基于量綱分析的糙條高度計(jì)算方法

張紅紅，牧振偉，李凡琦，賈萍陽，孫德旭

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830052)

近年來，諸多學(xué)者針對(duì)溢洪道導(dǎo)流方面進(jìn)行了大量研究[1-3].現(xiàn)有的彎道導(dǎo)流措施多采用導(dǎo)流墩[4]、導(dǎo)流柵[5]、丁壩[6]等，試圖在設(shè)定的距離內(nèi)調(diào)整、控制彎道流態(tài)及橫向環(huán)流的產(chǎn)生，而對(duì)于大寬深比彎道導(dǎo)流措施研究得較少.

解決一個(gè)復(fù)雜問題，除了需要理解具體問題的物理理論，還需要掌握與物理概念密切相關(guān)的量綱分析方法和相似論[7].周建銀等[8]通過量綱分析建立了量綱-衰減長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)公式，并采用系列數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果率定了該經(jīng)驗(yàn)公式.同期，周建銀等[9]又在以往研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)彎道出流橫向流速衰減公式忽略橫比降的局限，推導(dǎo)出考慮橫比降影響的橫向流速發(fā)展的解析解.丁法龍等[10]基于量綱分析的方法，結(jié)合水頭損失比的定義得到沿程壓力分布的回歸預(yù)測(cè)模型，為滴灌系統(tǒng)水力計(jì)算的簡(jiǎn)化提供參考.CENGEL等[11]在研究管流摩擦阻力問題的過程中，使用量綱分析并建立了摩擦剪切力方程，巧妙地通過分析粗糙度系數(shù)ε/D與雷諾數(shù)Re之間的關(guān)系，找到了摩擦剪切力的解析解.李凡琦等[12-13]基于正交設(shè)計(jì)原理，對(duì)布置糙條消能工的溢洪道進(jìn)行正交試驗(yàn)，指出糙條高度為主要影響因素，這也是文中將糙條高度作為研究對(duì)象的主要原因.

文中基于新疆“635”溢洪道整治工程原型進(jìn)行研究，對(duì)研究得到的糙條布置方法進(jìn)一步推廣；采用量綱分析建立糙條高度的數(shù)學(xué)模型，通過正交試驗(yàn)對(duì)公式系數(shù)進(jìn)行率定，并在試驗(yàn)分析過程中建立一套針對(duì)導(dǎo)流效果的評(píng)價(jià)方法.

1 量綱分析

1.1 量綱分析的基本原理(Π定理)

1914年，BUCKINGHAM[14-15]發(fā)表了一個(gè)有關(guān)量綱分析的重要定理，由于論文中量綱一的量用希臘大寫字母Π表示，故于1922年被美國(guó)學(xué)者BRIDGMAN在其專著Dimensional analysis[16]中命名為Π定理.

Π定理可以表達(dá)為：設(shè)有一個(gè)物理關(guān)系f(s1，s2，s3，…，sn) = 0，由一組量綱不同的物理量s1，s2，s3，…，sn組成；設(shè)在這組物理量的量綱中有j個(gè)量綱是相互獨(dú)立的，并且選為基本量綱，這個(gè)物理關(guān)系一定可以用k=n-j個(gè)量綱一的量Π1，Π2，…，Πk完全表示出來，即

f(Π1，Π2，Π3，…，Πk)=0,

(1)

Π定理給出了構(gòu)造量綱一的Π的一般方法，在此基礎(chǔ)上人們總結(jié)出一個(gè)簡(jiǎn)單的6步法，有時(shí)也稱之為重復(fù)參量法[7].

1.2 量綱分析模型

有關(guān)彎道急流的消能和導(dǎo)流方面的物理問題處理起來相當(dāng)復(fù)雜，影響因素也較多，各因素相互聯(lián)系緊密.為了對(duì)這些問題在物理方面有較好了解，采用重復(fù)參量法對(duì)糙條平均高度hL進(jìn)行多次推導(dǎo)，最終得到各影響因素之間較好的標(biāo)度律和相似關(guān)系.具體推演過程如下.

1) 找準(zhǔn)問題的所有參量.影響hL的參量有8個(gè)，分別為彎道進(jìn)口水力半徑RL、彎道進(jìn)口流速v、彎道曲率半徑R、流體密度ρ、動(dòng)力黏性系數(shù)μ、重力加速度g、糙條布置角度θ(糙條中心所在橫斷面與其之間的夾角，rad)、糙條布置間距與彎道弧長(zhǎng)之比Δl/L.

需要說明的是以上各參量相互獨(dú)立，不能用其他量表示，同時(shí)以上參量需要反復(fù)思考，才能確定是否能夠客觀全面地反映物理問題.彎道曲率半徑R在反映彎道特征尺寸方面優(yōu)于彎道寬度B和彎道進(jìn)口水深h0這2個(gè)參量，這不僅減少了參量個(gè)數(shù)，而且在反映彎道特征尺寸方面打破彎道寬度的局限，使其更具有普適性.

通過多次建立模型并對(duì)比推導(dǎo)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，選用參量彎道進(jìn)口流速v比選取流量Q優(yōu)越，這是因?yàn)樗W(xué)方面已經(jīng)命名的量綱一的量大多數(shù)都和流速之間存在密切關(guān)系，亦即流速較流量而言更為基礎(chǔ)，例如水力學(xué)中最常用的雷諾數(shù)Re和弗勞德數(shù)Fr均和流速直接相關(guān).

在糙條布置參數(shù)方面，橫向上，由于糙條是全斷面布置，因此糙條橫向長(zhǎng)度這一參量可以忽略；垂向上，對(duì)于寬淺彎段溢洪道，hL占據(jù)糙條參量的主導(dǎo)地位，因此公式推導(dǎo)的主要方向就是研究糙條高度與各參量之間的關(guān)系；縱向上，糙條向下游的傾斜程度，即布置角度θ應(yīng)與彎道的彎曲率進(jìn)行綜合考慮，而反映彎道彎曲率的參量是彎道曲率的倒數(shù)——曲率半徑，不能誤以為是彎道的轉(zhuǎn)角，同時(shí)需要注意的是糙條布置角度θ是量綱一參量，而曲率半徑R的量綱是[L]，根據(jù)量綱一致性定律，兩者之間不能進(jìn)行疊加考慮，因此，現(xiàn)階段的研究只能用糙條布置角度衡量糙條在橫向上的傾斜程度.

彎道弧長(zhǎng)L能夠反映彎道段在縱向上的跨度，因此，糙條布置間距與彎道弧長(zhǎng)之比Δl/L可以反映糙條在彎道段的密集程度.選用重力加速度g，即考慮重力影響.流體方面，因主要考慮其自身內(nèi)摩擦力的影響，則選取動(dòng)力黏性系數(shù)μ和密度ρ作為流體的參量.

2) 列出所有參量的量綱并確定基本量綱.所有參量的量綱見表1，且觀察表1可知，該問題的基本量綱為[M]，[L]，[T].

表1 量綱分析模型各參量的量綱Tab.1 Dimensions of each parameter in dimensional analysis model

3) 猜測(cè)重復(fù)參量個(gè)數(shù)j.作為第1次猜測(cè)，取j值為基本量綱的個(gè)數(shù)，即j=3.根據(jù)Π定理可以構(gòu)造k=n-j=9-3=6個(gè)量綱一的量Π.

4) 選取重復(fù)參量.選擇重復(fù)參量是量綱分析中難度系數(shù)最大的部分，選擇不同的重復(fù)參量會(huì)構(gòu)造出不同的一組量綱一的量Π，并直接影響到分析量綱關(guān)系的難易程度.

j=3，從9個(gè)參量中選擇3個(gè)作為問題的重復(fù)參量.量綱一量θ(rad)和Δl/L不選；因變量hL不選；μ已經(jīng)包含了所有的基本量綱[M]，[L]，[T]，也不選；考慮基本量綱[L]，由于RL和R量綱均是[L]，兩者只能選取一個(gè)，故選取RL；考慮基本量綱[M]，只能選取ρ作為重復(fù)參量；考慮基本量綱[T]，由于v和g均包含基本量綱[T]，故選取v作為重復(fù)參量.事實(shí)證明，選取v作為重復(fù)參量在量綱分析階段要優(yōu)于g，因?yàn)檫x取v作為重復(fù)參量可以使得導(dǎo)出的部分量綱一的Π具有真實(shí)的物理意義.因此，選擇RL，ρ，v作為重復(fù)參量.

5) 求解量綱一的量Π.把μ與重復(fù)參量進(jìn)行乘積，重復(fù)參量的冪次為待定：

(2)

得到待定常數(shù)a=-1,b=-1,c=-1,所以

(3)

其中的Π1與Re極為相似，仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)Π1是雷諾數(shù)的倒數(shù)1/Re.將Π1改寫為傳統(tǒng)的雷諾數(shù)形式，即

(4)

類似地，用g代替μ，重復(fù)計(jì)算就可以得到Π2：

M0L1T-2(LT-1)aLb(ML-3)c，

(5)

可以得到a=2,b=1,c=0,所以

(6)

Π2表示重力與慣性力之比，Π2其實(shí)可以表示為Froude數(shù)平方的倒數(shù)1/Fr2，即

(7)

同樣地可以得到Π3，Π4，Π5，Π6，即

(8)

6) 驗(yàn)證量綱一的量Π，并寫出問題的最終量綱關(guān)系：

Π4=f(Π1, modified,Π2, modified,Π3,Π5,Π6)，

(9)

得到糙條高度的關(guān)系式為

(10)

式(10)只是各參量之間的量綱關(guān)系，這種關(guān)系多數(shù)是以冪次的形式出現(xiàn).對(duì)于冪次的定義一般采用試驗(yàn)方法確定.

2 模型試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)概況

2.1.1 試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)組成分為模型主體、自循環(huán)供水系統(tǒng)和數(shù)據(jù)測(cè)量系統(tǒng).模型主體分為進(jìn)口直段、彎道段、出口調(diào)整段，斷面形式采用矩形斷面；其中進(jìn)口直段長(zhǎng)60 cm，可充分保證水流在進(jìn)入彎道前流速及水深進(jìn)行調(diào)整.為了保證出彎水流的調(diào)整距離，出口調(diào)整段長(zhǎng)140 cm.彎道內(nèi)外邊壁由厚度為3 mm的有機(jī)玻璃板熱彎制成，可實(shí)現(xiàn)彎道轉(zhuǎn)角連續(xù)改變.試驗(yàn)?zāi)Ｐ途唧w結(jié)構(gòu)示意及測(cè)點(diǎn)布置圖見文獻(xiàn)[12].糙條主要布置在彎道段并緊貼床面，糙條布置結(jié)構(gòu)及斷面形式示意圖見文獻(xiàn)[12].

2.1.2 試驗(yàn)量測(cè)

試驗(yàn)流量采用直角三角形薄壁堰量測(cè)；水位采用水位測(cè)針對(duì)沿程斷面水深依次進(jìn)行量測(cè).模型沿程共分50個(gè)斷面，每個(gè)斷面從左岸至右岸每隔 5 cm布置1個(gè)測(cè)點(diǎn)，每個(gè)斷面共11個(gè)測(cè)點(diǎn).流速采用畢托管在距離床面1/3的位置進(jìn)行量測(cè)；模型沿程共設(shè)置17個(gè)測(cè)流斷面，每個(gè)斷面均勻選取6個(gè)測(cè)點(diǎn).

2.2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)方案采用正交試驗(yàn)理論進(jìn)行設(shè)計(jì)，為建立導(dǎo)流效果評(píng)價(jià)指標(biāo)提供數(shù)據(jù)支撐.選取糙條的高度h1-h2(h1，h2分別為凹岸處、凸岸處糙條的高度)、糙條間距ΔL、糙條布置角度θ、彎道的曲率半徑R、溢洪道寬度B和流量Q作為試驗(yàn)的因素，每個(gè)因素根據(jù)其自身特性分為3個(gè)水平.選取正交表L18(37)對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，各參數(shù)的具體定量見表2.

表2 正交試驗(yàn)的因素和水平Tab.2 Factors and levels in orthogonal experiments

2.3 建立導(dǎo)流效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了更形象地反映糙條對(duì)彎道段流速和水深的影響，需要建立一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)以反映糙條的導(dǎo)流效果.鑒于研究需要，提出斷面水通量模型.具體方法見文獻(xiàn)[12]中的質(zhì)量離散系數(shù)模型，水通量離散模型每個(gè)斷面水通量的離散程度用σ(標(biāo)準(zhǔn)差)反映，即

(11)

式中：σi為第i個(gè)斷面水通量的標(biāo)準(zhǔn)差；Mi為流體單位時(shí)間通過每個(gè)微元的質(zhì)量.

將各斷面單位時(shí)間水通量的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行疊加并取其均值，得到水通量離散系數(shù)Cm，即

(12)

式中：j為斷面標(biāo)號(hào).

從推導(dǎo)過程可知，Cm值越接近于1則說明導(dǎo)流效果越好，反之Cm值越偏離于1，則說明導(dǎo)流效果越差.

3 多元回歸分析

根據(jù)式(10)中的函數(shù)關(guān)系對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行整理，得到各工況下的水通量離散系數(shù)Cm，見表3.選取Cm為0.8～1.2的工況進(jìn)行多元回歸分析.

表3 正交試驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Results of orthogonal experiments

結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果分別采用多元線性函數(shù)、多元冪函數(shù)、多元指數(shù)函數(shù)的形式，對(duì)各量綱一的因子進(jìn)行回歸分析.擬合過程中發(fā)現(xiàn)雷諾數(shù)參量Re-1對(duì)應(yīng)的冪次向無窮大發(fā)展，說明其對(duì)糙條高度的影響微小，因此，可忽略雷諾數(shù)參量.

以水通量離散系數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)式(10)進(jìn)行回歸分析，結(jié)果見表4.

表4 不同函數(shù)擬合結(jié)果Tab.4 Results obtained with different function fittings

綜合考慮隨機(jī)誤差的效應(yīng)RSS和相關(guān)性R2這2項(xiàng)指標(biāo)，其中多元冪函數(shù)相乘的形式殘差平方和較小，相關(guān)性最高，因此得到hL與各影響因素最優(yōu)函數(shù)表達(dá)式為

(13)

式中:Fr-2表征重力與慣性力量級(jí)的比；R/RL表征彎道的幾何特征；Δl/L表征糙條布置的密集程度；θ表征糙條的傾斜程度.

經(jīng)過多種工況的模型試驗(yàn)，確定公式(13)的適用范圍為模型試驗(yàn)單寬流量為≤28 L/s時(shí)的工況.對(duì)于其他參數(shù)的適用范圍將會(huì)在以后的研究中說明.

4 工程實(shí)例

以新疆“635”溢洪道整治工程為例[17]對(duì)式(13)進(jìn)行驗(yàn)證.“635”工程是我國(guó)僅有的北水南調(diào)工程，北起額爾齊斯河，南至克拉瑪依市.該工程建設(shè)規(guī)模為總庫容4.31億m3，引水干渠總長(zhǎng)324 km，發(fā)電裝機(jī)容量3.2萬kW.“635”水利樞紐大壩為黏性土心墻砂礫石壩，壩高71.5 m，壩長(zhǎng)約320 m，壩頂高程為650 m.“635”溢洪道工程由引水渠、控制段、人工泄槽及天然泄槽段4部分組成.溢洪道橫斷面為矩形斷面，底寬54 m，中心線縱坡分別為1∶20，1∶10，1∶60，1∶50，1∶19，0.

由于地理位置和地質(zhì)條件惡劣，溢洪道部分共分為5個(gè)彎道，以第2和第4彎道為例對(duì)糙條高度公式進(jìn)行驗(yàn)證.溢洪道設(shè)計(jì)工況對(duì)應(yīng)的下泄流量為800 m3/s，采用矩形斷面形式，底寬沿程不變?yōu)?4 m，第2和第4彎道進(jìn)口平均水深分別為2.91和3.20 m，彎道轉(zhuǎn)角分別為40.0°和22.5°，曲率半徑均為135 m.計(jì)算結(jié)果見表5(表中hLT，hLC分別為實(shí)測(cè)值、計(jì)算值，σ為兩者相對(duì)誤差).

表5 糙條高度原型數(shù)據(jù)與計(jì)算值對(duì)比表Tab.5 Comparison of rough-strip height between prototype data and predictions

由于影響糙條高度的因素繁多且相互之間密切相關(guān)，而且多元回歸分析選取的試驗(yàn)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的Cm具有一定的波動(dòng)范圍(0.8～1.0)，因此糙條高度界定存在一定的模糊性，使得計(jì)算值與原型相比略有偏大.文中建立的糙條高度模型誤差在可接受范圍內(nèi)，能滿足工程要求，可以作為糙條高度的一種預(yù)測(cè)方法.

5 結(jié) 論

基于量綱分析對(duì)糙條高度的計(jì)算公式進(jìn)行了理論推導(dǎo).同時(shí)，通過引入水通量離散系數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)并結(jié)合正交試驗(yàn)結(jié)果對(duì)公式中的系數(shù)進(jìn)行了率定，建立了糙條高度的計(jì)算公式.通過上述分析，得到以下主要結(jié)論：

1) 為了研究糙條高度與各影響因素之間的關(guān)系，建立了糙條高度的半理論半經(jīng)驗(yàn)公式，其中全面考慮了多種因素的影響，得到了糙條高度較為準(zhǔn)確的計(jì)算方法，為廣泛推廣糙條消能工提供了理論依據(jù).

2) 結(jié)合新疆“635”溢洪道整治工程現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)所建立的糙條高度公式進(jìn)行了驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)具有較高的一致性，2個(gè)彎道計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差為7.77%，可以滿足工程需要.

3) 提出了水通量離散模型.由于Mi具有真實(shí)的物理意義，因此對(duì)于評(píng)價(jià)彎道導(dǎo)流措施的作用效果，水通量離散系數(shù)Cm具有普遍的適用性.

4) 基于新疆“635”溢洪道整治工程原型進(jìn)行研究，由于原型資料匱乏，尚未能對(duì)推導(dǎo)出的公式進(jìn)行充分檢驗(yàn)，但過程中用到的研究方法可供類似工程參考.