、基本技能、基本思想.解析幾何教學的關鍵在于教師要引導學生在變化的考查知識現(xiàn)象中研究不變的知識本質(zhì)，從不變的知識本質(zhì)中探究變化的規(guī)律.運動變化思想、回歸定義思想、數(shù)形結合思想、化坐標思想、優(yōu)選直線方程思想是解析幾何的本質(zhì)規(guī)律，把握這些不變的本質(zhì)規(guī)律就能以不變應萬變，讓教學走出困境，為教學減負增效.

3.4 提高知識遷移能力，培養(yǎng)發(fā)散思維

解析幾何問題是教師資格考試的必考點，更是高中數(shù)學教學中的一個重要內(nèi)容.夯實基礎知識，是培養(yǎng)學生遷移能力的基礎.因此要求教師要在對其性質(zhì)、概念、定義內(nèi)容進行精確理解和掌握的基礎上，善于從生活中尋找現(xiàn)實案例，并將其巧妙地融合到具體教學中.從習題中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，為學生選擇典型的習題并且在不斷的練習過程中探索和總結各類題型的特點，通過探索使所得的知識與技能進一步得到鞏固和提高.當學生面對解析幾何知識與統(tǒng)計、概率等知識結合出題時，能夠變式地、綜合地思考問題，準確分辨考查知識點，促進學生對解析幾何知識點的全面掌握.因此，教師在日常教學中要重視學生主體地位，遵循學生的認知規(guī)律，做好詳盡的教學計劃，不斷探索行之有效的教學方法，更全面、細致地進行教學設計，完成教學任務.