Banach格上b-AM-緊算子的性質

程 娜

（西華大學理學院，四川 成都 610039）

Riesz空間及其上算子理論的研究始于二十世紀三十年代。1928年，F.Riesz在Bologna國際數學家大會上的報告“關于線性泛函的分解”標志著Riesz空間和正算子理論研究的開端。F.Riesz，L.V.Kantorovic和H.Rreudenthal分別從不同的背景最早研究Riesz空間及其上算子。圍繞這一理論研究產生了幾個主要學術流派，如前蘇聯學派(L.V.Kantorovic,A.J.Judin,A.G.Pinsker,B.Z.Vulikh)、美國學派(G.Birkhoff,H.F.Bohnenblust,S.Kakutani,M.MStone)、日本學派(H.Nakano,T.Ogasawara,K.Yosida)、荷蘭學派(W.A.JLuxemburg,A.C.Zaanen），以及德國蒂賓根學派(H.H.Scheafer)。H.H.Scheafer利用經典的Banach空間和算子理論的結果來證明一般Banach格背景下的相關結果，從而使Banach格及正算子理論成為經典分析不可分割的組成部分。

Banach格上算子理論從二十世紀60年代開始得到迅猛發(fā)展，研究者對Banach格上算子的各種性質進行了深入的研究，得到一大批重要成果[1-22]。1992年，Abramovich等討論正則緊算子空間的格序性[1]。1996年，Wicktead給出正則緊算子空間是Dedekind-σ完備向量格的刻畫[2]。1998年，Chen討論了正則弱緊算子空間的格序性[3]。2007年，Chen給出r-緊算子是正則算子空間的子格的刻畫，并且證明r-緊算子的完備性[4]。數學家們不僅研究算子空間的格序結構和拓撲結構，對算子的格序性以及控制性、共軛性，與其他算子的聯系，以及用算子性質刻畫空間結構也展開廣泛研究。Aqzzouz等考慮正則AM-緊算子空間的結構[5-6]。2011年，Chen等考慮了序連續(xù)正緊算子的擴張性質[7]。2013年，Michane等研究b-弱緊算子的弱緊性[8]。2015年，Baklouti等討論了幾乎弱緊算子的控制性，且給出了Strictly Singular、不交Strictly Singular和幾乎弱緊算子的關系[9]。2016年，Chen等討論了Two-Sided Multiplication算子的模以及范數[10]。2020年，Elbour等給出了緊算子是幾乎L-弱緊算子和幾乎M-弱緊算子的充要條件[11]。由此可見，Banach格上的算子理論得到了大家廣泛的研究。

下面介紹Banach格上的概念和基本性質，其余概念參考文獻[12-13]。本文中的Riesz空間具有可分的序共軛空間。

定義1如果Riesz空間E的子集A在(E～)～中序有界，則稱子集A在E中b-序有界。如果A?E是序有界則A在(E～)～中是序有界的，則稱Riesz空間E具有性質（b）。

Riesz空間E具有性質（b）當且僅當對每個網{xα}∈E，若，其中，則{xα}在E中序有界。

注：每個完備的Riesz空間也就是每個序共軛空間具有性質（b）。每個自反的Banach格具有性質（b）。每個KB-空間具有性質（b）。另一方面，考慮c0中A={en}，則可知c0不具有性質（b）。

1 b-AM-緊算子的基本性質

E,F是Banach格，X是Banach空間。

定義2如果T:E→F將E中的每個b-序有界集映成X中的相對緊的集，則稱算子T是b-AM緊算子。

Kb-AM(E,X)表示從E到X中的所有b-AM-緊算子集合。Kb-AM(E,X)是L(E,X)的閉子空間，其中L(E,X)是從E到X的連續(xù)線性算子空間。AM-緊算子是將有序區(qū)間映射到相對緊集的算子，用KAM(E,X)表示從E到X中的所有AM-緊算子集合。令K(E,X)是從E到X中的所有緊算子空間。則：K(E,X) ?Kb-AM(E,X) ?KAM(E,X)。

接下來我們舉例說明這些包含關系。

例1（a）考慮恒等算子I:lp→lp(1＜p＜∞)。因lp是自反的Banach格，lp中b-序有界子集是序有界的并且是相對緊集。則I是b-AM-緊算子，但I不是緊算子。

（b）考慮恒等算子I:c0→c0。因c0是一個離散的Banach格，具有序連續(xù)范數，I是AM-緊算子。但I不是b-AM-緊算子。因l1是KB-空間，I′:l1→l1是b-AM-緊算子。

（c）I:l1→l1是b-AM-緊算子，I′:l∞→l∞不是b-AM-緊算子。

定理1若F是無限維Banach格，則E是KB-空間當且僅當每個從E到F的AM-緊算子是b-AM-緊算子。

證明：若E是一個KB-空間，E具有性質（b），因此每個E到F的AM-緊算子是b-AM-緊算子。

如果每個從E映到F的AM-緊算子是b-AM-緊的，但是E不是KB-空間，則它包含一個同構c0的子格H（文獻[12]定理 2.4.12）。令ψ是這個同構，則它有正擴張ψ：E→C0(文獻[13]定理1])。

因每個正算子Sc0→F是AM-緊的，但可以不是b-AM-緊的?？紤]算子乘積S°ψ:E→c0→F。它是正的AM-緊算子但不是b-AM-緊算子。完。

定理2假設E是Banach格，以下結論是等價的。

1）E是離散的KB-空間；

2）對Banach格F，每個從E到F的連續(xù)算子是b-AM-緊算子。

證明：假設E是離散的KB-空間，T是從E到F的連續(xù)算子，A是E的b-序有界集。因每個KB-空間具有性質（b），A是E中的序有界，則存在一個正元素x∈E+且A?[-x,x]。因E是離散的具有序連續(xù)范數，序區(qū)間[-x,x]是E的緊集并且是范閉的。因A的閉包是[-x,x]的一個子集，因此A是E中一個相對范緊集。因T是連續(xù)算子，T（A）是F的相對范緊集。因此，L(E,F)?Kb-AM(E,F)。另一方面，Kb-AM(E,F)?L(E,F)(文獻[14]，定理1.3])，則L(E,F)=Kb-AM(E，F)。

現假設任何Banach格FL(E,F)=Kb-AM(E,F)成立?？紤]算子I:E→E是b-AM-緊算子，因此是b-弱緊算子，則E是KB-空間（文獻[15]命題2.10]）。由于IE→E是b-AM-緊算子，則E中的序區(qū)間是相對緊集。因Banach格中的序區(qū)間是范閉的，因此E中的序區(qū)間是緊的，則有E是離散的（文獻[16]推論21.13]）。完。

算子T:E→X，將E的每個b-序有界子集映到X的相對弱緊集叫做b-弱緊算子。向量格E的非零元素x是離散的如果由x生成的序理想序是由x生成的子空間。

定理3若拓撲共軛E′是離散的，則從Banach格E到Banach空間X的每個b-弱緊算子都是b-AM-緊算子。

2 b-AM-緊算子的控制性

3 b-AM-緊算子的共軛性

因(l∞)′具有序連續(xù)范數且T′是b-AM-緊算子，則S′是b-AM-緊算子。

另一方面，算子S°P:E→l∞→E不是AM-緊算子。否則，將它限制到l∞上是AM-緊算子，因為l∞是具有單位元的AM-空間且算子S是緊算子。這就產生了矛盾。完。

4正則b-AM-緊算子空間的Dedekindσ-完備性

Banach格上算子的模已經被許多數學家廣泛研究。如果E和F是Banach格，T是E到F的一個算子，T的?？梢圆淮嬖冢词勾嬖?，模一般也不會有相同的性質。1981年，Aliprantis等在文獻[16]中證明了從AL-空間到KB-空間的每個弱緊算子都有一個弱緊模。Chen等在文獻[19]中將此結論進行推廣，證明了如果E是AL-空間，且F具有性質(W1)，則E到F的弱緊算子空間是一個向量格。

另一方面，Lr(E,F)∩K(E,F)是K(E,F)的一個真子空間，L(E,F)∩(E,F)可能不是L(E,F)的向量子格。因此,大多數討論序理論的緊性通常是討論所有正則緊算子空間[20-22]。Wickstead給出在正則緊算子的線性空間是Dedekindσ-完備向量格的充要條件(文獻[20],定理2.1)。Chen等研究了正則弱緊算子空間是Dedekind完備向量格的情況(文獻[19]，定理3.5)。2009年，Aqzzouz等給出正則AM-緊算子空間是Dedekindσ-完備向量格的條件(文獻[6]，定理2.3)。

對于b-AM-緊算子，我們考慮相應的問題。接下來我們給出(E,F)是Dedekindσ-完備向量格的充要條件。

由文獻[16]中的例子16.6可知，存在b-AM-緊算子，其模不存在。定義(E,F)是所有從E到F的正則b-AM-緊算子空間的線性空間。

定理10設E和F是Banach格，則下列結論等價:

則(Tn)是遞增的且有上界U。因此Tn有上確界S且S(x)是(tn)的上確界。因此F是Dedekindσ-完備的。

下面證明F具有序連續(xù)范數或者E′是離散的。否則，假設F包含同構于?∞子格H且存在從F到H的正投影P。記(en)e=Sup{en:n∈N}為H的離散素，Pn:H→Ben，其中Ben是en在H中生成的正則帶。

由文獻[16]中推論21.13可知存在Φ∈(E′)+和序列(Φn)?[-Φ,Φ]使得(Φn)由弱拓撲σ(E′,E)收斂于0，但不絕對弱拓撲|σ|(E′E)收斂于0。

下面假設yn∈[0,y]使得

說明此序列不是柯西列。矛盾。完。