解決高考三視圖中一類問題的新方法

吳豐田

[摘要]文章的方法來(lái)源于“牟合方蓋”形成的過程，先通過一個(gè)視角，固定幾何體的大致范圍，這樣可以簡(jiǎn)化幾何體中的點(diǎn)、線的數(shù)量，排除了三視圖中的“干擾視線”，使圖形變得更簡(jiǎn)潔，起點(diǎn)更低;再依次結(jié)合其他兩個(gè)三視圖，即可確定幾何體中所有的頂點(diǎn)，從而可以簡(jiǎn)捷地解決高考中三視圖還原幾何體的問題。

[關(guān)鍵詞]高考三視圖;三視圖還原幾何體;新方法

三視圖是近幾年來(lái)高考的熱點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的重要載體。高考試題對(duì)三視圖的考查主要包含以下題型：判斷幾何體的三視圖、由三視圖還原幾何體并計(jì)算。張國(guó)治等[1]給出了由幾何體的三視圖還原幾何體的一種通法，傅香平”[2]提供了三視圖還原實(shí)物圖的新視角。以上兩種方法，有效地彌補(bǔ)了學(xué)生直觀想象能力的不足。本文對(duì)一類三視圖還原幾何體問題給出了新的方法。

三視圖的規(guī)律：正（主）視圖和俯視圖的長(zhǎng)相等;正（主）視圖和側(cè)（左）視圖的高相等;側(cè)（左）視圖和俯視圖的寬相等，即——“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”。

本文中方法涉及題型為三視圖中含有三角形的，若三視圖中沒有三角形，或者圖形復(fù)雜的則可以用上文提到的兩種方法求解。

步驟如下：

（1）由三視圖中三角形所在視圖入手，畫出一個(gè)直三棱柱;

（2）由三視圖中另兩個(gè)視圖確定幾何體的頂點(diǎn);

（3）連接幾何體的頂點(diǎn)，去掉輔助線，對(duì)比三視圖進(jìn)行驗(yàn)證。

下面通過兩個(gè)例題加以說明。

1.角度一：從側(cè)視圖的三角形入手

（3）連接幾何體的頂點(diǎn)，即可將三視圖還原為幾何體（圖1-4）。

波利亞在《怎樣解題》中指出：考慮解答的各個(gè)細(xì)節(jié)，并盡可能使它們顯得簡(jiǎn)單;考慮解答中比較冗長(zhǎng)的部分并盡可能使它們簡(jiǎn)短些;試著一眼就能看出整個(gè)解答;對(duì)你的解答中或大或小的部分進(jìn)行改進(jìn)，嘗試改進(jìn)你的整個(gè)解答，使它直觀[3]。張國(guó)治根據(jù)三視圖的概念和投影規(guī)律，先由“三等”關(guān)系畫出正方體或長(zhǎng)方體，再由逆投影作垂線段，利用“六向?qū)?yīng)”關(guān)系及三視圖中虛實(shí)線的交點(diǎn)，確定逆投影點(diǎn)，然后再利用垂線段交點(diǎn)和三視圖中的虛實(shí)線段排除“可疑點(diǎn)”確定“最優(yōu)點(diǎn)”，最后將“最優(yōu)點(diǎn)”逐一連線得到還原后的幾何體。該方法在實(shí)際操作過程中由于步驟多，“干擾視點(diǎn)”“干擾視線”多，構(gòu)圖復(fù)雜，由于學(xué)生的空間想象能力發(fā)展不充分，導(dǎo)致在處理復(fù)雜問題時(shí)耗時(shí)且易錯(cuò)。本文所述新方法正是對(duì)此方法的改進(jìn)與簡(jiǎn)化，相較而言學(xué)生入手思維起點(diǎn)更低，步驟更加簡(jiǎn)潔，作圖更直觀，圖中“干擾視點(diǎn)…干擾視線”明顯減少，從而降低了思考難度。

例2：將如圖所示的三視圖還原為幾何體[2]。

1.角度一：從正視圖的三角形入手

步驟如下：

解析：（1）該幾何體的三視圖中正視圖為三角形，故由此可以作出如圖2-1所示直三棱柱ABC-A₁B₁C₁;

（2）由側(cè)視圖可以確定棱CC₁，的中點(diǎn)D為該幾何體的頂點(diǎn)，并可以排除點(diǎn)C，C₁，再結(jié)合俯視圖可以確定A₁，B，B₁，A₁為該幾何體的上的點(diǎn);

（3）連接幾何體的頂點(diǎn)，即可得到原幾何體（圖2-2）。

2.角度二：從側(cè)視圖的三角形入手

解析：（1）題中三視圖的側(cè)視圖為三角形，由此可以作出一個(gè)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，如圖2-3所示;

（2）由正視圖可以確定C₁在該幾何體上，并排除點(diǎn)C，由俯視圖可以確定A，A₁，B₁，B為幾何體的頂點(diǎn);

（3）連接幾何體的頂點(diǎn)，如圖2-4所示即該幾何體的直觀圖。

本題也可以從俯視圖的三角形入手，此處不再贅述。

解決高考中的三視圖問題，關(guān)鍵在于還原幾何體，在解題過程中必須要熟悉基本幾何體（柱體、錐體、臺(tái)體）的三視圖。但三視圖問題往往虛實(shí)結(jié)合，靈活多變，對(duì)空間想象能力有較高要求，很多考生感到無(wú)從下手，毫無(wú)方向。本文的方法來(lái)源于“牟合方蓋”形成的過程：先通過一個(gè)視角，固定幾何體的大致范圍，這樣可以簡(jiǎn)化幾何體中的點(diǎn)、線的數(shù)量，排除了三視圖中的“干擾視線”，使圖形變得更簡(jiǎn)潔，起點(diǎn)更低，再依次結(jié)合其他兩個(gè)三視圖，即可確定幾何體中所有的頂點(diǎn)，從而得到幾何體。本文所述方法，雖然表達(dá)簡(jiǎn)潔，容易操作，但仍存在局限性，還需業(yè)內(nèi)再多加探討。

[參考文獻(xiàn)]

[1]張國(guó)治，程似錦，席光煜，等.三視圖還原幾何體的一種高效通法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（06）：6-19.

[2]傅香平三視圖還原實(shí)物圖的新視角[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（04）：27-29.

[3]波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011：29