基于Mathematica 的函數(shù)連續(xù)性的教學(xué)實(shí)踐研究

高忠社

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)學(xué)軟件Mathematica，可以實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證一些抽象的問題，有助于學(xué)生深刻理解和掌握這些抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)［1-3］.筆者從教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對函數(shù)的連續(xù)性的定義較長時(shí)間無法理解，而函數(shù)的連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列極限、函數(shù)極限之后，需要很好掌握的重要概念，函數(shù)連續(xù)性概念的掌握情況，對后續(xù)導(dǎo)數(shù)、積分、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都會(huì)產(chǎn)生較大影響［4-7］.

由于學(xué)生對于任意性、極限的過程等問題沒有完全理解，因而在學(xué)習(xí)過程中會(huì)產(chǎn)生一系列的疑問，為什么函數(shù)的連續(xù)性要取決于函數(shù)在任意一個(gè)點(diǎn)上的連續(xù)？為什么函數(shù)y=f(x) 在任意點(diǎn)x0滿足了或時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)就連續(xù)等等.學(xué)生很難理解這些抽象的概念，學(xué)生這時(shí)可以借助Mathematica 軟件的圖像功能，盡可能的通過實(shí)例直觀分析函數(shù)的極限過程，以及函數(shù)值的情況，通過這種直觀的分析幫助學(xué)生理解函數(shù)的連續(xù)性［8-9］.

因此，在教學(xué)實(shí)踐中對于一些抽象的概念的講授中，可以適當(dāng)使用數(shù)學(xué)軟件來直觀分析實(shí)例，幫助學(xué)生理解這些抽象概念.下面將對一元函數(shù)的連續(xù)性、左連續(xù)、右連續(xù)、間斷點(diǎn)；二元函數(shù)的連續(xù)性等問題分別使用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析.

1 一元函數(shù)的連續(xù)性與Mathematica

高等數(shù)學(xué)中對于連續(xù)性的引入是這樣的，“自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、植物的生長等等，都是連續(xù)變化的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性”，但是學(xué)生對這樣的描述難以理解.而對于函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性是按如下方式進(jìn)行定義的.

1.1 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義

定義1［1-2］函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

這是一個(gè)抽象的概念，即“當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，函數(shù)值的增量也趨于零”，則函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù).由于學(xué)生對函數(shù)極限定義還沒有很好掌握，而函數(shù)的連續(xù)性需要使用函數(shù)的極限來定義，使得有些學(xué)生覺得難以理解，進(jìn)而對這類抽象性的概念的學(xué)習(xí)慢慢的失去了信心.如果在教學(xué)實(shí)踐中通過一些直觀的實(shí)例幫助學(xué)生理解這種概念，學(xué)生將會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣.

如果引入適當(dāng)?shù)睦?，使用?shù)學(xué)軟件Mathematica 進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹庇^性分析，會(huì)取得更好的教學(xué)效果，如：

例1 驗(yàn)證函數(shù)y= 4x2+ 3x+ 1 在x0= 0的連續(xù)性.

分析：學(xué)生在中學(xué)階段對該函數(shù)已經(jīng)很熟悉，函數(shù)的圖像為拋物線，是一條連續(xù)曲線（見圖1），因此在x0= 0 處是連續(xù)的.使用定義1 驗(yàn)證.

故函數(shù)y在x0= 0 處連續(xù).

Mathematica 命令如下：

圖1 4Δx2 + 11Δx →0(Δx →0 )的圖像

從 圖1 可 以 看 出，當(dāng)Δx→0 時(shí)，4Δx2+11Δx→0，滿足定義，因此函數(shù)在x0= 0 處連續(xù).

通過對圖像的直觀表示，加深了學(xué)生對于函數(shù)連續(xù)性概念的理解，同時(shí)也加強(qiáng)了對函數(shù)極限定義的理解.

定義1 又可表述如下：設(shè)函數(shù)y=f( )x在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱在點(diǎn)x0連續(xù).

1.2 左連續(xù)及右連續(xù)概念的分析

在高等數(shù)學(xué)教材中同樣定義了函數(shù)左、右連續(xù)的問題，定義方式如下：

利用左、右連續(xù)的定義對例1 繼續(xù)進(jìn)行討論，通過Mathematica 作圖，觀察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在x0= 1 處的極限，當(dāng)x→1+,x→1-時(shí)，函數(shù)的極限即函數(shù)在x0= 1 處連續(xù).函數(shù)圖像如圖2 所示.

Mathematica 命令如下：

圖2 函數(shù)4x2 + 3x + 1 極限值等于函數(shù)值的圖像

1.3 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義

如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)；如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)a右連續(xù)，在點(diǎn)b左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).

上面的這些定義都是用極限定義的，對于學(xué)生來說仍然是比較抽象的.因此，教學(xué)實(shí)踐中需要一些具體實(shí)例來分析這些抽象的問題，下面將通過具體實(shí)例來分析函數(shù)在整個(gè)定義域區(qū)間上的連續(xù)性.

Mathematica 命令如下：

圖3 函數(shù)f(x)在x=0 處連續(xù)的圖像

2 函數(shù)的間斷點(diǎn)

①在x=x0沒有定義；

②雖在x=x0有定義，但不存在；

③雖在x=x0有定義，且存在，但

間斷點(diǎn)x0通常分為兩類. 如果左極限及右極限都存在，那么x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn).包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn).當(dāng)時(shí)為可去間斷點(diǎn)，當(dāng)時(shí)為跳躍間斷點(diǎn).如果左極限

圖4 間斷的分類

對于這樣抽象的定義，需要給予具體的詳細(xì)的實(shí)例，圖文并茂的來解釋這些不同的間斷點(diǎn)，使用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 配合教學(xué)實(shí)踐，通過圖像來分析.

例3 驗(yàn)證x= 0 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).

Mathematica 命令如下：

圖5 函數(shù)f(x ) 在[-2,2]的圖像

從圖5 可以看出，函數(shù)y=f(x)在x= 0處，左、右極限都存在且相等，但是極限值不等于函數(shù)值.根據(jù)定義，該點(diǎn)為可去間斷點(diǎn).使用Mathematica 作圖，使得學(xué)生更為直觀的發(fā)現(xiàn)可去間斷點(diǎn)的特征，更深刻的理解可去間斷點(diǎn)的定義.

在x

使用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 繪圖圖像如圖6 所示.

Mathematica 命令如下：

圖6 函數(shù)在x0 = 0 鄰域內(nèi)的圖像

例5 討論正切函數(shù)y= tanx在處的間斷點(diǎn)類型.

解 因?yàn)閥= tanx在處無定義，且所以為函數(shù)tanx的無窮間斷點(diǎn).函數(shù)圖像如圖7 所示.

Mathematica 命令如下：

圖7 函數(shù)y = tanx 在[-π,π]的圖像

從圖7 可以看出，函數(shù)y= tanx在處及的點(diǎn)處都趨于無窮，因此，這些點(diǎn)均為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).使用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 作圖，觀察該圖像，就能使得學(xué)生更為深刻的理解無窮間斷點(diǎn)的定義.

Mathematica 命令如下：

圖8 函數(shù)在[-0.3,0.3]的圖像

3 二元函數(shù)的連續(xù)性

二元函數(shù)z=f(x,y),(x,y) ∈D?R2的圖像是空間曲面或曲線，對于空間想象能力不強(qiáng)的學(xué)生來說，對于這些空間圖像的理解有一定的困難，有時(shí)需要使用教學(xué)輔助手段.由于教具已經(jīng)慢慢淡出了教學(xué)過程，教學(xué)輔助手段需要借助于數(shù)學(xué)軟件、多媒體等手段來實(shí)現(xiàn)，幫助學(xué)生理解一些抽象的，或難以想象的曲面相交所產(chǎn)生的圖像.文獻(xiàn)［4］中介紹了使用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 分析二元函數(shù)的連續(xù)性的方法，下面將分析這些方法在教學(xué)實(shí)踐中如何具體的應(yīng)用，以及如何取得更好的教學(xué)效果.

在高等數(shù)學(xué)教材中，二元函數(shù)的連續(xù)性定義和一元函數(shù)類似.

定 義2［1-2］設(shè) 二元函數(shù)z=f(x,y),(x,y) ∈D?R2，P0定義為D?R2的聚點(diǎn)，且P0∈D.如果則 稱 函 數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù).

如果函數(shù)z=f(x,y) 在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù)z=f(x,y)在D上連續(xù)，或者稱z=f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù).

定義3［1-2］設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).如果函數(shù)P0(x0,y0)在點(diǎn)P0(x0,y0) 不連續(xù)，則稱P0(x0,y0) 為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn).

例 7［1-2］討論函數(shù)f(x,y) =

在(0,0)的間斷點(diǎn)類型.

解 易知函數(shù)f(x,y) 的定義域D= R2，(0,0) 是D的 聚 點(diǎn).當(dāng)(x,y) →(0,0) 時(shí)，函 數(shù)f(x,y)的極限不存在，所以點(diǎn)O(0,0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn).

當(dāng)在教材中遇到這樣的問題，有些學(xué)生很難理解，無法想象該圖像是什么樣的.如果在教學(xué)實(shí)踐中能夠給出該函數(shù)所表示的圖像，給出函數(shù)在(0,0)的形狀，能更好的幫助學(xué)生理解該問題；利用Mathematica 的Plot3D命令繪制出圖像，圖像如圖9 所示.

Mathematica 命令如下：

圖9 函數(shù)z = f(x,y)在［-2，2］×［-2，2］的圖像

從圖9 可以看出，函數(shù)z=f(x,y)表示的曲面在點(diǎn)（0，0）出現(xiàn)“裂口”，而且上下陡峭，意味著，即使在（0，0）補(bǔ)上f(0,0) = 0，仍然不足以彌補(bǔ)曲面上這個(gè)“大裂口”，從直觀上，函數(shù)f(x,y) 在點(diǎn)（0，0）處不連續(xù)，曲面在點(diǎn)（0，0）附近即出現(xiàn)了“山脊”和“山塹”，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)(x,y)沿“山脊”路徑y(tǒng)=x趨于定點(diǎn)（0，0）時(shí)，極限當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（x,y）沿“ 山 塹”路 徑y(tǒng)= -x趨 于 定 點(diǎn)（0，0）時(shí)，兩者不相等，則極限不存在，由函數(shù)連續(xù)的定義可知，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)（0，0）處不連續(xù).由例7可以看出，用圖像法判定和討論二元函數(shù)z=f(x,y)的連續(xù)性，直觀而真實(shí)，能透過現(xiàn)象直達(dá)本質(zhì)，具有純理論的抽象研討無法媲美的優(yōu)點(diǎn)，但也有一定的局限性［4］.

對于二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形空間的曲線或曲面，在實(shí)踐教學(xué)中很難使得學(xué)生理解其中的一些抽象的性質(zhì)、圖像等，如果在實(shí)踐教學(xué)中借助于多媒體技術(shù)，數(shù)學(xué)軟件等，給予學(xué)生展示其圖像，曲面的切平面、法線，曲線的切線、法平面以及多個(gè)曲面相交產(chǎn)生的空間圖像，可以更好的幫助學(xué)生理解該函數(shù)的性質(zhì)，如連續(xù)性及一些抽象的概念.

4 結(jié)語

文中結(jié)合一元函數(shù)、二元函數(shù)的連續(xù)性定義、一元函數(shù)的各類間斷點(diǎn)，結(jié)合筆者自己的一線教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識(shí)點(diǎn)中遇到的困難、疑惑，分別對間斷點(diǎn)的每一種情況，給出了具體實(shí)例，結(jié)合Mathematica 作圖分析，且給出了相應(yīng)的Mathematica 作圖命令.對于二元函數(shù)的連續(xù)性問題，結(jié)合教材中的定義，以及文獻(xiàn)［4］中給出的觀察法，文中也給出了典型實(shí)例進(jìn)行了分析，給出了圖形和作圖的命令.在教學(xué)實(shí)踐中使用Mathematica 作圖并進(jìn)行具體分析，有助于學(xué)生很好地理解一些抽象的高等數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而取得良好的教學(xué)效果.